И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Доказать, что коэффициенты характеристического много- члена !А — ЛЕ) матрицы А следующим образом выражаются через элементы этой матрицы: )А — ЛЕ) =( — Л)" +с,( — Л)" +сэ( — Л)" + ... +с„. где сь есть сумма всех главных миноров порядка А матрицы А (минор называется главным, если номера занимаемых им строк совпадают с номерами столбцов).
1071». Найти характеристические числа (корни характеристического многочлена) матрицы А'А, где А =(ан ам .... ав) и А'— матрица, полученная транспонированнем А. 1072. Доказать, что сумма характеристических чисел матрицы А равна ее следу (т. е. сумме элементов главной диагонали). а произведение этих чисел равно определителю ~ А ~. 1073. Доказать.
что все характеристические числа матрицы А отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица А невырожденна. 1074». Пусть р > 0 †кратнос корня Лз характеристического многочлена !А — ЛЕ~ матрицы А порядка н, г †ра и И= и — г— дефект матрицы А — ЛзЕ. Доказать справедливость неравенств 1~(0=а — г (р. 1076.
Привести примеры матриц и-го порядка, для которых первое нли второе неравенства предыдущей задачи обращаются в равенство, т. е. И=1 или 41= р. 1076». Доказать, что характеристические числа обратной матрицы А равны (с учетом их кратности) обратным величинам для характеристических чисел матрицы А. 1077». Доказать, что характеристические числа матрицы Аэ равны (с учетом нх кратности) квадратам характеристических чисел матрицы А.
1078». Доказать, что характеристические числа матрицы А" равны (с учетом нх кратности) р-м степеням характеристических ччсел матрицы А. 146 отдел не млтгицы н квлделтичные еогмы !1070 — 1йИ 1079е. Пусть гр(Л) = !А — ЛВ! — характеристический многочлен, Л,, Л, ..., ˄— характеристические числа матрицы А и у(Л) — произвольный многочлен. Наказать, что определитель матрицы у (А) удовлетворяет равенству !~(А)~ =у(Л,) г(Лт)... у(Л„);=В(у, а), гле й(У. ~р) — результант многочленов у н ~р. Если ме определять характеристический многочлен как <р(Л) = !Л — А~, то !.У(АН =В(0.
Л. Напоминаем, что резульглантом двух многочленов У(х)=азД(х — а,) и 8(х)=Ьеп(х — Р1) 1-1 'т-1 называется число я 8 Ю гс(у. к)=ОП Ц(а; — рт)= аз ПЛ'(ад=( — 1) бе Ц.г (рт). ,1, ю 1 / 1 1080е. Доказать, что если Лн Ля, .... ˄— характеристические числа матрицы А н г(х) — многочлен, то ~(Лт), у(Лт), ..., у(Л„) будут характеристическими числами матрицы у(А). 1081". Доказать, что если Л,, )т, ..., ˄— характеристические числа матрицы А и у(х)= — — рациональная функция, определ (х) Ь (х) ленная для значения х = А (т.
е. удовлетворяющая условию !й(А)~+ О). то ~Д(А)~ = г(Лт))'(Лт) ... у(Л„) и числа ~(Л,), У(Ля). " у(Л„) будут характеристическими числами матрицы /(А). 1082е. !!оказать, что если А и  — квадратные матрицы одинакового порядка.
то характеристические многочлены матриц АВ н ВЛ совпадают. 1083е. Найти характеристические числа циклической матрицы а, ая аз ... а„ а„ а, ат ... а„ , а„ , о„ о, ... ла в аз аа .'.. а1 108че. Найти характеристические числа матрицы л-го порядка: (Π— 100...00 ! 0 — 1 0...0 0 010 — 1...00 0000...101 !Овз-1оай! а ьь подовныа матвицы 147 1088е. Жорданозой матрийей называется клеточно-диагональная матрица с диагональными клетками вида: а 1 О ... О 0 а 1 ... О 0 О О ...
а называемыми клетками Жордана. Жордановой формой матрицы А называется жорданова матрица Ат, подобная матрице А. Пользуясь теоремой о том, .что совокупность элементарных делителей клеточно-диагональной матрицы равна объединению совокупностей злементарных делителей ее диагональных клеток (см. задачу 1033), доказать, что над полем комплексных чисел (нли над любым полем, содержащим все характеристические числа матрицы А) любая матрица А имеет жорданову форму, и притом единственную, с точностью до порядка клеток.
Написать жорданову форму А1 матрицы А, если даны инвариантиые множители Е,(Л) (1= 1, 2, ..., а) ее характеристической матрицы А — ЛЕ: 1086. Е,(Л) = Ез(Л)= 1, Ез(Л)=Еч(Л) = Л вЂ” 1, Е,(Л) =Е,(Л) =(Л вЂ” !)(Л+2). !08У. Е,(Л) = Е,(Л) = Е,(Л) = 1, Е,(Л) = Л + 1. Е, (Л)=(Л+!)~, Е,(Л)'=(Л+ !)з(Л вЂ” 3). 1088 Е (Л) =Ез(Л) = 1 Ез(Л) = Л вЂ” 2, Еч(Л) =Л вЂ” 4. 1089.,Доказать, что для любой квадратной Л-матрицы А(Л) порядка и, определитель которой есть многочлен от Л степени л, существует числовая матрица В порядка а такая, что матрица А(Л) эквивалентна характеристической матрице В в ЛЕ. Найти жорданову форму следующих матриц: 148 Отдел не мАтРицы и кнддРАтичные ФОРмы 11099 1$12 1099.
7 — 12 6 1!00. $0 — $9 $0. 12 — 24 13 1!01. а 0 О 0 а О, где а+О. а 0 а !$02. 3 — 1 0 1108. 4 6 6 — 3 2 3 4 8 — 6 5 2 3 (а — а а). $ — 3 0 — 2 — 6 О 0 — 3 1 — 1 — 4 О 1106. 3 — 4 О 4 — 6 — 2 0 О 3 0 0 2 1! 07. 1 — 1 0 О...О О 0 1 — 1 0...0 0 00! — 1...00 1!09 порядок матряцы равен и. 0 О...! — 1 0 О...О 1 11 1О. порядок матрицы равен и.
0 0 0 О ... 1 1! 11. 1234...и О 123 ...и — 1 0012...и — 2 1112. ии — 1и — 2 ... 1 Они — 1...2 0 О и ... 3 0 0 О О ... 1 $0 0 О ...и 0 О 0 О 1 1 1 О 1 1 О О 1 3 1 13 3 8 2 4 — 2 — 1 106. 3 — 1 1 1 3 0 4 — 1 1108. 3 — 1 9 — 3 0 О 0 0 О О 0 0 6 — 3 3 — 1 1 — 7 — 7 — 1 4 — 8 2 — 4 $ ы. пОдОБные матяицы 1$$3 — $$23! 149 1 0 0 0...011114.~0 а О 0...0 11$8 1 2 0 0 ... О 1 2 3 0 ...
0 0 0 а 0 ... 0 0 0 0 а ... О 0 О 0 0 ... а 1234...а а 0 0 0...0/ 1$15. Найти жорданову форму матрицы вцаа "а н1з лы 0 а лаз...аз, 0 0 а ... аз„ $0 0 0 ...о при условии, что а,з аж ... а„н„чь О. 1116. Доказать, что если характеристический многочлен ~А — $,Е1 матрицы А не имеет кратных корней, то А подобна диагональной матрице (элементы матрины Т, преобразующей А к диагональной форме, принадлежат тому полю, которое содержит все характеристические числа матрицы А). 1117. Докааать, что матрица А над данным полем Р тогда и только тогда подобна диагональной матрице, когда последний инвариантный множитель Е„(Х) характеристической матрицы А — $Е не имеет кратных корней й все его корни принадлежат полю Р.
Выяснить, являются ли следующие матрицы подобными диагональным матрицам в полях рациональных, вещественных и комплексных чисел: 1122. Доказать, что если последний инвариантный множитель Е„(Ц характеристической матрицы А — ХЕ для матрицы А порядка н имеет степень и, то все диагональные элементы различньпг клеток жордановой формы матрицы А различны между собой. $128. Доказать, что матрица А тогда и только тогда нильнотентна (т. е. А"=0 нри некотором натуральном й), когда все ее- характеристические числа равны нулю.
1118. 5 2 — 3 1120. 4 У вЂ” 5 1$ — 4 5 0!. 1 9 — 4/ 1119. 8 15 — 36 8 21 — 46 5 12 — 27 !121. 4 2 — 5 $50 Отдел ие мАтРицы и кВАЛРАтичиые ФОРмы 11!и! — !137 $124. Доказать, что нильпотентная матрица, отличная от нулевоИ, ме приводится преобразованием подобия к диагональной форме.
1126. Найти жорданову форму идемпотентной матрицы А (т. е. матрицы,' обладающей своИством Аз=' А), 1126. Доказать,' что инволютивная матрица А (т, е. матрица, обладающая свойством Аз=Е) подобна диагональной матрице и найти вид этой диагональной матрицы. 1127. Докавать, что периодическая матрица А (т. е. матрица, обладающая свойством А" =Е при некотором натуральном л) подобна диагональной матрице и наИти. внд этОй диагональнОИ матрицЫ.
1128. Найти минимальный полипом (определение дано в задаче 830): а) единичной матрицы, б) нулевой матрицы. $!29. Для каких матриц минимальныИ многочлен имеет вид Л вЂ” а, где а в число? 1130. Найти минимальный многочлен клетки Жердина порядка и с числом а на диагонали. 1131. Доказать. что минимальный многочлен клеточно-диагональной матрицы равен наименьшему общему кратному минимальных мноточленов ее диагональных клеток.
1132. Доказать, что минимальный многочлеи матрицы А равен последнему инвариантному множителю Е„(Л) ее характеристической матрицы А — ЛЕ. 1133. Доказать, что некоторая степень минимального многочлена матрицы А делится на характеристический многочлен той же матрицы. Найти минимальные многочлены следующих матриц: '"( ',,') "'(=': =:) 1136.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
