И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 20
Текст из файла (страница 20)
( У вЂ” 2У+2Л вЂ” 1 Л вЂ” 2Л+11 1,2)„з 2) з+ Л 1 2У вЂ” 2Л / 1023. У+ 2 2Л+ 1 У+ 1 У+4Л+4 2Л+3 У+4Л+3 Лз — 4Л+-3 2Л вЂ” 1 Ла — 4Л+ 2 1024. Лз — 2Л вЂ” 8 У+4Л+4 Лз — 4 Лз — ЗЛ вЂ” 10 Л'+У вЂ” Д вЂ” ЬЭ 2Л +ба+2 У+ЗА — Л вЂ” б У+У вЂ” 2Л вЂ” 12 Л'+Лз — 2Лз — ЗЗ б У+4Л+4 Л'+У вЂ” 23 Л вЂ” 2 Л'+У вЂ” 2Л' 1Л вЂ” 8 У+)Р— Ля+3 2 Хз+ Л вЂ” 2 Лз+ 2Лз — Л вЂ” 2 Лз+)Р— Лз+ Л вЂ” 2 1026. )Я вЂ” 2 Ла+ Л+ 3 ЛР+ 2 Лз — 3 1Р+ЗЛ вЂ” 1 )Р+ЗЛ+3 Лт+2Л+1 У+ЗЛ вЂ” 2 2У вЂ” 4 )Р+Л+ 4 У+ 3 2У вЂ” 5 2Лз+ЗЛ вЂ” 3 )Р+ЗЛ+4 Лз+2Л+ 2 2Лз+ЗЛ вЂ” 4 Найти элементарные делители следующих Л-матриц в поле рацио- иальных, в поле действительных н в' поле комплексных' чйсел 140 Отдел пь матРнцы и кзадРАтичные ФОРмы !1Ойа — !036 1926. У+-2 У+1 2лз — 2 У+1 У+1 2У вЂ” 2 У+2 У+ 1 ЗУ вЂ” б ! 027, 2У+ 3 У+ 1 У+ блз+ Лз+ 2 4У+ 11 2Лз + б 2Лз+ 12лз + 2лз 26 2Лз+ 3 У+ 1 2У+.
12лз+ Лз — ЗО !023 Ла+ ! Лт Л4+ Лз 1 Ла 4) а+ 4Л вЂ” б 2У+3 2лт 2Л4+4лз 2 Зла 10Лз+У+101 14 Лз+2 У У+2лз — 2 2ЛА — 6Лз+Лз+6Л 9 Найти нормальную диагональную форму квадратной Л-матрицы, если иввестны ее элементарные делители, ранг г и порядок и: 1029. Л+!„Л+1, (Л+ 1)з, Л вЂ” 1. (1,— 1)з; г=4. а=б. 1030. Л+2, (Л+2)з, (Л+2)з, Л вЂ” 2, (Л вЂ” 2)з; г=п=4.
1031. Л вЂ” 1, Л вЂ” 1, (Л вЂ” 1)з, Л+2. (Л+2)т; г=4; л=б, 1032Ф. Доказать, что совокупность элементарных делителей диагональной Л-матрицы получается объединением (с надлежащими повторениями) совокупностей элементзрных делителей всех диагональных элементов этой матрицы. 1033». Докавать, что совокупность элементарных делителей клеточно диагональной Л-матрицы равна объединению (с надлежащими повторениями) совокупностей элементарных делителей всех ее диагональных клеток. Пользуясь задачами 1032 или 1033.
найти нормальную диагональную форму следующих Л-матриц: 1034. Л (Л вЂ” 1)з 0 О О 0 У(Л+1) О О 0 О У вЂ” 1 О О О 0 Л(Л+ 1)з 1033. У вЂ” 4 О О 0 О У+2Л О О О О У вЂ” 2У О О О О У вЂ” 4Л 1036. О О О У+ 6Лз+ 9Л О О У+ля — 6Л 0 0 У вЂ” 4Л+4 О О Л+У вЂ” 6Л О О О 141 $13. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ 1О37-16441 1037. О О О Л4+2Лз — 2Л вЂ” 1 О О Л4 2Ла+2Л 1 О О У+2 1+1 9 О )Р— 2Л+1 О О О У+2Л вЂ” 3 Лз+Л вЂ” 2 О О 2Лз+ 2Л вЂ” 4 2У+ Л вЂ” 3 О О О О Л+1 Л+2 О О Лз — 1 Лз+Л вЂ” 2 Лз Л 2 Лз+Лз Л 1 О О У 4 Лз+2У Л 2 О О О О Лз+ 2Л Лз+- 6Л вЂ” 2 О О У+Л вЂ” 2 У+5Л вЂ” 7 О Лз )„г 1 2 Лз 2Л 0 О 1Р+ Лз — ОЛ У+ Л вЂ” 6 У вЂ” 2Л+1 Л вЂ” 2 О О Лз — 2Лз+6Л вЂ” 1 У вЂ” 2Л+5 О О 1038. 1039.
О О О Лз — 2Л вЂ” 3 У+Лз — 91 9 О О О Лз — Л вЂ” 2 Лз+2Л 5Л вЂ” б О О Лз — 21+1 О О Лз+2Л вЂ” 3 Лз+Л вЂ” 2 О О О Лз+2Л4+Л вЂ” 4 Лз+2Лз — 3 О О О 1041. Определив эквивалентность и нормальную диагональную форму целочисленных матриц так, как это сделано в задачах 942, 943, найти наибольшие обшие делители Оз миноров 74-го порядка следующих матриц путем приведения их к нормальной диагональной форме с помощью элементарных преобразований: 1042. О 2 4 — 1 1043. О 6 — 9 — 3 12 24 9 9 ЗО 42 45 27 66 78 81 63 6 12 14 5 О 4 14 — 1 10 6 — 4 11 !044.
Доказать, что любую Л-матрицу ранга г элементарными преобразованиями одних только строк (а также одних только столбцов) можно привести к треугольному или трапецеидальному виду, причем нули, по желанию, можно получить выше или ни4ке главной диагонали, и отличные от нуля элементы будут находиться лишь в первых г строках (соответственно в первых г столбцах). 142 ОТДЕЛ Пг. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [104б !Об( 1045». Докавать, что каждую невырожденную А-матрицу А можно представить в виде А = Р!с, где Р— унимодулярная ),-матрица, а й — треугольная А-матрица, элементы которой на главной диагонали имеют старший коэффициент, равный единице, ниже главной диагонали равны нулю. а выше главной диагонали имеют степень, меньшую степени элемента главной диагонали того х<е столбца (илн равны нулю), причем такое представление единственно. а,,а...,...а,, гэйаг,г, ...
а...л аца1а ° ° ° а|л аиазз ... аш и В= а„,а„з'... а„л а а ... а глй |лгэ ' ' ' слал подобны 0 14. Подобные матрицы. Характеристический и минимальный многочлены. Жорданова и диагональная формы матрицы, функции от матриц Все задачи этого параграфа ставятся в матркчиой форме.
В частности, свойства характеристических чисел матрииы н приведение матрицы к жордановой форме рассматриваются вне связи со свойствамн собственных векторов и икварнантных подвространств соответствующего линейного преобразования. Эта связь (в частиостц отыскание базиса, в котором матрица данного линейного преобразования имеет жордллолу форму) рлссмлтрилаетсл в отделе (т'.
Это не мешает использовать аадачн данного параграфа при изучении свойств линейных преобразований в той мере, в какой усвоена связь линейных преобразований с их матрицами в каком-либо базисе. !046. Матрица А нааывается подобной матрице В (что обозначается так: Аж В). если существует невырожденная матрица Т такая. что В= Т АТ. Показать. что соотношение подобия обладает следующими свойства и: а) АжЛ; б) если А В. то ВжА; в) если А = В и Влм С, то А = С.
1047. Доказать, что если хотя бы одна иа двух матриц А, В невырожденна, то матрицы АВ и ВА подобны. Привести пример двух вырожденных матриц А, В, для которых матрицы АВ и ВА не будут подобны. 1048». Найти все матрицы. каждая из которых подобна только сама себе. 1049.
Пусть матрица В получена из А перестановкой 1-й и /-й строк, а также 1-го и /-го столбцов, Доказать. что А и В подобны и найти невырожденную матрицу Т, для которой В=Т АТ. 1000». Показать, чта матрица А подобна матрице В, полученной из А зеркальным отражением в ее центре. 100!. Пусть |Р Гэ..... 1„ — любая перестановка чисел 1. 2...,.
и. Докззать, что матрицы 1052 — !0591 % и. подовные матвнцы 143 1062. Пусть даны матрицы А и В. подобные между собой. Покааать, что совокупность всех невырожденных матриц Т, для которых В=Т АТ. получится иа совэкупности всех невырожденных матриц, перестановочных с А, путем умножения этих матриц справа на одну любую матрицу Тз со свойством В=Та зАТд. ! 066.
Доказать, что если матрица А подобна диагональной матрице, то и р-я ассоциированная с ней матрица Ар (аадача 969) также подобна диагональной матрице. 1064. Доказать, что если две матрицы А и В подобны диагональным матрицам, то их кронекеровское произведение А )( В (задача 963) также является матрицей, подобной диагональной матрице. 1ОББ. Доказать. что если матрицы А и В подобны, то и р-е ассоциированные с ними матрицы Ар и Вр (взятые при любых двух расположениях сочетаний по р нз п номеров строк и столбцов) также подобны. 1066. Доказать, что если матрицы А, В, подобны соответственно матрицам Аз, Вз, то кронекеровскне произведения А, Х В, н АзХВз (взятые при любых двух расположениях пар индексов) также подобны между собой. 1067.
Доказать, что если квадратная Л-матрица В представляется в виде В=ВэЛ'+В,Л' '+ ... -+В„где Вз, Вн ..., В,— матрицы, не зависящие от Л, и матрица Вр невырожденна, то любую квадратную ).-матрицу А того же порядка. что и В, можно рззделить на В слева или справа, т.
е. существуют правые частное Ц, и остаток гс, такие, что А=ВЦг+йн и левые частное Яя и остаток Вя такие. что А =ИВ+)2, причем степени элементов матриц Вг и 77 относительно Л ниже з и обе пары ьГн й, и Яз, Йз определены одноаначно. 1068. Матрицу — 2Лз+ БЛ+3 — Лз-+ ЗЛ+.2 — Л-!-6 А = — ЗЛЯ+ 7Л+ 11 — ЗЛЯ+ ОЛ+ 1 — 2Л+ 8 — Лз+ 2Л+ 8 — 2ЛЯ+ БЛ+-3 — Л+ 4 2 ! — 1 разделить слева на  — ЛЕ. где В= 2 ! 2 1069. Матрицу 2 — ! 3 — Лз+ Лз+ЗЛ-+6 Лз+2Л Лз+2Л+6 А = — 2Лз+ 2Лз+ 9Л+ 8 ЛЯ+ 6Л+ 1 2Лз+ 7Л+ 8 Лз ( Лз+ЗЛ+-Б Лз+2Л вЂ” 9 Лз+БЛ вЂ”,2 1 2 1 рааделить справа на  — ЛЕ, где В= 3 2 3 1 2 3 144 Отдел нь мАтРицы и кВАдРАтичные ФОРмы !!060 — 10аб 1060».
Доказать, что если две матрицы А и В с числовыми элементами (или с элементами из некоторого поля Р) подобны. то их характеристические матрицы А — ХЕ и  — ХЕ эквивалентны. 1061*. Докааать. что если характеристические матрицы А — )сЕ и  — ХЕ двух матриц А и В эквивалентны. то сами эти матрицы подобны. При этом показать, что если  — 7 Е= Р(А — ХЕ) Я. где Р и Я вЂ” унимодулярные Х-матрицы и Ра, 1;)з — остатки при делении Р слева, а Я справа на  — )сЕ, то В = РаАфа н РЯ~ = Е, т. е.
матрица Яа осуществляет подобное преобразование матрицы А в матрицу В. 1062. Доказать, что любая квадратная матрица А подобна своей транспоннрованнон матрице А'. Выяснить. являются ли подобными между собои следующие м атрицы: . 1064. 6 А= 1 14 — 2 — 7 — 1 20 — 2 — 11 — 2 19 — 3 — 9 — 1 4 10 — 19 4 1 6 — 8 3 1 4 — 6 2 Π— 1 1 0 1 3 41 — 4 14 — 13 40 — 4 0 0 — 26 — 7 — 91 — 18 — 25 — 8 0 1 Пользуясь методом, указанным в задаче 1061, для данных матриц А и В 'найти невырожденную матрицу Т, такую. что В = Т АТ (искомая матрица Т определена не однозначно): с — ~о); 6 — 15 5 — 5 С-( — 4 6 20 — 34 В= 6 32 — 51 4 20 — 32 37 — 20 — 4 В= 34 — 17 — 4 119 — 70 — 11 В= — 2 — 6 13 — 70 119 — 19 34 — 20 35 1067 — 1078! $!Ь ПОДОБНЫЕ МАТРИЦЫ вЂ” 04) — 00) — ! ! — 22 — 8 — 20 — 6 — 10 1070».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
