И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В матричной ааписи векторы базиса записываются строкой в круглых скобках, а координаты вектора — столбцом в круглых скобках. Митрицей перехода от старого базиса е, е ..., е„к новому е!„ ев ..., е„называется матрица ! = (г!))", по столбцам которой стоят координаты новых базисных векторов в старом бааисе. Таким образом, старый ю новый базисы связаны матричным равенством (е,', ез ..., е'„) =(ге!, еэ ..., ел) Т. (1) При таких обозначен!шх жюрдинаты хь х„..., хл вектора х в старою у г г базисе связаны с координатамн х!, хт, ..., хл того же вектора в новом бал г зисе равенствами хг= ~ т!)хр или в матричной записи / 1 х! х! / хт г хл Линейным лодлростриистэом векторного пространства й! наэываетси непустое (т.
е. содержащее хотя бы один вектор) множество Х. векторов из )1, обладающее следующими свойствами: 1) сумма х+у двух любых векторов из У. снова принадлежит х; 2) проиаведение а х любою вектора х из л. на любое число о снова принадлежит л Линейным многообразием векторного пространства )Т называется совокупность Р векторов нэ лс полученнаа прибавлением ко всем векторам ка.- 1277 12321 э ш. лаэиииыи внктопныв пвостглиствл 1бУ кого-нибудь надпространства Х. из 1« одного и то~о же вектора х.
Эта .связь Х и Р будет обозначаться так: Р=Х.+х» или Х.=Р— х,. Мы будем говорить,- что линейное многообразие Р получено нз линейного надпространства Х. параллельным сдвигом на вектор л,. Разиернося»ьв линейного многообразия называется размерность того линейного надпространства„ параллельным сдвигом которого данное много.образие полу ~еио. Корректность этого определения вытекает из утверждения задачи 1331.
Одномерные линейные многообразия будут называться прямыми, а двумерные — плоскостями. Суммой двух линейных надпространств Хч и Х.» векторного пространства 1« называется совокупность 8=Х., +Х.» всех векторов нз ф, каждый нз которых представляется в зиле х= х, +х», где х, ~Хч и х,~Х.». Здесь запись а~А обозначает: «элемент а принадлежит множеству А». Перес«чали«я двух линейных полпространств Х., и Х.» векторного пространства К называется совокупность Р =Хо ДХ« всех векторов иэ тс каждый из которых принадлежит как Хь так и Х, Прямой суммой двух линейных надпространств Хч и Х» векторного пространства Я называется сумма этих подпространств при условии, что их щересечение состоит лишь из нулевого вектора, т.
е. Х., ДХ« = О. В случае прямой суммы будем писать 8 Хч+Х». и-мерное векторное пространство будет обозначаться через тгл. При атом если не оговорено противное, яодраэумевается, что за основное поле взято поле вещественных чисел, т. е. 1Хл состоит из всех л-мерных вектозов с любыми вещественными координатами. Векторы ен ет, ..., е„и х заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы е,, ен .... е„сами образуют базис, и найти координаты вектора х в этом базисе: 1277. е, =(1, 1, 1), аз=(1. 1.
2), ез=(1, 2, 3); х=(6. 9, 14). 1278. а, = (2. 1. — 3), ея = (3. 2. — 5), еэ = (1, — 1, 1); лс=(6, 2. — 7). 1279. а,=(1, 2, — 1. — 2). аз=(2. 3. О. — 1), ез — (1, 2, 1, 3). е« вЂ” — (1 ° 3, — 1. 0); х=(7. 14. — 1, 2). Доказать, что каждая иэ лвух систем векторов является базисом, а найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах: 1280. а,=(1, 2. 1), ея=(2.
3, 3), аэ=(3, 7. 1); и', =(3, 1. 4), е',=(6. 2, 1). и',=(1. 1. — 6). 1281. е, = (1. 1. 1. 1). ез=(1. 2. 1. 1), еэ= (1, 1, 2, 1), е,=(1. 3, 2, 3); а,'=(1. О, 3, 3). а,'=( — 2. — 3, — б, — 4), 1282. Найти координаты многочлена у(х)=ав+агх+азхз+ ...
+а„х" а) в базисе 1, х. хз, ..., х"; б) в базисе 1, х — а, (х — а)т, ..., (х — а)", выяснив, что последние многочлены действительно образуют базис. 168 Отдел ш. ВектОРные пРОстРАнстВА [1288 — 1297" 1283. Пайги матрицу перехода от базиса 1. к, хт, ..., х" к базису 1, х — а, (х — а)з, ..., (х — а)" пространства многочлеиов степени, меньшей или равной п.
1284. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если: а) поменять местами два вектора первого базиса? б) поменять местами два вектора второго базиса? в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке? Является ли линейным подпространством соответствующего векторного пространства каждая из следующих совокупностей векторов: 1286. Все векторы и-мерного векторного пространства, координаты. которых — целые числа? 1286. Все векторы плоскости. каждый из которых лежит на одной из осей координат Ох и Оу? 1287. Все векторы плоскости.
концы которых лежат на данной прямой (иачало любого вектора, если не оговорено противное, предполагается совпадающим с началом координат)? 1288. Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой? 1289. Все векторы трехмерного пространства, концы которых не лежат на данной прямой? 1290. Все векторы плоскости. концы которых лежат в первой четверти системы координат? 1291. Все векторы из 1?„. координаты которых удовлетворяют уравнению х, + ха+ ... + х„= О? 1292.
Все векторы из )с„. координаты которых удовлетворяют. уравнению х,+ля+ ... +х„= 1? 1293. Все Векторы. являющиеся линейными комбинациями данных векторов: хи хм ..., хь из И„? 1294. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства, 1296. Пусть линейное подпространство Ц содержится в линейном подпростраистве Ьм Доказать, что размерность Ц не выше размерности ьп причем размерности равны тогда и только тогда, когда. ,(,, = а.з. Верно ли последнее утверждение для любых двух линейных подпространств данного пространства? 1296. Доказать, что если сумма размерностей двух линейных подпространств и-мерного пространства больше л, то зти подпространства имеют общий ненулевой вектор.
Доказать, что следующие системы векторов образуют линейные подпространства и найти их базис и размерностеи 1297. Все п-мерные векторы, у которых первая и последняж координаты равны между собой. чйэй — !3091 % ш АФФинные ВектОРные пРОстРАнстВА 109 1298. Все л-мерные векторы, у которых координаты с четными жомерами равны нулю. 1299. Все и-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой.
1309. Все п-мерные векторы вида 1а, 9, а, 9, а, 9, ..), где а н ф — любые числа. 1301. Доказать, что все квадратные матрицы порядка л с вещественными элементами 1или элементами из любого полн Р) образуют .Векторное пространство над полем вещественных чисел 1соответственно .Над полем Р), если за операции взять сложение матриц и умножение матрицы на число. Найти базис и размерность этого пространства. 1302.
Доказать, что все многочлены степени -(л от одного неч1звестного с вещественными коэффициентами 1или с коэффициентами нз любого поля Р) образуют векторное пространство, если за операзгни взять обычные сложение многочленов и умно>кение многочлеиа ма число.
Найти базис и размерность этого пространства. 1303. Доказать, что Все симметрические матрицы образуют линейное полпространство пространства всех квадратных матриц порядка л. Найти базис и размерность этого подпространства. 1304. Доказать. что кососимметрические матрицы образуют линейное поллространство пространства всех квадратных матриц порядка л. Найти базис и размерность этого подпространства. !30б. Доказать, что если линейное подпространство 7. пространютва многочленов степени ( л содержит хотя бы один многочлен степени А для Тг= О, 1.
2...., р. но не содержит многочленов степени А .Р Р. то оно совпадает с подпространством Ар всех много- членов степени ( р. 1306. Пусть / — неотрицательная квадратичная форма от л неизвестных ранга г. Доказать, что все решения уравнения у = О обра.зуют 1а — г)-мерное линейное подпространство пространства Л,. 1307. Доказать, что решения любой системы однородных линейных уравнений с л неизвестными ранга г образуют линейное подпространство л-мерного пространства Ю„ размерности 11 = л — г и, обратно, для любого линейного надпространства л. размерности 11 пространства Ю„ существует система однородных линейнь|х уравнений с л неизвестными ранга г = л — 11. решения которой заполняют в точности даннэе подпространство А.
1308. Найти какой-нибудь базис и размерность линейного подпрострапства л. пространства 17„, если л. задано уравнением л1 + ля+ ° . + х„= О. 1309. Докааать, что раз1 ериость линейного подпространства У. натанУтого на вектоРы л1, лм ..., ха (т. е. подпРостРанство всех линейных комбинаций данных векторов), равна рангу матрицы, составленной из координат данных векторов в каком-нибудь базисе. 170 отлил пл виктопныи пгостплнствл !13!Π— 13!9' а за базис подпространства 5 можно взять любую максимальную. линейно независимую подсистему системы данных векторов.
Найти размерность и базис линейных подпространств, натянутых иа следующие системы векторов: 13!О. а,=(1. О, О. — 1), а,=(2. !. 1, 0). аз — — (1, 1. 1, 1) а,=(1. 2. 3, 4). а,=(0, 1. 2. 3). * 1311. а, =(1. 1. 1, 1, 0), ая=(1, 1. — 1. — 1. — 1), а, = (2. 2, О, О. — 1), а4 — — (1, 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
