И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть угловые миноры квадратичной формы ~ ранга г удовлетворяют условиям (2) предыдущей аадачн. Доказать, что положительный индекс инерции втой формы равен числу сохранений анака, а отрицательный индекс — числу перемен знака в ряду чисел 1 1 р Р~1 'Рз '' Рг. Выяснить, что в следующих парах квадратичных форм одна форма является положительно определенной; найти невырождениое линейное преобразование, приводящее эту форму к нормальному, а другую форму той же пары к каноническому виду.
и написать этот канонический вид (линейное преобразование определено не одно- аначно): 1224. У = — 4х,х, !226. )' = х~+ 26х~~+ 10х,х, д=хз — 2х,х. +4хм 8=хз+ббхт-+16х,х . 1226. У = 8хз — 28Х~~+ 14х~ д-+ 1бх,хе+ 14х,х -+ 32хтхз, д = хт+ 4Х~~+ 2хзз-+ 2х,х . 1227.,У = 2хзр+ х,хз+ х,х — 2хтх + 2х х, д" = — х1+ хз+ хз+ 2х!+ 2хтхо 1 !228. У =х",+ р хт — 2хз+А4+2х,хя+4х,хз„ 8 = х, + — ха+ ха+ хр+ 2хзхх 1229.
у=хз1 — 1бхзт+4х,х — 2х,х +бх х . 8 = хт+ !ухта+ Зхт+ 4х,х — 2х,х — 14хтх . !230 — !237! а % кВАдРАтичные ФОРмы 161 1230Ф. Пусть дана пара форм 7". д' от одних и тех же неизвест- ных, причем 3 ь О. Доказать, что канонический вид У=Л,у'+ " +Л„уа, получаемый для формы 7" при любом линейном преобразовании, при- водящем форму 3 к нормальному виду (т. е. к сумме квадратов), определяется однозначно с точностью до порядка слагаемых. причем его коэффициенты Л,, Л„., Л„являются корнями так называемого Л-уравнения пары форм 7. д, а именно уравнения ~А — ЛВ~=О.
где А и  — соответственно матрицы форм 7 и гг. Можно лн следующие пары квадратичных форм привести к кано- ническому виду одним вещественным невырожденным линейным пре- образованием: 1231. г — хз+-4х х — хз, 1232. У= ха+ х,хз — хт, д х! + бх2х2+ бхз А"=ха — 2х,х . 1233. Пусть даны две положительно определенные формы 7 и д' и пусть одно невырожденное линейное преобразование неизвестных л приводит форму 7 к виду ~', Л,уз, а форму е' — к нормальному виду, ! 1 а второе преобразование — наоборот: форму г к нормальному виду, л а форму 8' к виду ч )22Х2!. Найти связь между коэффициентами ! ! Л,, ....
Л„и рн ..., Ил. Не разыскивая линейного преобразования. найти канонический вид данной формы 7", к которому она приведется преобразованием, приводящим другую данную форму д') 0 к нормальному виду: 1234, У = 21хз — 18ха+ бхз + 4х,х + 28х,х + 6хах . д = 11хт+ бхгз+ бхз !в 12х,хз+ 12х,хз — бх хз. 1233. 7 = 14ха — 4хз+!7хзз+ 8Х2х — 40х,хз — 26х х, у= 9хз ! 6ха+бх2 + 12х х — 10х х — 2х хз.
1236. Доказать, что две пары форм У„В! и г2. е2, где д! и дз положительно определенны, тогда и только тогда эквивалентны (т. е. существует невырожденное линейное преобразование. пере- водящее 7! в г~ и 3! в ет), когда корни ик Л-уравнений ~ А,— ЛВ,~ = 0 и ! Аа — ЛВ2~=0 совпадают, Выяснить, эквивалентны лн следующие пары форм, не находя линейного преобразования одной пары в другую: 1237. ~, = 2хз+ Зхз — х!.+ 2х,х + 2 х,хм 3 = Зхз+ 2хз+ хз з— 2х,хз, 162 отдел и1, матяицы и квддРАтнчные ФОРМЫ !!238 — !248 У = 2хз+ 6 ха+ 2хз~+ 4х1хз-+ 4х,хз — 2хзхге д =х +бхз+Зх +2х х +2х х .
1238. )', = 4хт-+ бхз+ 21ха+ 4х,х, — 4х,хз — 22хзх, д1 = 4х2+ Зхз+ бхз+ 4х,х — 4х,х — 6хзхз, д = 9хз+ Зхз+Зхз — бх,х — бх,х +2хгх . Найти невырождеиное линейное преобразование, переводящее пару квадратичных форм у1. 91 в другую пару г2. 32 (искомое преобразо- вание определено не однозначно): 1239.
У = 2хз — Ухт.+ 2х,х, Уз — — Уу1 — Зу~ — 12у,у, 3,= 2хт + 13хз-+ !Ох,х, уз †13уз.+ 25уз +-36у у 1240. У1=3х21+2хз — 10х,х. 12= — 9уз — 20у22 — 44у,уз, д, = 2хз+бх~~ — 6х,х, да =29уз+4ут+ 20у,у . 1241. Пусть у'(х1. хз, .... х„) и а'(хг. хт, .... х„) — дзе квад- ратичные формы, хотя бы одна из которых положительно опре- деленна. Доказать. что «поверхности» у =! и д= 1 в и-мерном пространстве тогда и только тогда не пересекаются (т. е. не имеют общих точек), когда форма у — д является определенной. !242Ф. Доказать, что канонический вид ~~~~~ Х1у21, к которому квад- 1-1 ратичная форма г" приводится ортогональным преобразованием, опре- делен однозначно. причем его коэффициенты 1, Хз,..., !.„являются корнями характеристического уравнения !А — ХЕ!=0 матрицы А формы у.
Найти канонический вид, к которому приводятся следующие квадратичные формы посредством ортогонального преобразования, не находя самого этого преобразования: 1243. Зх»2+ Зхз+4х,х +-4х,хз — 2х хз. 1244. Ух»+-Ухая+Ухе.+2х,х +2х,х +2хзх. 1243. хз — 2х х — 2х х — 2х х . 1 1 2 1 3 2 3' е-1 1246. Зхз+ Зхз — хт — бх,х + 4х х . 1247е, ~~'., хаха+Р а-1 Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду (приведеиие к главным осям), н написать этот канонический внд (преобразование определено не однозначно): 1243.
бхт+ бхз+ Ухз — 4х х + 4х,х . 163 1249 — 12861 % 1З. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 1249. ! 1хг+ бхг+ 2хг+ 1бх,х + 4х,хз — 20х х . 1260. х",.+ хгг + бх' — бхгх — 2хгхз+ 2хгх . 1251. хг+хгг+хг+4х,х +4х,х +4х хз. !262. 17хг+14хг+ 14хг — 4х,х — 4х,хз — 8х,х. 1253. хг — 5хг+ хг+4хгхг+2хгх +4хгхз.
1254. 8хг — 7хг+-8хг+-8х,х — 2х,хз+ бх х . 1255. 2х,хг — бх,хз — бхгх4-+ 2хзхе 1266. бхг+ бхгг+ 5хг+ бх~~ — 10х,хг+ 2х,х + + бх1хь+ бхгхз + 2хгхь — 10х Ха. 1267. Зхг+ 8х,хг — Зхг+ 4хг — 4хзх4+ хг. 1266. хг1+ 2хгхг+- хг г— 2хзг — 4хзхь — 2хгь, 1269, 9хг1-+бх~~-+бх~~-+8Х4+ 8хгхз — 4хгх +4х х. 1260. 4хг — 4х х + ха+ 5хг — 4хг-+ !2хьх„+ ха 1261. 4хг — 4хг — 8х хз+2хг — 5хг+бх х„+-Зхг. 1262.
Зхг-+8х,х, — Зхг+4хг — бх.х — 4хг+ + 4хзг+ 4хзхз + хат. Найти канонический вид, к которому следующие формы приводятся ортогональным преобразованием, и выразить новые неизвестные через старые (искомое преобразование не однозначно): и и и !263. ~~'.~ хг+ ~~.", х х . 1264. ~~.", х х .
1-1 1с7 1С/ 1266». Назовем две квадратичные формы ортоголально вквавалентными, если от одной из них можно перейти к другой посредством ортогонального преобрааования. Доказать, что для ортогональной эквивалентности двух форм необходимо и достаточно.
Чтобы характеристические многочлены их матриц совпадали. Выяснить, какие из следующих квадратичных форм ортогонально вквивалентны1 1266. 7=9х~~+9Х~~+-12Х1Х +12х хз — бх х; д = — ЗУг1+-6У~-~ бУзг 12У Уг+ 12У Уз+ 6УгУз гь = 11л~~ — 4Х'+ 11Х~~+ ЗХ1а. — 2лгхз+ 8лглз. 164 Отдел нк мдтьчппя и квлдялтичныв еогмы 11237 — !275 1267. у'= 7хз+хз-+хз — 8х,х — 8х,х — 16х х; 2 2 1 2 1 2 4 4 3 К = — У' — — У' — — У' — — У У + — У У + — У У; 313233312313323' "=ха аз+'2~ 2 хгвз. 1268.
Доказатя, что любую вещественную симметрическую матрицу А можно представить в виде: А=Ц ВЯ, где 17 — ортогональная и  — вещественная диагональная матрицы. Для следующих матриц найти ортогональную матрицу Я и диагональную матрицу В такие. что данная матрица представляется в виде Я ВЯ: 1269. 3 2 0 1270. 2 2 — 2 !271е.
Доказать, что все характеристические числа вещественной симметрической матрицы А тогда и только тогда лежат на отрезке 1а. Ь1. когда квадратичная форма с матрицей А — 1.еЕ положительно определенна при любом Хе ч. а и отрицательно определенна при любом Хе) Ь. 1272е. Пусть А и  — вещественные симметрические матрицы. Доказать.
что если характеристические числа матрицы А лежат на отрезке 1а, Ь1, а характеристические числа матрицы  — на отрезке [с. г1], то характеристические числа матрицы А+В лежат на отрезке 1а + с, Ь+ а]. 1278. Доказать, что невырожденную квадратичную форму тогда и только тогда можно привести к нормальному виду ортогональным преобразованием, когда ее матрица ортогональна. 1274. Доказать, что матрица положительно определенной квадратичной формы тогда и только тогда ортогональна, когда эта форма есть сумма квадратов.
Как зто положение формулировать на языке матриц? 1278е. Доказать. что любую вещественную невырожденную матрицу А можно представить в виде А =ЯВ. где Я вЂ” ортогональная матрица и  — треугольная матрица вида Ьн Ьгг Ь22 ° Ьщ 0 Ью Ья Ьзч 0 0 Ь, ...Ь„ тв) % ВЬ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ с положительными элементами на главной диагонали.
и такое представление единственно. 1276е. Доказать, что: а) любую вещественную невырожденную матрицу А можно пред.ставить как в виде А = Я,ВР так и в виде А = — Вфз. тле матрицы Яг и г'з — вещественные и ортогональные. а матрицы В, и Вз — вещественные, симметрические и с положительными угловыми минорами. Каждое нз этих представлений единственно; б) любую комплексную невырожденную матрицу А можно представить как в виде А=Я,ВР так и в виде А=Вз1сз.
где матрицы ь), и Яз — унитарны, а матрицы В, и Вз — эрмитовы и с положительными угловыми минорами (матрица В называется эрмитовой, если В'=В). Каждое из этих представлений единственно; в) пусть А — симметрическая (или эрмитова) матрица с положительными угловыми минорами и  — ортогональная 1соответственно унитарная) матрица. Доказать. что: 1) произведения АВ и ВА тогда и только тогда булут симметрическими (эрмитовыми) матрицами с положительными угловыми минорами. когда В в единичная матрица; 2) произведения АВ и ВА тогда и только тогда будут ортого4иальны (унитарны).
когда А — единичная матрица. ОТДЕЛ 1)( ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ф 16, Аффннные векторные пространства Ниже применяются следующие обозначения: векторы обозначаются малымн латинскими буквами жирного шрифта, а векторные пространства, иг. надпространства и линейные многообразия — большими латинскими буквамж жирного шрифта Координаты вектора при обычной записи пишутся в строку, заключенную в круглые скобки, например х=(хь хв ..., хл).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
