И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Привести примеры кососнмметрических матриц. удовлетворяющих условию АВ= — ВА.. 891. Квадратная матрица А =(аВ) порядка л называется ортогональной, если АА'=В, где Š— единичная матрица. Показать, что для ортогональности квадратной матрицы А необходимо н достаточн1ь любое иа следующих условий: а) столбцы А образуют ортонормированную систему, т. е. П ~'.1 аа1аа1 = Ьбч Ф 1 где Ь11 — символ Кронекера, обозначающий 1 при 1 = Г' н 0 при 1 ~ у. б) строки А образуют ортонормнрованную систему, т. е. в Х а1„аул= б, . а-1 892. Квадратная матрица А=(а11) порядка п с вещественныюг или комплексными элементами называется унитарной, если АА*=Е (смысл обозначения А' тот же, что и в задаче 886). Показать, что для уннтарннсти .квадратной матрицы А необходимо и достаточно любое на следующих условий: л а) Ха„1аа,=б1р а-1 (Ь11 — символ Кронекера).
б) ~'„~ аыа1„— — Ь11 а-1 893. Докааать, что определитель ортогональной матрицы равен + 1. 894. Докааать, что определитель унмтарной матрицы по модулю. равен единице. 896. Доказать, что если ортогональная матрица А имеет на главной диагонали квадратные клетки А,, Ам ..., А, и нули по одну сторону от этих клеток, то все элементы по другую сторону от них также равны нулю и все матрицы А,, Ам ..
„ А, ортогональны. 898. Докавать, что для ортогональности квадратной матрицы А необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен Ь 1 а) 1/3 — 2/3 — 2(3 б) — 2/3 — 2/3 — 2/3 1(3 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 — 1/2 — 1/2 1/2 — 1/2 1/2 — 1/2 1/2 — 1/2 — 1/2 1/2 Обладают всеми тремя свойствами предыдущей задачи. '122 ОТДЕЛ ЦЬ МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [ййу Яйй и каждый ее элемент был равен своему алгебраическому дополнению. взятому со своим знаком, если /А(= 1. и с противоположным, если 1А ~= — 1. 897Ф„Доказать, что вещественная квадратная матрица А порядка и' ° 3 будет ортогональна, если каждый ее элемент равен своему алгебраическому дополнению, и хотя бы один иа влемевтов отличен от нуля.
898Ф. Доказать, что вещественная квадратная матрица А порядка л ь 3 будет ортогональна, если каждый ее элемент равен своему алгебраическому дополнению, взятому с противоположным анаком, и хотя бы один иэ элементов отличен от нуля. 399Ф. Доказать, что сумма квадратов всех миноров второго порядка, лежащих в двух строках (или столбцах) ортогональной матрицы, равна единице. 990Ф. Доказать, что сумма квадратов модулей всех миноров второго порядка, лежащих в двух строках (или столбцах) унитарной матрицы, равна единице.
901Ф. Доказать, что сумма квадратов всех миноров й-го порядка, лежащих в любых и строках (столбцах) ортогональной матрицы, равна единице. 902Ф. Доказать, что сумма квадратов модулей всех миноров л-го порядка, лежащих в любых й строках (столбцах) унитарной матрицы, равна единице. 903Ф. Доказать, что минор любого порядка ортогональной матрицы А равен своему алгебраическому дополнению, взятому с его знаком, если 1А ~ = 1, и с противоположным знаком, если ~ А ~ = — 1. 904Ф, Пусть А — унитарная матрица, М вЂ” ее минор любого порядка, М,— алгебраическое дополнение минора М в матрице А.
Доказать, что Мд — ~А~ ° М. где М вЂ” число, сопряженное с М. 903. При какйх условиях диагональная матрица является ортогональнойг 908. При каких условиях диагональная матрица является унитарнойг 907. Проверить, что любое из трех свойств квадратной матрицы: вещественность. ортогональность, унитарность — вытекает из двух остальных.
908. Квадратная матрица 7 нааывается инволютивной, если /т = Е. Покавать, что каждое иа трех свойств квадратной матрицы: симметрия, ортогональность, инволютивность — вытекает иэ двух остальных. 909. Проверить, что матрицы '124 отдел не млтннцы и хвлделтнчныя»оемы 199) аф 920». Докааать, что для любых квадратных матриц А и В по. рядка н сумма нсех главных миноров данного порядка й(1~(й(н) .яля матриц АВ и ВА одинакова. 921». Пусть А — вещественная матрица порядка н. В и С— матрицы из первых й и последних л — й столбцов А.
Доказать, что '.) А )г «( ~ В'В ~ ° ~ С'С ~. 922'». Пусть А= (В С) — вещественная матрица (смысл символа (В. С) указан в задаче 374). Доказать, что ~А'А ~ (~В'В~ ° ~С'С~. 923». Пусть А = (а, ) — квадратная вещественная матрица по»» рядка л. Доказать неравенство Адамара: )А~г (44 ~'„а~~а. а-г к-г 924».
Доказать. что для любой вещественной прямоугольной ма.трицы А=(аы) с л строками и т столбцамн выполняется нераюп л .венство ~А'А ~ ( Д ~~.", агт. а-1с 1 923». Пусть А=(В, С) — матрица с комплексными элементами. Доказать, что ~ А* ° А~ (~В' ° В ~ ° !С' С~. 926». Пусть А =(а,г) — квадратная матрица порядка н с ком.плексными элементами, не превосходящими по модулю числа М. .Доказать, что модуль определителя ) А ~ не превосходит М" ° лг, причем эта оценка является точной.
927». Показать, что каждое элементарное преобразование матрицы .А, т. е. преобразование одного из следующих типов: а) перестановка двух строк (столбцов); б) умножение строки (столбца) на число с, отличное от нуля; в) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число с, может быть получено умножением матрицы А на некоторую неособенную матрицу Р слева для преобразования строк и справа для преобразования столбцов.
Кайся вид этих матриц. 923». Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы. стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Показать, что любую квадратную матрицу можно представить в виде произведения нескольких треугольных матриц. 929». Показать, что любую матрицу А ранга г можно предста:вить в виде произведения А = РНЯ, где Р и Я вЂ” неособенные матрицы, а Й вЂ” прямоугольная матрица тех же размеров, что и А. на главной диагонали которой первые г элементов равны единице, .все же остальные элементы равны нулю.
930». Пусть А — матрица размеров т Х л и ранга г, Р=(ры)— .матРица РазмеРов.г Х т, У котоРой Рп — — Рж=... = Рьь —— 1 ° а все остальные элементы — нули, Я =(ды) — матрица размеров н Х Фг у ко- 125 4 ш дкпствня с млтпнцлмн торой Чп=Чю= ° ° =дп — — 1. а все остальные элементы — нули. Доказать неравенства: а) ранг РА)~й+г — т; б) ранг АЯ) 1-1-г — и; в) ранг РА~) й+1+г — гн — и. 93!в.
Обозначим ранг матрицы А череа гл. Доказать. что для ранга произведения АВ двух квадратных матриц А и В порядка м имеет место следующее неравенство: г +г„— п~( глл~(г, гл (неравенство Сильвестера). 932. Показать, что для ранга произведения АВ прямоугольных матриц А и В имеет место неравенство Сильвестера предыдущей задачи при условии, что л обозначает число столбцов матрицы А и число строк матрицы В.
963». Показать, что любую невырожденную матрицу А элементарными преобразованиями только строк (или только столбцов) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над А элементарные преобрааования в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится матрица А ', обратная для А. Пользуясь приемом предыдущей задачи, найти обратные матрицы для следующих матриц (для удобства вычислений приписать к данной матрице А справа единичную матрицу и выполнять элементарные преобразования строк, приводящие А к Е, над строками всей написанной матрицы): ЕЗ4. 1 2 — ! — 2 ЕЗ5. О 1 3 3 8 Π— 4 2 3 5 2 2 — 4 — 3 3 5 7 8 — 1 — 6 936.
О О ! — 1 О 3 1 4 2 7 6 — 1 ! 2 2 — 1 937. Пользуясь методом аадачи 933, найти обратные матрицы для матриц задач 844, 846, 847, 848, 849, 850. 938в. Доказать утверждение: для того чтобы матрица А из гл строк и а столбцов имела ранг единицу„ необходимо и достаточно. чтобы А представлялась в виде А =ВС, где В в ненулевой столбец длины гл, С в ненулевая строка длины а. ОТДЕЛ П1.
МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ (939 — 94» 939». Доказать утверждение: для того чтобы матрица А из т строк и и столбцов имела ранг г, необходимо и достаточно, чтобы А представлялась в виде А = ВС, где В в матрица из я1 строк н Г линейно независимых столбцов, а С в матрица из г линейно независимых строк и п столбцов. 940. Показать, что если А н В в квадратные матрицы порядка л и АВ = О, то Гл+ Г .4. и.
причем для л1обой данной матрицы А матрицу В можно выбрать так, чтобы было Гл+Гв — — й. где й — любое целое число. удовлетворяющее условию гл (й (л. 941». Показать, что если А — квадратная матрица порядка л, для которой А =Е, то Ге+А+Ге „вЂ” — и. 942. Две целочисленные матрицы называются эквивалентными. если от одной из них к другой можно перейти путем целочисленных элементарных преобразований, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
