И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 14
Текст из файла (страница 14)
100 отдел и. системы линепных упдвненип 1498 — 708 698. х,+ ха+ Зхз — 2ха+Зх =1, 2х, + 2ха-+ 4хз — х1+ Зха = 2, Зх, + Зхз+ 5хз — 2х + Зх = 1, 2хг + 2ха+ 8 ха — Зха+ 9хз — — 2. 699. 2х1 — тз+ ха+2ха+ Зх,= 2, бх,— Зхз+2хз-+4хз+ 5хз — — 3, бх, — Зхз+ 4хз+ Зх4+ 13ха = 9, 4х1 — 2ха+ хз+ ха+ 2ха —— 1.
700. бх,+ 4х +5х +2х +Зхз= 1, Зхг+ 2ха +4ха+ х1+2ха — — 3. Зх,+2ха — 2хз+ х, = — 7, 9х,+6ха+ хз+Зх4+ 2ха= 2. 701. х1+ 2ха+Зха — 2х4+ хз —— 4, Зх,+бх +5х — 4х +Зхз=5, хг+ 2хз+ Ухз — 4х4 + ха — — 11, 2х1+ 4хз+ 2хз Зхе+ Зхз = б. 702. 6х,+Зхз+2хз-1-3х4.+4хз=5, 4х,+2ха+ х +2х, +Зх =4, 4х,+2ха+Зхз+2х,+ ха=О, 2х, + ха+ Ух, + Зха + 2х, = 1. 708. 8х,+ бхз+Зхз+2х4 —— 21, 704. 2х,+ Зха+ хз+2х,=4, Зх,+ Зха+2хз+ х„=10, 4хг+ Зхт+ хз+ х4 — — 5, 4х, + 2ха+ Зхз-+ хт = 8, 5х,.+11хя+Зхз+2х4=2, Зх,+5хз+ хз+ х4 —— 15, 2х,+ 5хз+ хз+ х1=1, 7х1 + 4ха+ 5хз+ 2х4 — — 18.
х, — 7ха — хз+2х,=7. 708'". Доказать, что: а) любую систему з линейных уравнений с а неизвестнымн, у которой матрица из коэффициентов при неизвестных имеет ранг г, путем изменения нумерации уравнений и неизвестных можно привеети к виду обладаю1цему свойствами л1е = 1, лг, + О, лга , -О, ..., л1, эь О, (2) а и. системы линвпных и авниний,, 101 иде еа — минор и-го порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы аа коэффициентов при неизвестных системы (1); б) систему уравнений (!). обладающую свойствами (2), путем йзяда вычитаний ее уравнений.
умноженных на подходящие числа, жз последующих уравнений можно привести к эквивалентной системе ~ сых7 — — с(, (1= 1, 2, ..., з), 7 ! юбладающей свойствами: сичьО при 1=1, 2, ..., г, с,> — — 0 при 7 <1<г. а также при!)ги 7=1, 2, ..., и. (3) (4) Пользуясь методом исключения неизвестных. указанным в за- .даче 705, исследовать совместность и найти общее решение систем уравнений (если исходная система имеет целые коэффициенты, то ю процессе исключения неизвестных можно избежать дробей): 706. х,+2хз+Зхз+ х =3, ха+ 4хз+бхз+2хч= 2, 2х~+ 9хз+ Зла+ Зхч — — 7, Зх, + 7ха+ 7хз+ 2х4 — — 12, бх, + 7ха + 9хз+ 2х„.= 20.
%сан Н,=О при 1=г.+1, г+2, ..., г, то системы (3) и (1) совчаестны, причем при г = л имеется единственное решение, а при ,г < и бесконечно много решений. В последнем случае свободными неизвестнымн являются х,+,...., х„. Из г-го уравнения можно выразить х, через свободные неизвестные. Зставляя это выражение в (г — 1)-е уравнение, найдем выражение .х,, через свободные неизвестные и т.
д. Наконец, иа первого уравнения найдем выражение х, через свободные неизвестные. Полученные выражения хн хз...., х, через свободные неизвестные х,+и .... ха составляют общее решение систем (3) и (1). Это означает, что при любых значениях свободных неизвестных из найденных выражений получим решения систем (3) и (1) н любое реше~пие этих систем может быть получено таким путем при подходящих значениях свободных неизвестных.
Если И~чьО хотя бы при одном значении (~г, то системы (3) н (1) несовместны. Изложенный метод исследования и решения системы линейных уравнений называется методом исключения неизвестных (сравнить с за.дачей 565). 1707 — 7!4- 102 707. 25х, +57хз+42хз+ 108х = 65, ЗОхз+ 69хз+ И ха+ 133Х4 — — 95. 45х, — 28хз+ 34хз 52хз = 9 Збх, — 23х + 29х — 43х = 3, Збх1 — 21хз+ 28х — 45Х4 = 16, 47х,— 32хз+Збх — 48х = — 17, 27хз — 1 9хз+ 22хз — 35хз — — 6. 710.
12хз — 16хз+ 25хз = 29, 27х, + 24хз — 32хз + 47х„= 55. 50х,-+51хз — 68х +95хз=115, 31хз+ 21хз — 28хз+ 46Х4 — — 50. 24х + 14хз+ 30хз+ 40хз+ 41хз — — 28 711 Збх, + 21хз+ 45хз + 61хз+ 62хз = 43, 48х1 + 28хз+ 60хз+ 82Х4+ 83хз —— 58, 60Х1 + 35хз+ 75хз+ 99Х4+! 02хз — — 69.
Отдел и. системы линейных уРАВнениЙ 12х, +14хз — 1бхз+23х +27хз=5, 16х,+ 18хз — 22хз+ 29х + 37хз = 8, 18х, + 20хз — 21хз+ 32хз+ 41х = 9, 10х, + 12хз — 16хз+ 20хз-+ 23хз = 4. 10х1 + 23хз.+ 17хз+ 44хз — — 25, 1бх,+-Збх + 26х + 69х = 40, Исследовать систему и иайти общее решение в вависимости оъ еначепия параметра 7Е 712. 5х,— Зхз+2хз+- 4хз=З, 4Х1 — 2Хз+ ЗХз+ 7Х4 —— 1, 8х,— бхз — хз — бх =9, 7х, — Зхз+7хз+ 17хз= 3. 718. Зх,+2хз+5хз+ 4хз=З, 2х,+-Зхз+бхз.+ 8х =5, х, — бхз — 9хз — 20хз = — 11, 4х + хз+4хз+Зх =2.
714. 2х,+ бхз+ хз+Зхз=2, 4х,+ бхз+Зхз+5хз=4, 4х,+14х + хз+7хз=4, 2хз — Зхз+ Зхз+ Зхз = 7. 'ИБ-7241 % за системы линейных 7!5. 2х,— хз+Зхз+ 4х4 — — 5, 4хз — 2хз+ бхз+ бх4 = 7, бх, — Зхз+ ?хз+ Зхз = 9, Лхз — 4хз+ 9хз+ 10х4 =! 1. '716. 2х,+ Зхз+ хз+2х4=3, 4х,+ бхз+Зхз+4Х4 — 5, бх,+ 9хз+5хз+бх4= 7, Зх1+ 12хз+ ?ха+ Лх4= 9.
'718. Лх,+ хз+ хз+ Х4=!. х1+ Лхз+ хз+ х4 х + х +Л + х4 х~+ хз+ хз+Лхз= 1 ° '719. (1+Л) х|+хз+ха= 1, х, +(1+ Л) хз+ хз —— Л. х, + ха+(1+ Л) хз = Лз. 720. (Л +. 1) х, + хз.+ хз — — Л + ЗЛ, х, + (Л+ 1) х + х = Лз+ ЗЛз, Х1+хз+(Л+ !)Хз=Л +ЗЛ уРАВнений 717. Лх,+ хз+ хз — — 1, Х1 + Лхз+ хз = ! ° х,.+ хз+Лхз=1. Исследовать системы уравнений и найти общее решение в за- висимости от.значений, входвцих в коэффициенты параметров: 721. х+ у+ Х=1, 722. ах+ у.+ х=!, ах+ йу+ ел=А х+Ьу+ Х=1, азх-+ бзу + езх = е!з.
х+ у+ел=1. В каком случае здесь возможны нулевые аначения некоторых иа шеиавестных? 723". ах+ у+ х=а, х+ьу+ х=б, х+ у+ел=с. Найти общее решение и фундаментальную (нли основную) систему !решений для систем уравнений: 724. х, +2хз+ 4хз — Зхз= О. Зхз+'бхз+ бхз 4х4= О, 4х,+5хз — 2хз+ Зх4=0. Зх, + Зхз+ 24хз — 19хз —— О. Отдел ш системы линейных РРАВнении 1725 733 2х,— 4хз+ Зхз+ Зхз=О, Зх,— бхз.+ 4хз+ 2Х«=О, 4х, — 8хз+ 17хз+ 11хз — — О. Зх,+2хз+ хз+Зх +5х =О. бх,+4хз+Зхз+5х„+Уха=О. 9х, + 6хз+ 5 ха + 7 ха + 9хз — — О, Зх, +2хз+4хз-+8хз — — О. 726. 6хз — 2хз+ 2хз-+ 5хз+- Ухз = О.
9х, — Зхз+ 4хз+ 8хз+ 9хз = О. бх,— 2хз+6хз+УХА+ ха=О, Зхз — хз+ 4 ха+ 4хз — хз = О. х,— х =О, Зх, + бхз — 2хз-+ 7х„+ 4хз = О, 2х, + Зхз — ха+ 4хз+ 2хз = О, 7х1 .+ 9хз — Зхз + Зхз+ бхз = О, Зх,+9х — Зхз.+ х -+бх =О. 731. Зх, + 4хз + хз -+ 2хз -+ 3 ха = О, 5х,+ 7хз+ хз+Зхз+4хз=О, 4х,+ Зхз+2хз+ хз+5хз=О. 7х,+10хз+ хз+бх +5хз=О. 733. Докааать, что для любой однородной системы линейных уравне~Ей с рациональными (в частности, с целымн) коэффициентами можно построить целочисленпую фундаментальную систему решений (при условии, что ранг матрицы коэффицнеитов меньше числа неизвестных).
Зх, + 5хз.+ 2хз — — О, 4х, +. Уха+ 5хз — О, х,+ хз — 4хз — — О. 2х, + 9хз+ 6хз = О. хз — хз=О, — х1+хз ха= О, — хз+хз — ха=О, — ха+ха=О. — х,+ха=о. 730. х,— х +-х =О, хз — х,+ха=О. хз — хз + хз — хз О хз — хз + хз = О, х,— х„+ха=О. '73$ — 7391 % Н. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 734. Доказать. что для системы уравнений ~~".,а1ух~ — — О (1=1, 2...., г) 1 1 юанга г(» любые а — г линейно независимых решений а11. аж, ..., аып аз,, а22...., а2„, 105 (2) яде с,. са, ..., с„,— произвольные параметры.
Иными словами, дока- :аать, что при любык значениях параметров с,. с, .... с„„форму- лы (2) дают решение системы (1), и любое решение системы (1) мож- ео получить на формул (2) прн подходящих значениях параметров с„ 'С2 ' " Сч г' Для следующяя систем уравнений найти общее решение вида (2) з1з предыдущей задачи, где каждое неизвестное представлено одно- 1родным линейным выражением от параметров с целыми козффициен- жамн: 736. 2х,+ хз — 4хз — О.
736. 2х1 — х,+бха+Ух„=О. Зх, + бха — Ухз — — О, 4х, — 2х2+ Уха+ 5х4 —— О. 4х, — 5х2 — бхз= О. 2х! х2+ хз 737. Зх,+2ха+бхз+ 2х + Уха=О, бх,+4хз+Ухз+ 4х4+ 5х =О. Зх,-+2хз — ха+ 2х4 — 11х =О, бх,+4ха+ хз+ 4х4 — 1Зх =О. :738.
бх,— 2хт+Зхз+ 4х4+ 9хз=О, Зх,— ха+2хз-+ бх4+ Зх =О, бх,— 2х2-+5хз+20х4+ Зхз — О, 9х, — Зхз + 4хз-+ 2х4+ 1бха = О. 739. 2х,+Уха+4хз+ бх4+ 8хз — — О. 4х1+4х2+бхз+ 5х4+ 4ха= О. х, — 9хз — Зхз — бх„— 14ха = О. Зх1+ 5ха+ Ух2+ бх4+ бха — О. а П 2... ° . Пд образуют фундаментальную систему решений.
а общее решение можл1о представить в виде и-г ху —— ~сааау (У=1, 2, ..., а), 2-1 отдгл и. систямы линяпных илвненни 740. Зх,+4хз+Зхз+ 9хз+. 6хз —— О. 9хг+Зхт+5хз+ бх4'+ 9хз — — О, Зх, + 8хз+ Уха+ ЗОх + 15хз — — О. бх,+бхз+4хз+ Уха+ бхз — — О. 741. Образуют ли строки каждой на матриц 30 — 24 43 — 50 — 5 9 — 15 8 5 2 4 2 9 — 20 — 3 4 2 9 — 20 — 3 В= 1 11 2 13 4 9 — 15 8 5 2 фундаментальную систему решений для системы уравнений Зхг+4хз+2хз-+ хг+ бхз — — О, бх,+9хт+Ухз.+4хг+ Ухз — — О.
4х, + Зхз — хз — ха+ 11ха — — О. х, + бхз+ 8хз+ бха — 4хз —— О. 742. Какие из строк матрицы 6 2 3 — 2 — 7 5 3 7 — 6 — 4 8 0 — 5 6 — 13 4 — 2 — 7 1740 — Чаь образуют фундаментальную систему решений для системы уравнений 2х,— бха+Зхз+2ха+ ха=О, 5х, — 8хз+ бхз+ 4ха+ Зхз = О, х, — Уха+ 4хз-+2ха = О. 4х,— ха+ хз+2хч+Зхз=О. 743е. Доказать, что если в общее решение однородной системы линейных уравнений ранга г с л неизвестными, где галл. вместо свободных неизвестных подставить числа поочередно из каждой строки определителя порядка л — г. отличного от нуля, и найти соответствующие значения остальных неизвестных, то получится фундаментальная система решений.
и. обратно, любую фундаментальную систему решений данной системы уравнений можно получить таким путем прн подходящем выборе определителя порядка л — г, отличного от нуля. '744 — 7481 .-"- а-и. системы линейных уРАВнений 744. Пусть строки матрицы 107 ап аж...а,„ а„аю ... а,„ ар, арт ... а, юбразуют фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений ранга г с и неизвестными (и = г+р). Доказать. что строки матрицы рп рж .- рш рм 6ю .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
