И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 10
Текст из файла (страница 10)
алл би Ь„... Ьлр бм Ь22 ' ' ' Ьар порядка р. Ь„,б...б Составим определитель порядка ар1 аЬ ...а и и ... атлЬН аиб12 ... й1пб12 ... йиб1р ° а1пб1р а Ь ... а 2, и ... азлби й1,б,2 ... йапб12 ... а,,Ь,р ... а,лЬ,р а Ь ... а Ь а л лл И л,Ь„... аплЬ,2 ... а,об,р ...
аллЬ,р аиЬИ ... й1пЬ2, аиЬ22 ... а,лЬю ... аиЬ2» ... а,лЬар а2,Ь21 ... атлб21 аиЬ21 ... аяпб22 ... ат,Ь2р . ° ° аалбтр йл1Ь21 ' ' йппбж ап1бм " ' йлпб22 ' ' йп1Ь2р ' ' аплб2р ал,бр, ... а лЬр, ал,Ь, ... арпб 2 ... ал,Ь р ... аллЬр Таким образом, матрица определителя лл состоит нз )22 клеток по и строк и и столбцов в каждой. При этом клетка. стоящая в 1-и клеточной строке и /-и клеточном столбце (для любых 6 у = 1, 2, ..., р).
получается из матрицы определителя А умножением всех ее элементов. на Ь1б Доказать, что О= АРВ". Определитель )) называе~ся кронекеровским произведением определителей А и В (см. задачи 963, 966). 641. Доказать следующее правило разложения окаймленного определителя: если йи йж . аьл м а22 ''' а2л йл, йля ... йлл [542 — 545 отдял г. опгядялнтяли тв н А — алгебраическое дополнение элемента а,р то ап агв . а1е х, ам аэг ... аэ, хв а„, а„в ... а„„х„ Уг Уя ° ° Ул — ~~ А ху..
Пгр ь/ 1 О а д — а О с — д — с О гле за неиавестные приняты а, д. с. 643в. Пользуясь двумя предыдущими задачами, доказать. что кососимметрический определитель четного порядка является квалратом некоторого миогочлена от его элементов, стоящих выше главной диагонали. 644в. Показать, что если в общем выражекии кососимметрического определителя каждый элемент а ~ при у ) 1 заменить через — агр то сократятся все члены. подстановки из индексов которых при разложении на циклы дают хотя бы один цикл нечетной длины. 646в.
Пусть Р— кососимметрический определитель четного порядка л с элементами аП вЂ”вЂ” — ар(О у= 1. 2, ..., и). Пфаффовым произведением определителя Р нааывается проиаведение в котором индексы и элементов. в него входящих, образуют перестановку 1о гэ ..., 1„ чисел 1, 2, ..., и; е = + 1, если эта перестановка четная, и з = — 1, если нечетная.
Пфаффово произведение нааывается приведенным. если оно состоит только из элементов. лежащих в Р выше главной диагонали (т. е. если у каждого элемента первый индекс меньше второго). Член определителя Р назовем существенным, если подстановка из его индексов имеет только циклы четной длины. Пара приведенных пфаффовых произведений Ип Ия (в данном порядке) нааывается соответствуюлВед данному существенному члену определителя Р, если она построена по этому 642*.
Пусть элементы определителя Р ивляются многочленами от неизвестных х,, хэ, .... х, с числовыми (или иа произвольного поля Р) коэффициентами. причем Р= О. Докааать, что алгебраические дополнения элементов определителя Р можно представить в виде А — АгВр О г'= 1, 2, ..., и. где все А~ и В1 — многочлены от х,, хз...., хе Найти эти многочлены для определителя дл % 8. РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ 545-иб) 79 члену следующим образом. Пусть подстановка из индексов данного члена записана в циклах так: (П1оя ... Пв 1аз)(Р1РЗ ... Р 1Р ) ...
(11111я ... 11а 111а), (1) -причем а1 = 1 н каждый цикл. начиняя со второго. начинается с наименьшего числа из чисел. Ее вошедших в предыдущие циклы. Строим пфаффовы произведения №=Егаа»а,а«,,, ... аа„г а„алг З,авн В, ... ав н»Р»аа»1»а ' .. а»а Р»а И / ага=залая а Лаа аа ° аа„, а,айл З ада З ... аа З, а»,, »,а»,, », Н»,, »1 ° ватем наждый элемент агр где 1) 7, заменяем череа — ад. Соответственно меняется знак е, илн ез, но меняется и класс перестановки, так что при каждой замене мы снова получаем пфаффово произведение.
Выполнив в 1т', и 1тз все указанные замены. мы и получим пару №, Мз приведенных пфаффовых произведений, соответствующую данному существенному члену О. Йоказать, чтог 1) Любая пара приведенных пфаффовых произведений (различных или одинаковых) соответствует одному и только одному существенному члену общего разложения определителя О. (В общем разложении Й члены, получающиеся один из другого заменами типа а17 — — — л н считаются различными.) Иными словами, установлено вааимно однозначное соответствие между всеми существенными членами и всеми парами приведенных пфаффовых произведений определителя Р. 2) Каждый существенный член равен произведению приведенных пфаффовых произведений соответствующей ему пары.
3) О= рз, где р — сумма всех приведенных пфаффовых произведений, называемая пфаффовым агрегатом или пфаффианом определителя Р. 646а. Локазать следующую рекуррентную формулу, удобную для вычисления пфаффова агрегата, определенного в предыдущей аадаче. Если р„— пфаффов агрегат . кососнмметрического определителя О„=1аг)! четного порядка л) 2, а р1„— пфаффов агрегат определителя с11», полученного из О„ вычеркиванием л-й н 1-й строк. а танже соответствующих столбцов, где 1= 1, 2, ..., л — 1, то а-1 1-1 Ра= Х( 1) Ргалга' Рз=пж.
1 1 ОТДЕЛ Е ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1547 — зб! Показать, что р1„ получается иэ р„ з увеличением на 1 всех индексов элементов, больших или равных й 647. Пользуясь формулой прелыдущей задачи. вычислить пфаффнаны рз, рм рз. 648. Пользуясь формулой задачи 546, найти число слагаемых пфаффова агрегата р„кососимметрического определителя Р„четного порядка л. т. е. число различных приведенных пфаффовых произведений оиределнтеля Р„(произведения, различающиеся лишь порядком сомножителей, различными не считаются).
64У'. Пусть Р— кососимметрический определитель нечетного по« рядка и с элементами а11 (й у = 1. 2, .... и), М11 — минор элемента аО, р„„+, — пфаффов агрегат минора Мп. Показать, что М11=Р1,л+1рдвю (1 1=1. 2, ..., и). Далее. покавать, что за многочлены А1, В1 вадачи 542 (при условии, что неизвестными л1, ..., х, считаются элементы Р, стоящие выше главной диагонали) можно принять А,=( — 1) 1р, „+,.
В1 — — ( — 1) ~р „+Р 1-1 О а Ь Проверить, что для определители — а О с этим путем — Ь вЂ” с О чается тот же ез льтат что и в з аче 542 если честь что полу Р у д ( в задаче 542 А1 и В1 определены с точностью до изменения знака у всех этих многочленов). 660э. Доказать, что определитель общего вида, рассматриваемый как многочлен от своих элементов, принятых за неизвестные, не разлагается на два множителя, каждый нв которых есть многочлен от тех же неизвестных степени.
отличной от нуля. Иными словами. определитель является неприводнмым многочленом от своих элементов н притом над любым полем. 661э. Пусть Р = 1а1 ~ — определитель порядка л > 1. л †люб ив чисел 1, 2, ..., л, 1 „11 =С„ = ; обозначим через зн /л1 ь л1 ' 1л) ч в1(п — в)! ' зз..... г „) всевозможные сочетания из и чисел 1, 2, ..., п по л, занумерованные в произвольном.
но в дальнейшем неизменном порядке (для определенности числа в каждом сочетании можно считать расположенными в порядке возрастания, хотя для дальнейшего это не существенно); п11 — минор л-го порядка определителя Р. стоящий на пересечении строк с номерамн из сочетания г1 и столбпов с номерами из сочетания г., О у=1. 2...., ( 1", а11 — алгебраическое дополнение минора п11 в Р. Определителем миноров л-го йай — ббз) $8.
РАЗЛИЧИЫЕ ЗАДАЧИ 81 порядка определителя О нааозем определитель порядка ~ ), имеющий вид Рц 1«ш " 1«1л) 1«ю 1«ю . )«(л) Р(л~ Р~л) ° ° 1«(л)(л) глг Введем еше опРеделитель Ь«поРЯдка 1 а), полУчаюшийса из Ь« заменой каждого миноРа н,1 его алгебРаическим дополнением агт в Е). Показать, что: 1) значения определителей Ь«и Ь«не меняются прн изменении нумерации сочетаний, т. е. при перестановке сочетаний в последовательности зп зз, ..., г~л)', 2) Ь„=ЬЛ „. Это — обобщение утверждения вадачи 242; 3) Ь„Ь, = ОЦ 4) Ь, = О"-1т; 6) Ь,= Е~~ «т.
662е. Вычислить определитель Рл= ~р~1~. в котором р,т=1. если 1 делит /, н рф — — О, если 1 не делит у. Найти значение опре- ДЕЛИТЕЛЯ Кл= ~д,т~, В КОТОРОМ у~1 РаВНО ЧИСЛУ ОбЩИХ ДЕЛИтЕЛЕй чисел 1 н г. 663е. Функлией Зйлера называется функция ф(л). равная числу чисел ряда 1, 2, ..., л, взаимно простых с л. Пользуясь предыдущей задачей и теоремой Гаусса о том. что л=~ч'.,ф(д), где сумма берется по всем делителям 0 числа и (включая 1 н само л), показать, что опРеделитель поРЯзка л П,~ —— ~г(гт~, где бган — наибольший общий делитель чисел 1 и /, равен ф(1)ф(2) ... ф(а).
ОТДЕЛ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ $9. Системы уравнений, решаемые по правилу Крамера Следуюшие системы уравнений решить по правилу Крамера: 664. 2х,+-2хг — хз+ ха=4, 666. 2х,+Зхг+11хз+5х =2, 4хг+ Зхг — хз+2хз — — 6, хз.+ хз.+ бхз+ 2хз = 1, 8х,+5хг — Зхз+4хз=12. 2х,+ хг.+ Зхз+.2хз — — 3, Зх,+Зх -2хз+2х =6. х,+ хг+ Зхз+4х„= — 3. 666. 2х,+ 5хг+4хз+ хз=20. 667.3х,+4хг+ хз+2хз+З=О, х,+ Зхг+2хз+ х4 — — 11, Зх,+бхг+Зхз-+бхз-+6 = О„ 2х,+10хг+ 9хз+7хз — — 40, бх„+Зхг+ хз+бхз+8 = О.
Зх + 8хг.+ 9хз+2хз — — 37. Зхз+бхг+Зхз+7х4+8 = О. 668. 7х,+9хг+4хз+2хз — 2 =0. 669. бх+-5у — 2г+ 41+ 4=0, 2х,— 2хг+ х+ х — 6=0, 9х — у+4г — т — 13=0, 5х, +-бхг-+ Зхз+2хз — 3 = О, Зх+ 4у+ 2г — 21 — 1=0„ 2хз+Зхг+ хз+ х4=0. Зх — 9у+2т — 11 =О. 660. 2х — у — бг+ 31+ 1=0. 661. 2х+ у+ 4г+81= — 1, 7х — 4у+2г — 1бз+ 32= 0, х+Зу — бе+21=3, х — 2у — 4г+ 91 — 5 = О. Зх — 2у+ 2г — 21 = 8, х — у+ 2г — 6з+- 8 = О. 2х — у+-2г = 4. 662.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
