И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Определим сложение и умножение классов через соответствующие операции над их представителями, т. е. если числа а, Ь, а+Ь и аЬ принадлежат соответственно классам А, В, С и В, то положим А+В = С и АВ = — В. Доказать, что при таких операциях множество классов является кольцом (кольцо вычетов Е„по модулю а). 1742». Доказать, что конечное коммутативное кольцо без делителей нуля.
содержащее более одного элемента, является полем. 1743». Показать, что кольцо вычетов по модулю л (задача 1741) будет полем тогда и только тогда, когда п — число простое. 1744. Квадратная матрица называется скалярной. если ее элементы на главной диагонали равны между собой. а вне главной диагонали — равны нулю. Показать, что скалярные матрицы порядка п с действительными элементами при обычных операциях образуют поле, изоморфное полю действительных чисел. 1745 — 1755!. вж. кольца и поля ( а 1746. Показать, что матрицы вида ( ), где а и Ь вЂ” дей- ~ — Ь а) ствительные числа.
образуют поле, изоморфное полю комплексных чисел. /а Ь1 1746. Доказать, что поле матриц вида ~ ) с рациональными 1,2Ь а) а, Ь (задача 1724) изоморфно полю чисел вида а+Ь'$~ 2 также с рациональными а, Ь. Л47». Доказать, что алгебра вещественных матриц вида Ь с и) — Ь а — т1 с — с с1 а — Ь вЂ” т1 — с Ь а мзоморфна алгебре кватернионов а+И+с7+сИ. а+И с+Ж1 1748. Доказать, что алгебра матриц аида 1 — с+И а — И/ с действительными а, Ь. с, 0 и 1='у" — 1 изоморфна алгебре кватернионов а-+И +с/+т1л.
1749. Найти все автоморфиамы (т. е. изоморфные отображения на себя) поля комплексных чисел, оставляющие неизменными действительные числа. 1760». Доказать, что любое числовое поле содержит в качестве, подполя поле рациональных чисел. 1761». Доказать, что при любом изоморфизме числовых полей подполе рациональных чисел отображается тождественно. В частности. поле рациональных чисел допускает лишь тождественное изоморфное отображение в себя. 1762». Доказать, что тождественное отображение является единственным изоморфным отображением поля действительных чисел в себя. 1768. Пользуясь задачей 1752. найти все изоморфные отображения поля комплексных чисел в себя.
переводящие действительные числа снова в действительные. 1764. Доказать, что минимальное подполе любого поля характеристики нуль изоморфно полю рациональных чисел. 1765. Доказать, что минимальное подполе любого поля характеристики р иаоморфно полю вычетов по модулю р. 1766. Решить систему уравнений х+2з=1, у+2з=2. 2х+л=1 в поле вычетов по модулю 3 и по модулю 5.
дополнвнив 11737 — 1768 !767. Решить систему уравнений Зх+у+2в=1. х+2у+Зя=1, 4х+Зу+2г=1 в поле вычетов по модулю 5 и по модулю 7. 1768. Найти наибольший общий делитель многочленов У (х) = ха+ ха+ 2х+ 2, й (х) = ха+ х+ 1 а) над полем вычетов по модулю 3; б) над полем рациональных чисел. 1769.
Найти наибольший общий делитель многочленов .У(х) = 5хз+ ха+ бх+ 1. п(х) = 5ха+ 21х+ 4 а) над полем вычетов по модулю 5 (при этом каждый коэффициент а надо понимать как кратное ае единицы е укаэанного поля или заменить коэффициенты их наименьшими неотрицательными вычетами по модулю 5); б) над полем рациональных чисел. !760. Найти наибольший общий делитель многочленов / (х) = х4+ 1. п(х) = ха+ х+ 1 над полем вычетов по модулю: а) 3; б) 5, 176!в. а) Доказать, что если многочлены у(х) и п(х) с целыми коэффициентами взаимно просты над полем Ур вычетов по простому модулю р.
причем хотя бы один из старших коэффициентов не делится на р, то эти многочлены взаимно просты над полем рациональнык чисел. б) Показать на примере, что для любого простого числа р обратное утверждение не верно. 1762в. Доказать, что многочлены /(х) и п(х) с целыми коэффициентами тогда и только тогда взаимно просты над полем рациональных чисел. когда они взаимно просты над полем вычетов по модулю р, где р — любое простое число, исключая, быть может, конечное множество таких 'чисел.
1763. Многочлен ха+ха-+ха-+ ! разложить на неприводимые множители над полем вычетов гю модулю 2. 1764. Многочлен ха-+2ха-+4х+ 1 разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 5, 1765. Многочлен ха+ ха+ х+ 2 разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 3. !766. Многочлен х"+Зхз+2ха+х+4 разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 5. 1767. Разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 2 все многочлены второй степени от х. 1768. Разложить на неприводимые множители над полем вычетов по модулю 2 все многочлены третьей степени от х.
1769 — 1776] $ ЯЬ КОЛЬЦА И ПОЛЯ 231 1709. Найти все многочлены второй. степени от х со старшим коэффициентом 1, неприводимые над полем вычетов по модулю 3. 1770. Найти все многочлены третьей степени от х со старшим коэффициентом 1, неприводимые над полем вычетов по модулю 3. 1771в. Доказать, что если многочлен 7" (х) с целыми коэффициентами приводим над полем рациональных чисел, то он приводим над полем вычетов по любому простому модулю р, не делящему старший коэффициент.
Привести пример многочлена. приводимого над полем рациональных чисел, но неприводимого над полем вычетов по модулю р. где р делит старший коэффициент. !772э. Доказать, что мультипликативная группа О поля Х„вычетов по простому модулю р является циклической. 1773э'). Существуют многочлены с целыми коэффициентами. не- приводимые над полем рациональных чисел. но приводимые над полем -вычетов по любому простому модулю р. Доказать. что таким будет, например, многочлен 7" (х) = х"— — 10хз+1.
Этот многочлен — многочлен наименьшей степени с целыми коэффициентами, имеющий корень и= р'2+-у'3, 1774в. Доказать, что если все элементы коммутативного кольца )с имеют общий делитель а, то это кольцо обладает единицей. 1776. Указать коммутативное кольцо с единицей, содержащее элемент ачь О с одним из следующих свойств: а) аз=О; б) для данного целого числа а) 1 выполнены условия а"=О. алчь О, если 0 ч. Ь( и. 1776. Пусть )т — коммутативное кольцо с единицей е.
Доказать, что: а) обратимый элемент (т. е. делитель единицы) не может быть делителем нуля; б) обратимый элемент имеет единственный обратный элемент; в) если Ь. е обратимы, то а делится на Ь тогда и только тогда, когда аб делится на Ье; г) главный идеал .(а) элемента а из Й тогда и только тогда отличен от )с, когда а необратим. 1777. Пусть Й вЂ” коммутативное кольцо с единицей е и без делителей нуля.
Доказать, что: а) элементы а, Ь тогда и только тогда ассоциированы, когда каждое из них делится на другой„ б) главные идеалы (а) и (Ь) тогда и только тогда совпадают, когда а и Ь ассоциированы (определение главного идеала дано в задаче 1783). 1778. Пусть )т — коммутативное кольцо с единицей е и )т(х)— множество всех формальных степенных рядов ~ а„х', а„~й. ч-О ') Эту задачу указал автору И. Р. Шафаревич. [ 1779 — 1781 дополнкния Введем обычные операции сложения и умножения 7нгдов: ~~.', а„хи + ~~.'~~ р„х" = ч~р„(а„+ р„) х", и О и О и О ~~', а„х" ~~.", р„х" =,'У', у„х". и где 7„= ~ на[1„ы а-О Показать, что: а) Л(х) — коммутативное кольцо с единицей; б) )т(х) содержит подкольцо, изоморфное )т; в) если Й не имеет делителей нуля, то это верно и для Й(х)1 г) если Й вЂ” поле, то аР~ а„х" тогда и только тогда будет обраи О тимым элементом кольца Й(х).
когда азФ О. 1779О. Пусть )с' — множество всех чисел вида а+Ь [/ — 3, где а и Ь вЂ” целые рациональные. Показать, что 1т — кольцо с единицей. в котором разложение на простые множители существует, но не однозначно. В частности, показать. что в двух разложениях 4 = 2 ° 2 = (1+ 1/ — 3) (1 — 1/ — 3) сомножители являются простыми, причем 2 не ассоциировано 1+ 1/:3. 1780О. Доказать, что все конечные суммы ~~'.~ аз ° 2 с целыми коэффициентами и неотрицательными двоично рациональными г, относительно обычных операций сложения и умножения чисел образуют коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, в котором не существует разложения на простые множители. П81.
Будут ли следующие множества подгруппами аддитивной группы, подкольцами или идеалами указанных ниже колец: а) множество пХ чисел, кратных числу л~ 1, в кольце целых чисел У; б) множество Е целых чисел в кольце Е [х) целочисленных много- членов; в) множество лХ[х[ многочленов. коэффициенты которых кратны числу л > 1, в кольце Е[х) целочисленных многочленов; г) множество Ф натуральных чисел в кольце целых чисел У; д) множество Е целых чисел в кольце А целых гауссовых чисел, т.
е. чисел вила а +Ь1 с целыми рациональными а, Ь; е) множество В чисел а+Ь1, где а= Ь, в кольце А целых гауссовых чисел; 17Ы вЂ” 1766) 1 гь кольца и поля ж) мио кество С чисел вида х(1+ 1) а кольце А целых гауссовых чисел. где х пробегает вой кольцо А; з) множество л [х) целочисленных многочленов в кольце. Й [х) многочленов над полем Й рациональных чисел; и) множество 1 многочленов, не содержащих членов с хь для всех )г( п. где и) 1, в кольце а [х) целочисленных многочленов; к) множество 1 многочленов с четными свободными членами в кольце е,[х) целочисленных многочленов; л) множество 1 многочленов с четными старшими коэффициентами в кольце е.[х) целочисленных многочленов. 1782.
Доказать, что пересечение любого множества идеалов коммутативного кольца Й является идеалом. 1783. Главным идеалом (а), порожденным элементом а коммутативного кольца Й, называется минимальный идеал. содержащий а. Доказать, что идеал (а) существует для любого элемента а ~ й и состоит из всех элементов вида: а) га, где г †люб элемент из Й, если )с имеет единицу; б) га.+па, где г †люб элемент из К, и и†любое целое число, если гт не имеет единицы.
1784. Идеалом (М), порожденным множеством М коммутативного кольца гт', называется минимальный идеал, содержащий М. Если множество М состоит из конечного числа элементов ан .., а„ то идеал (М) обозначается также через (а,, а,). Доказать. что идеал (М) существует для любого непустого множества М ~)7 и состоит из всех конечных сумм вида: а) ~ г,ад г!Ей, а!~М, если К имеет елиницу; б) ~л~~~ гьа!+ ~л'.! п!а!, 'гь Ей: а! ЕМ; и! — целые числа, если й не имеет елиницы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
