И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 15
Текст из файла (страница 15)
рэ Рр~ Ррт . ' Рра тогда н только тогда также образуют фундаментальную систему реше- мнй той же системы уравнений, когда существует невырожденная матрица р-го порядка Уи Уж ''' 71р ут1 11ю ' ' ' уар У 7 ° ° ° У такая, что р Рь а = ~ У,та7» (1 = 1, 2, ..., Р, й = 1, 2, ..., и). / 1 Пользуясь матричным умножением, эти равенства можно записать одмим равенством В =СА. 746. Покааать, что задача 743 является частным случаем задачи 744. 746. Доказать. что если ранг однородной системы линейных уравменнй на единицу меньше числа неизвестных, то любые два решения этой системы пропорциональны, т.
е. отличаются лишь числовым множителем (быть может, равным нулю). 747. Пользуясь теорией однородных систем лннеиных уравнений, решить задачу б09, т. е. докааать. что если определитель 1) порядка и ) 1 равен нулю. то алгебраические дополнения соответствуюацнх элементов двух любых строк (столбцов) пропорциональны.
748». Доказать, что если в однородной системе линейных уравмений число уравнений на единицу меньше числа неизвестных, то и качестве решения можно принять систему миноров, полученных мз матрицы коэффициентов поочередным вычеркиванием 1-го, 2-го и т. д.
столбцов. причем эти миноры берутся с чередующимися знаками. Далее, показать, что если это решение не нулевое, то любое ,решение получается нз него умножением на некоторое число. ОТДЕЛ П. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (749 — 759 Пользуясь реаультатом предыдущей задачи, найти частное н общее. решения систем уравнений: 749. 5х1+ Зла+ 4хз=о, 760. 4к1 — бха+ 5хз — — О, бх, +-5хз+ бхз = О.
бл1 — 9ха+ 10хз = О. 76!. 2х1 + Зла+ бхз+ бх4 — — О, Зх + 4х .+бхз+ 7х4 = О, Зх,+ ха+ хз+4х =О. 762. 8х, — бхз — бхз+. Зла — — О, 4х1 — хз — Зхз+ 2х4 = О. 12х, — 7ха — 9хз+ бх4 — — О. 763. Доказать, что для того. чтобы система линейных уравнений с числом уравнений, на единицу ббльшим числа неиавестных, была совместна, необходимо (но не достаточно), чтобы определитель, соста- вленный из всех коэффициентов при неизвестных и свободных членов, был равен нулю. Показать, что это условие будет также и достаточным.
если ранг матрицы из коэффициентов равен числу неизвестных. 764. Пусть даны: система линейных уравнений ~~~~аыхт — — Ь1 (1=1, 2, ..., а), 1 ! два решения этой системы ап аз, ..., а„и 91, ба, ..., Ц„и число Х. Найти сне~ему линейных уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных, как в данной системе, имеющую решением а) сумму данных решений: а1+бп па+91, ° ° ° а„+р„, или б) произведение первого из данных решений на число Х: Ха1. ).а,..... йа„.
765. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобьг либо сумма двух решений, либо произведение одного решения на число Х + 1 было снова решением той же системы линейных уравнений. 766. При каких условиях данная линейная комбинация любых решений данной неоднородной системы линейных уравнений снова будет решением этой системы7 767. Какие значения могут принимать неизвестные в любых решениях совместной системы линейных уравнений, если столбцы коэффициентов при всех неизвестных, кроме первого. а также столбегь свободных членов попарно различаются лишь числовыми множителями7 768. Прн каких условиях в любом решении совместной систем4ь линейных уравнений неиавестиое ха имеет одно и то же значениер 759 — 766) 5 и. системы линеиных уРАВнений 109 766.
Найти условия, необходимые н достаточные для того, чтобы в любом решении совместной системы линейных уравнений й-е не- известное было равно нулю. 760. При каких условиях в общем решении системы уравнений у+ ах+ И = О. — х+сг+е(с=О, ах+ су — ей=О, Ьх+~1у+ее=О за свободные неизвестные можно принять х и гг 761, Сколько независимых между собою условий должно быть выполнено для того, чтобы система а линейных уравнений с а не- известными была совместна и содержала г независимых уравнений, для которых остальные уравнения являлись бы их следствиямиу 762. При каких условиях система уравнений х = Ьу + сх + а'и + ео, у =сх+Фи+ео +ах, х =йи+ео +ах+Ьу, и =во + ах+ Ьу+ сх, о=ах+Ьу +ех+г)и имеет ненулевое решение) 763в. При каких условиях система линейных уравнений с веще- ственными коэффициентами Лх+ ау+-Ьх+сг =О, — ах+ Лу + да — йС = О, — Ьх — Ьу -+ Ли+ Г'Г =О, — сх + иу — ух + Лг = О имеет ненулевое решение) Пользуясь теорией линейных уравнений, решить следующие задачи (рассматриваются только прямоугольные декартовы системы координат): 764.
Найти условия, необходимые и достаточные для того. чтобы три точки (х,. у,), (хн уэ), (хз, уз) лежали на одной прямой. 766. Написать уравнение прямой, проходящей через две точки (хи у~) (хт уг). 766. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы три прямые а,х+Ь,у+с,=О, аях+Ь у+с =О, азх + Ьзу -+ ез — — О проходили через одну точку. Но Отдел и. системы линейных уРАВнений 1767 — 777 767. Найтн необходимые н достаточные условия для того, чтобы а точек плосгостн (хн у,), (хм уД, ..., (х„, у„) лежалн на одной прямой.
760. Найти необходимые н достаточные условня для того. чтобы а прямых на плоскости а1х+Ь1у+с1 =О, пах +Ьту+са =О, а„х+Ь„у+с„=О проходнли через одну точку. 769. Найтн условия, необходнмые н достаточные для того, чтобы четыре точки плоскости (х,, у,), (хм ут), (хз, уз), (х4, у4), не лежащие на одной прямой, лежалн на одной окружности. 770.
Написать уравнение окружности, проходящей через трн точки (х1 у1) (хм уы, (хз, уз), не лежащие на одной прямой, 771. Написать уравнение окружностн. проходящей через трн точки (1, 2), (1, — 2). (О, — 1), н найти ее центр н радиус. 772е. 1(оказать, что окружность, проходящая через трн точки с рацнональнымя коордннатамн, имеет центр в точке также с рациональнымн координатами. 773. Написать уравнение крнвой второго порядка, проходящей через пять точен: (х1 у ) (ха уа) (х Ю (х4 у4) (хз уз) 774. Нзйтн уравнение н определять внд кривой второго порядка, проходящей через пять точек: (3, 0), ( — 3, О), (5, 6 3), (б, — 6-~), ( †, — 6 †).
770. Написать уравнение н определить положение и размеры кривой второго порядка, проходящей через пять точек: (О, 1). (+2, О) (+1, — 1). 776. Найти условие. Необходимое н достаточное для того, чтобы четыре точки (х,, у,, з1), (хм ум зт). (хз, уз, зз), (х4, у„, з4) лежаля в одной плоскости. 777. Напнсать уравнение плоскости, проходящей череа трн точки (1,1,1), (2,3,— 1), (3,— 1,— 1).
778 — 787) $ и. системы линейных уРАВнении 111 778. Найти условия, Необходимые и достаточные для того, чтобы четыре плоскости а,х+Ьзу+ с,я+-зг, = О, азх + Ьзр + сзя + згз = О, азх+Ьзу+сзз+ Из= О, азх+ Ьзу+ сзх+ Фз = О проходили через одну точку. 779. Найти условия, Необходимые и достаточные для того. чтобы а плоскостей а,х+Ь,у+с,х+з(,=О (1=1, 2, ..., л) проходили через одну прямую. Но ме сливались в одну плоскость. 780. Написать уравмемие сферы, проходящей через четыре точки (хз уз хг) (хз уз хз) (хз уз хз) (хо уо гз).
ие лежащие в одной плоскости. 781. Написать уравнение и найти центр и радиус сферы, проходящей через точки: (1, 1, 1). (1. 1. — 1). (1, — 1, 1), ( — 1. О, О). 782. Какая система лимеймых уравмемий задает три различные прямые ма плоскости, проходящие через одну точку? 783. Какая система линейных уразмемий задает три прямые ма - плоскости, образующие треугольмик? 784. Какая система линейных уравнений задает три плоскости прострамства.
ме имеющие общих точек, ио пересекающиеся попармо? 785. Какая система лимеймых уравнений задает четыре плоскости пространства, образующие тетраэдр? 786. Указать геометрическую имтерпретацию системы четырех лимеимых уравнений с тремя неизвестными. в которой рамгм всех матриц из коэффициемтов при неизвестмых трех уравнений и ранг расширеммой матрицы равны трем? 787. Рассмотреть все возможмые случаи. встречающиеся при решении систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными, и в каждом случае дать геометрическую интерпретацию даммой системы уравнений. отдел ш МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ф 12.
Действия с матрицами Вычислить произведения матриц 7 8 6 9 5 7 4 5 3 4 5 6 2 1 1 2 1 2 3 4 2 3 4 5 1 3 5 7 2 4 6 8 2 — 1 3 — 4 3 — 2 4 — 3 5 — 3 — 2 1 792. 3 — 3 — 1 2 5 7 — 3 — 4 7 6 — 4 — 5 6 4 — 3 — 2 8 5 — 6 — 1 794.
2 — 3 9 — 6 795. 5 2 — 2 3 92 — 34 2 22 2 — 1 — 53 11 16 24 8 — 8 8 160 — 16 76 — 47 — 18 10 31 — 17 2 1 — 2 — 1 2 . 52 26 — 68 — 46 799-999! 798. 9 еь действия с мдтпицамн ИЗ 1 1 1 — 1 — 5 — 3 — 4 4 5 1 4 — 3 — 16 — 11 — 15 14 Вычислить выражения (':')' (. ")' 801. /2 — ! !." 802. (сова — з!па~" ~3 — 2/ ~ з1п а сова/ где нули обозначают, что все злементы ма- о х„ трнцы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю. 1 1 1 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
