И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 16
Текст из файла (страница 16)
1 807 0 1 1 ... 1 0 О 1 ... 1 1 1 О О...О О!" 806 0110...00 0 О 1 1 ... 0 0 0 0 0 О...О 1 000...1 (порядок данной матрицы равен и). г'17 — 6~а 808. Вычнслнть ~35 2/ . нспользуя равенство ~ 35 — 12/ ' 35 — 12 б 7 О 3 5 — 2 4 3 — 3 899. Вычислить 2 3 — 2 , используя равенство (:: -:)=(:":.')(:.:,)(;::.') 804. 1 1 " 805. Х 1 7 — 2 3 4 11 О 3 4 б 4 3 О 22 2 9 8 114 ОТДЕЛ 1И. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 10!Π— 020 810. Доказать, что если для матриц А и В оба произведения АВ и ВА существуют, причем АВ=ВА, то матрицы А и  — квадратные и имеют одинаковый порядок. 811. Как изменится произведение АВ матриц А и В, если: а) переставить (-ю и тчю строки матрицы А? б) к (-й строке матрицы А прибавить у-ю строку.
умноженную на число с? в) переставить (-й и у-й столбцы матрицы В? г) к (-му столбцу матрицы В прибавить Т'-й столбец, умноженный на число с? 812. Пользуясь иредыдущей задачей и неивменностью ранга прн элементарных преобразованиях (см. задачу 615), доказать, что ранг произведения двух матриц не более ранга каждого сомножителя. 8!3. Доказать. что ранг произведения нескольких матриц не более ранга каждой иэ перемножаемых матриц. 814. «Следом» квадратной матрицы называется сумма элементов.
стоящих на главной диагонали. Доказать. что след АВ равен следу ВА. 8!8. Доказать, что если А и В в квадратные матрицы одного и того же порядка, причем АВчьВА, то а) (А+В)2 чьА'+2АВ+Вг; б) (А+В)(А — В) ~ Аз — Вг. 818. Доказать. что если АВ=ВА. то (А+В)л Ал+ вАл 1В+ п(п ) Ал 2В2+ +Вл Здесь А и В в квадратные матрицы одинакового порядка. 817. Докавать, что любую квадратную матрицу А можно представить.
и притом единственным образом, в виде А =В+С, где  — симметрическая, а С вЂ” кососнмметрнческая матрицы. 818. Матрицы А и В называются перестаиовочными. если АВ=ВА. Квадратная матрица А называетсв скалярной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю. а элементы главной диагонали равны между собой, т. е. если А=сЕ, где с — число, а Š— единичная матрица.
Докавать утверждение: для того чтобы квадратная матрица А была перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была скалярной. 819. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной дкагонали, равны нулю. Доказать утверждение: для того чтобы квадратная матрица А была перестановочна со всеми диагональными матрицами.
необходимо и достаточно. чтобы матрица А сама была диагональна. 820. Доказать, что если А — диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, также диагональна. 521-8311 % щ дапствия с матрицами 115 821. Доказать, что умножение матрицы А слева на диагональную матрицу В=(Лн Ла, ..., Л„) вызывает умножение строк А соответственно на Л,, Лм ..., Л„, умножение же А на В справа выаывает аналогичное изменение столбцов.
Найти все матрицы, перестановочные с матрицей: 828. 7 — 3 822. 1 2 824. 3 1 0 825. О 1 0 0 О 3 1 О 0 1 О 0 0 3 0 0 О 1 0 О 0 0 826. Найти все числа с, умножение на которые невырожденной матрицы А не изменяет ее определителя. 827. Найти вначение многочлена г'(х)=3хт — 2х+5 от матрицы А= 2 — 4 1 828. Найти значение многочлена у(х)=ха — Ухт+13х — 5 от матрицы А= 1 3 — 1 ~а Ь\ 829. Доказать, что матрица А =~ ! удовлетворяет уравнению '1с хт — (а+И) х+ ад — Ьс = О. 880е. Доказать, что для любой квадратной матрицы А существует многочлен у (х), отличный от нулевого и такой, что у (А)=0. причем все такие многочлены делятся на один из ник, определенный одноаначно условием, что его старший ковффипнент равен единице (он называется минимальным многочленом матрицы А).
881е. Доказать, что равенство А — ВА =Е не выполняется ни для каких матриц А и В. 11б отдел цп млтвнцы и квлдватичяыи воины 832. Найти все матрицы второго порядка, квадрат которых равен нулевой матрице. 833в. Пусть А †матри второго порядка и й — целое число, большее двух. Докавать, что Аа= 0 тогда и только тогда. когла Ат=О. 834. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны единичной матрице. 836. Исследовать уравнение АХ = О, где А — данная и Х вЂ” искомая матрицы второго порядка.
Найти обратные матрицы для следующих матриц: 837. 3 4 839. ~сова — а!па~ ~а!п а сева/ ' 844. 1 1 1 1 1 1 — 1 — 1 3 4 1 2 1 — 1 — 2 — 6 0...0! 1...0 1...0 846. 1 2 2 3 1 1 1 0 1 — 1 1 — 1 1 — 1 — 1 1 846. 1 1 1...11 011...1 О 0 1 ... 1 ° 847. 1 1 О 1 0 О 000...1 1 а ая аа 000...1 849. 1 0 0 0 ...
0 0 а 100...00 О а 10...00 0 0 а 1 ... 0 0 лл 0 1 а аа...а"' 0 О 1 а вла 0 0 0 О ... 1 0 0 0 0 ... а 1 (порядок матрицы л + 1). $12. деЙстВия с ИАТРицая1и 1 2 3 4...л — 1 л 0 ! 2 З...л — 2 л — 1 О О ! 2 ... — 3 л — 2 о о о о ... ! г 0 0 0 0 ... 0 1 2 — ! О О...Π— 1 2 — 1 0...0 0 — 1 2 — 1.,0 О О О О...г 862. 111...1 о о ... ! о о о ... ! ! ... о ! ... о 1+а 1 1 ...
1 1 1+а 1 ... 1 1 1 1+а ... 1 (порядок матрицы ра- вен п). 1 1 1 ... 1+а 1+а, 1 1 ... 1 1 1 + ат 1 ... 1 !+па ... ... 1+и„ 0 6 1 1 5 4 2 ! 2 3 3 2 868. Покавать, что вычисление матрицы, обратной к данной матрице порядка и, можно свести к решению и систем линейных. уравнений, каждая иа которых содержит л уравнений с л неиавестными и имеет матрицей коэффициентов при иеиавестиых матрицу Л. Польауясь методом аадачи 866, найти обратные матрицы дла следующих матриц: 867. 3 3 .— 4 — 3 ОТДЕЛ П1.
ЙАТРИНЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ зв 868». 3...п — 1 и 1 2...п — 2 п — 1 п 1...п — 3 п — 2 и — 1 2 3 4 ... и 1 а+Ь а+2Ь а+ЗЬ ... а+(п — 1) Ь а 1 1 ... 1 ея ВЗ ... ВВ-1 е~ ее .„, Вз( -а. ЕЕ ЕЗ З(В 1> 1 1 1 е 1 ез 1 ез 1 ев-1 Рз (е-11 ез (о 1) ., (и-1Р 2п 2п згде е=еев — +(з1и —.
Решить матричные уравнения; 3 4 Х 5 9 ' 862*Х мз.( ).х (, )=(,). (:, —:.) -=(,:,:) Х ° 1 — 3 — 2 = — б 9 0 4 — 5 2 Х 1 1 2 = 18 12 9 867. ° Х = . 868. Х 869. а а+Ь а+2Ь ... а+(и — 2) Ь а+(и — 1) Ь а+(и — 1) Ь а а+Ь ... а+(п — 3) Ь а+(п-2) Ь 118' $12. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ вЂ” 3 3 Х=1 И 1 1 1 ... 1 1 871 1 2 3 ...
а О 1 2 ... а — 1 ОО(...а — 2 о о о О О О ... 1 ,о о о ... 'АВ=ВА, АВ '=В 'А, А 'В=ВА ', А 'В '=В 'А равносильны между собой. 877, Пусть А — квадратная матрица и /(х) и л (х) — любыемногочлены. Показать, что матрицы г'(А) и л(А) перестановочны. т. е. ~(А)8(А)=у(А)~(А). 878. Пусть А — квадратная матрица и г(х)= — — рациональу (х) л (х) ная функция от х.
Показать. что значение г (А) функции г (х) при х= А определено одноаначно тогда и только тогда, когда. 18'(А) ~ + О. , 572. Как иаменится обратная матрица А , если в данной мат-- рице А: а) переставить (-ю и 1-ю строки? б) 1-ю строну умножить на число с, не равное нулю? в) к 1-й строке прибавить /-ю,'умноженную на число с, или со-. вершить аналогичное преобразование столбцов? 873. Целочисленная квадратная матрица называется унимодуларной. если ее определитель равен + 1.
Доказать, что целочисленная маярица тогда и только тогда имеет целочисленную обратную матрицу,. когда данная матрица унимодулярна. 874. Доказать, что матричное уравнение АХ = В разрешимо- тогда и только тогда. когда ранг матрицы А равен рангу матрицы (А, В), получаемой иа А приписыванием к ней справа матрицы В. ,87б. Показать. что матричное уравнение АХ = О, где А — квадратйая матрица, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ~ А[=О.
878. Пусть А и  — неособенные матрицы одного и того жепорядка Показать, что четыре равенства: 1Ю отдел пь мАтРицы и кВАЛРАтичные ФОРмы [679 — ййт -1 ~ЕА Ц') 879. Найти матрицу А, обратную для матрицы А =~ =) О Е/' тде Е„ и Ег — единичные матрицы соответственно порядков Й и 1, .ХУ вЂ произвольн (й, 1) матрица (т. е.
матрица из й строк и 1 столб- цов). а все остальные элементы равны нулю. 880. л-и косым рядом порядка а называется квадратная матрица Н„=(ЬЫ) порядка а, элементы которой определяются равенствами ( 1 при 1 — 8=й, (й=+1, +2, ..., +(и — 1)). ~ 0 при / — 1+й Показать, что Н1 =НА, Н г=Н А. если й=1, 2...., и — 1: А а .Нг =Н г=О, если й ~~в. А .,А 881. Как изменится матрица А при умножении ее слева или справа иа матрицу Н, или Н , предыдущей задачиу 882. Показать. что операция транспонирования матрицы обладает .свойствами: а) (А+В)'=А'+В', б) (АВ)'=В'А', в) (сА) =сА; г) (А ) =(А') ггде с — число.
а А и  — матрицы. 883. Доказать, что если А и В симметрические квадратные ыатркцы одинакового порядка, то матрица С = АВАВ... АВА :является симметрической. 884. Показать. что: а) матрица, обратная к неособенной симметрической. будет симметрической; б) матрица, обратная к неособенной кососимметрической. будет чсососимметрической. .888. Показать.
что для любой матрицы В матрица А = ВВ' -является симметрической. 888. Пусть А'=А' — матрица, полученная из А путем транспо,ннрования н заменой всех элементов на числа комплексно-сопряженжые. Показать, что: а) (А+В)*=А'+В*; б) (АВ)'=В'А', в) (сА) =сА', г) (А ') =(А*) ~. ~где с — число, а А и  — матрацы, над которыми выполнима соответствующая операция. 887. Матрица А называется врнилювол, если А'=А.
Показать. что для любой матрицы В с комплексными или вещественными элементами матрица А=В ° В* является эрмитовой. $12. ДЕИСТВИЯ С МАТРИЦАМИ 121 888. Показать, что произведение двух симметрических матриц тогда н только тогда будет матрицей симметрической, когда данные матрицы перестановочны. 889. Покааать, что проиаведение двух кососимметрическнх матриц тогда и только тогда будет матрицей симметрической, когда данные матрицы перестановочны. 899э. Доказать, что произведение двух кососимметрических матриц А и В тогда и только тогда будет кососимметрической матрнцей, когда АВ= — ВА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
