И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Именно. элемент матрицы С, стоящий в 1-9 строке и у-м столбце, определяется так: с,.=и, ь, . где (1Ц 1з)=ай (гн /)=ар Доказать, что: а) (А + В) Х С = (А Х С)-+ (В Х С); б) А Х(В+С)=(А Х В)+-(АХ С); в) (АВ) Х (Со) = (А Х С) (В Х П). 964в. Правым прямым произведением квадратных матриц А по- рядка т и  — порядка и называется клеточная матрица АХ 'В= =С=(СВ). где Сы — — и„.В (А у= 1. 2, ..., т).
Аналогично, левым прямым произведеняем тех же матриц называется клеточная матрица А' Х В=О=Щ), где 1)г1 — — АЬВ (А,г'=1, 2„..., и), Доказать. что: а) оба введенных произведения являются частными случаями кро- некеровского произведения. определенного в предыдущей задаче. 132 ОТДЕЛ 1П. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ [йб5 — 969 Найти порядок нумерации пар (6 у), дающий правое и левое прямые произведения; б) АХ'В=В ХА; ') АХ (ВХ С)=(А Х В)Х С' г) еслн Е» — единичная матрица порядка в, то Е )('Е„=Е„)( Х Еи=Е»л1 д) если А н — неособенные матрицы.то(А)(*В) 1=А 1)( В '. Для левого произведения справедливы свойства, аналогичные в), г). д).
966». Пользуясь двумя предыдущнми задачамн. доказать, что если А — матрица порялка гни  — порялка и. то ~ А )(В~=) А~")( у )В~" (см. задачу 540), 966». Пусть А =(а11) — квадратная матрица порядка и. Матрн- цей, взаимной с А (нли присоединенной к А), называется матрица А=(аВ). где а — — Ай (1. 1=1, 2...., и). Иными словами, ма- трица, взаимная с А. получается транспонированием матрицы, соста- вленной из алгебраических дополнений элементов матрицы А. Доказать. что: а) АА=АА=~А~Е. где Š— единичная матрица; б) (А)=~А~" А при и) 2, (А) А прн в=2.
967». Показать, что (АВ) = В ° А. где А — матрица, взаимная с А, определенная в предыдущей задаче. 968». Матрицей, ассоциированной с квадратной матрицей А по- рядка п. называется матрица А=(а11), где агт — минор элемента аВ матрицы А. Доказать, что: а) (А В) = АВ; б) (А)=~А~" А при п 2, (А)=А при п=2. 969». Пусть А=(а11) — квадратная матрица порядка и н пусть все сочетания из а чисел 1.
2, .... л по р чисел й, ( ля ( ... ( Лр занУмеРованы в каком-либо поРЯдке а,. ат, ..., ам, где 1ч'= С~. р-й ассоциированной с А матрнцей называется матрица Ар в †(а1 й р), составленная из надлежащим образом расположенных миноров р-го /1Н 1з, ...,1'1 поРЯдка матРицы А; именно а1 др —— А~. ). где а, есть сочетание 11 л гт ... с. гр, а1 — сочетание /1 тт( ...
(/р. Доказать. что: . а) (АВ)р — А В; 194 Отдел.н>., мАтРицы и кВАдРАтичные ФОРмы (932 999 989. Л(Л+1) 0 0 983, 1 — Л Ла Л О Л О Л Л Л О О (Л+Цз 1+ Лз Лз — Лз 984». Инзариантнмми мноиеителями Л-матрицы А порядка н называются многочлены Е,(Л)„Е2(Л), ..., Е„(Л), стоющие на главной диагонали в нормальной диагонзльной форме матрицы А.
Делителями миноров матрицы А называются многочлены 1), (Л), 02(Л),... ..., .0„(л), где Вз(л) — наибольший общий делитель (взятый со старшим коэффициентом. равным единице) миноров»-го порядка матрицы А, если не все эти миноры равны нулю. и йз(Л)=0 в противном случае. Доказать, 'что Е„(Л) чь0 и Рз(Л) чь 0 для 9=1. 2...., г. где г — ранг матрицы А. тогда как ЕА(Л)=ПА(Л)=О для 12 =г+ 1, ..., н. Далее похавать, что Е„(Л) = В (Х) з ~ ( х ) (9=1. 2, ..., г", Во=1).
Следующие Л-матрицы привести к нормальной диагональной форме при помоши делителей миноров. определенных в задаче 984. т 986. Л (Л вЂ” 1) 0 0 О Л(Л вЂ” 2) 0 0 0 (Л вЂ” 1) (Л вЂ” 2) . 986. Л(Л вЂ” 1) 0 0 0 Л(Л вЂ” 2) 0 0 0 Л(Л вЂ” 3) 987. (ь-»(ь-И(ь-9 0 О (ь-»(А-2>(А-з> 0 0 0 (к-»(А-з>(А-з> 0 0 988. а'ед 0 0 0 0 0 0 (Ь-И(А-З>(А-З О дзену 0 0 0 0 аЬез 0 О О 0 аье>2 где а. Ь. е, 6 — попарно взаимно простые многочлены от Л 989.
У(Л) О ) Л ), где у(Л) и 8'(Л) — многочлены от Л. 0 а(Л),>' где /. 8; Ь вЂ” многочлены от Л, попарно 0 у1>,0, вааимно простые и имеющие старшие коэффициенты, равные единице. 99! — 999! $ !3. ПОЛИИОМИАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ где 7. у, й — многочлены от Л со старшимн коэффициентами, рав- ными единице. взаимно простые в совокупности. но не обявательно попарно вааимно простые.
где 7. у, л — любые многочлены от Л со старшими коэффициентами, равными единице. 993. Л 1 О 0 О Л 1 0 оол О 0 О Л 997. 2!в — 12Л+ 16 2 — Л 2ЛТ вЂ” 12Л+ 17 0 3 — Л 0 Лт — 6Л+ т 2 — Л Ла — 6Л+ 3 998. ЗЛв — бЛ+ 2 О 3!а — 6Л+ 3 2Ла — ЗЛ+ 1 Л вЂ” 1 2ЛЯ вЂ” 4Л+ 2 2Ла — 2Л 0 2Лт — 4Л+2 Л1 1...1 ОЛ'1...1 О ОЛ...! О О 0 ггт Л 996. Л вЂ” 1 О Л 0 О 0 0 1! 2 996. Л+а — б 0 0 994. Л 1 0 0 ОЛОО О 0 Л 1 0 0 0 Л О 0 0 — о о Л вЂ” 1 0 0 Л вЂ” 1 3 4 б+Лу 1 0 Л+а 0 1 0 Л+а 0 — 6 Л+а !Еэ Отдел пь мАтРииы и кВАдРАтичные ФОРмы !100о-1606 Выяснить, эквивалентны ли между собой матрицы: ЗЛ+1 Л 4Л вЂ” 1 А= 1 — !Р Л вЂ” 1 Л вЂ” У Лз+Л+2 Л 7Р+2Л Л+1 Л вЂ” 2 Л2 — 2Л В= 2Л 2Л вЂ” 3 Л2 — 2Л вЂ” 2 1 1 1000. ! 001.
1002. ! ЗЛз 6Л2+ Л+3 2Лз — 4Л2+ЗЛ вЂ” 1 Лз — 2Л2 + Л А = ЗУ вЂ” ЗЛ+ 5 2У вЂ” 4Л+ 1 !Р— 2Л+ 1 ЗУ вЂ” ЗУ вЂ” 5Л+ 6 2У вЂ” 2Л2 — Л+ 1 Лз — У вЂ” Л+ 1 ЗУ вЂ” 9У+7Л+1 2У вЂ” 6!Р+7Л вЂ” 2 Лз — ЗЛ2+ЗЛ вЂ” ! В= ЗУ вЂ” 9У+9! — 5 2У вЂ” ОУ+6Л вЂ” 1 !Р— ЗУ+ЗЛ вЂ” 1 ЗУ вЂ” ОУ+ ЗЛ+6 2Л2 — ОУ+ЗЛ вЂ” 2 Лз — ЗУ+ЗЛ вЂ” ! ЗУ вЂ” ЗЛ+ 1 У вЂ” Л О С = 27Р— Л вЂ” 1 7Л вЂ” ЗУ вЂ” 4 Л2 — 2Л+ 1 5!Р— 7Л+ 3 5Л вЂ” 2У вЂ” 3 Л2 — 2Л+ 1 1003. Л-матрица называется улимодулярлод. если ее определитель является многочлеиом нулевой степени относительно Л, т.
е. константой. отличной от нуля. Найти нормальную диагональную форму унимодулярной Л-матрицы. !004. Доказать. что матрица, обратная к !.-матрице, тогда и только тогда будет Л-матрицей, когда данная матрица А унимодулярна. 1005Ф. Доказать утверждение: для того чтобы две прямоугольные л-матрицы А и В. каждая из л2 строк н а столбцов, были эквивалентны, необходимо и достаточно выполнение равенства В =РАС7, где Р и Я в унимодулярные Л-матрицы порядков л2 и н соответственно. Показать, что требуемые матрицы Р и 1г можно найти так: найдя ряд элементарных преобразований, переводящий А в В, при- Л2+Л+ 1 Лг+Л 1„2 Л Л2 3 Ля+1 2 У+1 О У Л2 12 ЗЛ вЂ” !Р 2У+ Л Ла ЗЛ У 2У+Л Л 2Л вЂ” Ла 2!Р+ Л Л2 Л2 2Л2 Л2 3Л2 У 3!2 У ЗЛ2 Л2 2Л2 У нюв — 10121 % !3.
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ 137 менить все преобразования строк в том же порядие к единичной матрице Е порядка в, а все преобразования столбцов в том же порядке к единичной матрице Е„ порядка и. Для данной Л-матрицы А методом, указанным в вадаче 1005. найти унимодулярные матрицы Р. Я таяне, что матрица В=РАьг имеет нормальную диагональную форму (матрицы Р и 1г определяются не однозначно): !999. У вЂ” Л+4 Лз+ 3 Лз — 2Л+3 У вЂ” Л+2 1007 ( Л4 + 4Лз+. 4Лз+ Л+ 2 Лз+ 4У.+,)Л ~ Лз+ ЯР+ 8Лз+ ЗЛ+ 2 У+ 5У+ 8Л+ 4 1098. А Л4 )Р+1 Лз+ ЗЛз 5Лз+ Л+ ! 2Л4+ЗЛз — 5Лз.+ Л вЂ” ) 2Л4+2Лз — 4У 2У вЂ” У вЂ” У 2ЛА — 2У Л4+2)з 4)з+)+) 2Лз+2)з 4У+Л ! 2У+)з ЗУ Для данных Л-матриц А и В найти унимодулярные Л-матрицы Р и 1;Л удовлетворяющие равенству В= РАЯ !матрицы Р и Я определяются не однозначно (см.
аадачу 1005)): 1009. 2Лз — Л+ 1 ЗЛз — 2Л+ 1) (ЗЛз+7Л+ 2 ЗЛз+4Л вЂ” 11 2)Р+Л вЂ” 1 ЗУ+) — 2 /' <~2Лз+5Л+1 2У+ЗЛ вЂ” 1/ 1010. < 2Лз Л 1 2ЛА+Лз ЗЛ) !Лз Лз+Л 1 2Лз Лз+Л 2~ У )„)„з Л /' ) Лз У 2)„з У Л/' 10! 1. Лз+Л вЂ” 1 Л+1 ),з — 2 Лз ~ 2Лз ) я+2Л+1 Ля+Ля — 2Л вЂ” 1 Ля+Ля — Л+ ! Ля+ Л У вЂ” 2Л+ 1 4Л+ 3 2Л+-2 2У вЂ” 2Л вЂ” 3 В = 1ОЛ+ 2 5Л+ 5 5У вЂ” 5Л вЂ” 2 ,)Лз 7Л 8 2У ЗЛ 5 2Лз 7У+ 2Л+ 8 10!2 Лз У Л+. 1 2Лз+ 2Л Лз+ У А = 2Лз — ЗЛз — ЗЛ+ 2 5Лз+ 5Л 2Лз+ 2Лз Лз — Л У+ Л Ля+У У+2Л+1 У+Л 0 В = 2Лз+ ЗЛ+ 1 Лз+ ЗУ+ 2Л У+ У ЗУ+ 5Л+ 2 2У+ 5)Р+ ЗЛ 2Лз+ 2)Р $!з, полиномиАльные млтниць! ' 139 1020-ПЩ 1020».
Л вЂ” а О Л вЂ” а О О Л вЂ” а ()... О О О О...Л вЂ” а 4порядок матрицы равен и). Элементарными делителями Л-матрицы А называются многочлены е,(ЛЛ лз(Л1 ..., зз(Л) со старшими коэффициентами, равными единица, совпадающие с наивйсшнми степенями неприводимых множителей, входящими в разложения инвариантных множителей Е, (ЛЛ Ез(ЛЛ ..., Е„(Х) матрицы А на неприводимые множители. При атом совокупность злементарных делителей матрицы А содержит каждый многочлеи Е;(Х) столько раз„сколько инвариантиых .множителей Ез(Х) содержит его в своем разложении.
Разложение ма неприводимые множители берется нзд тем полем, над которым расема; трнваются многочлены, являющиеся злементами матрицы А. В дальнейшем, если не оговорено противное, рассматриваются злементарные делители иад полем комплексных чисел, т. е. каивысшие степени многочленов вида Л' — и, входящие в разложения инвариантных множителей матрицы А на линейные Множители. Найти элементарные делители следующих Л-матрнц: 1021, )„з+ 2 Лз+ 2У вЂ” У вЂ” Л+ 3 2)Р— У вЂ” Л+ 2 1022.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
