И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 41
Текст из файла (страница 41)
1809. Пусть !т — множество всех бесконечных последовательностей целых чисел а=(а,, аз, ...) со сложением и умножением по компонентам. Проверить, что й — коммутативное кольцо с единицей. т. е. циклический модуль над самим собой. Найти в этом модуле подмодуль, не имеющий конечной системы образующих. Это показывает, что подмодуль циклического модуля может не быть циклическим. а подмодуль коиечнопорожденного модуля может не быть конечно- порожденным. !810.
Пусть М вЂ” модуль иад коммутативным кольцом й. а) Доказать, что если Й не имеет делителей нуля, то множество А<=.М всех периодических элементов является подмодулем модуля М; б) показать на примерах, что для кольца )т с делителями нуля предыдущее утверждение может быть неверно. 1811в. Пусть Л вЂ” модуль над кольцом главных идеалов )с, а и Ь вЂ” периодические элементы Л порядков 0 (а) = (п), 0 (Ь) = (Ы. б — наибольший общий делитель а и Ь. Доказать, что элемент а+Ь вЂ” также периодический порядка 0 (а+Ь) = (у). причем: а) у делит —; б) у кратно —,.
иб ор 1812ч. Модуль М называется периодическим, если все его элементы являются периодическими. Модуль Л над кольцом главных идеалов Й нааывается примариым, если порядки всех элементов ив М как идеалы в Я порождаются степенями одного и того же простого элемента р из !т. Модуль М называется примой суммой системы (необявательно конечной) своих подмодулей Мо если каждый ненулевой элемент из М однозначно представляется в виде суммы конечного числа ненулевых элементов, взятых по одному из некоторых Ло Доказать, что любой периодический модуль М над кольцом главных идеалов Й разлагается в прямую сумму примарных подмодулей.
1818в. Пусть Л вЂ” модуль над кольцом )т. Доказать теорему: для того чтобы в М любой подмодуль имел конечное число образующих, необходимо и достаточно, чтобы в М удовлетворялось условие максимальности для подмодулей: любая возрастающая последовательность подмодулей (необизательно рааличных) М, с М с= ... 11ВИ вЂ” 1622 дополнение стабилизируется на конечном шаге. В частности, это верно для идеалов кольца Я. если его рассматривать как модуль над самим собой. 1814. Доказать, что если )а) и [Ь) †унитарн циклические модули над одним и тем же кольцом /с.
причем порядки а и Ь связаны включением 0 (а) с= О(Ь), то существует гомоморфиое отображение )а) на )Ь). 1816. Пусть М= )а) — унитарный циклический модуль над коммутативным кольцом Й с единицей е. Доказать, что: а) порядок 0(а) элемента а есть идеал в Я; б) фактор-кольцо ///0(а), рассматриваемое как модуль над й с естественным умножением, определенным умножением в Й, иаоморфно модулю М. 1816.
Пусть М = А+  — разложение модуля М над кольцом /! в прямую сумму подмодулей А н В. Докааать, что фактор-модуль М/А изоморфен как модуль над В модулю В. 1817. Модуль М называется расширением модула А при помощи модули В, если А — подмодуль М и фактор-модуль М/А изоморфен В (М, А,  — модули над одним и тем же кольцом /!). Доказать. что расширение конечнопорожденного модуля при помощи конечнопорожденного есть конечнопорожденный модуль. 1818. Доказать, что если в модуле М выполнено условие максимальности для подмодулей (см. задачу 1813), то это условие выполнено в фактор-модуле М/А модуля М по любому подмодулю А, 18!9».
Пусть А, В в подмодули модуля М над кольцом Я. Доказать следующую теорему об изоморфизме: (А + В)/А — В,'(А П В). 1820». Пусть М вЂ” унитарный модуль с конечным числом образующих х,. хя ..., х„над коммутативным кольцом Я с единицей, Доказать, что если условие максимальности выполнено для идеалов в кольце й, то оно выполнено и для подмодулей в модуле М (эту теорему можно обобщить на некоммутативные нольца с условием максимальности для левых или правых идеалов). 9 28. Линейные пространства н линейные преобразования (добавления к параграфам 10, 16 — 19) 182!. Доказать, что для выполнения равенства пх+ру=рх +пу где а, Ь вЂ” числа и х.
у в векторы. необходимо и достаточно, чтобы было или а=6, или х=у. 1822». а) Не пользуясь коммутативностью сложения векторов, доказать. что правые противоположный и нулевой элементы будут и левыми; б) пользуясь пунктом а), доказать, что коммутативность сложения векторов вытекает нз остальных аксиом линейного пространства.
1323 — 133ц % вь линепные пРОстРАнствА и линейные пРеОБР. 239 !823. Пусть  — поле действительных чисел и У вЂ” множество всех функций, заданных н принимающих положительные значения на сегменте [а, Ы. Определим сложение двух функций и умножение функции на число равенствами: УОК=УК* ООУ=У". У. й'б)г ОЕ)У.
а) Проверить. что при указанных операциях У является линейным пространством над полем В; б) доказать, что пространство Р' изоморфно пространству )г' всех действительных функций, заданных на сегменте [а. Ы, прн обычных операциях сложения функций и умножения функции на действительное число; в) найти размерность пространства )г. 1824. Доказать линейную независимость системы функций в~1».. . е~»", где ЛР .... Л» — попарно различные действительные числа. 1823а. Доказать линейную независимость системы функций х~1, ..., х » где ан ..., а„ вЂ” попарно различные действительные числа. 1828Р.
Доказать линейную независимость систем функций: а) з!п х, соз х; б) 1. з!пх. сов х; в) з!пх, з!п2х, .... з!пих; г) 1. созх. соз2х...,. сових; д) 1, созх, з!пх. соя 2х, сйп2х, ..., сових, з1пих. 1827Р„Доказать линейную независимость систем функций: а) 1, з!пх. з!Пах, .... з!п»х; б) 1, созх, совах, ..., соз" х. 1828. Докааать линейную зависимость систем функций: а) 1, з!пх, созх, з!пах. совах, ..., з1п" х, соз" х при п)~2," б) з!пх. созх, з!пах. совах...., з1п х. соз»х при п) 4. 1829Р. Проверить. что все однородные многочлены степени й от п неизвестных хп хм ..., х„с действительными коэффициентами (или с коэффициентами из любого поля) вместе с нулем прн обычных операциях образуют линейное пространство, и найти его размерность.
!830». Проверить, что все многочлены степени 4!! от п неизвестных хп хз, .... х„с действительными коэффициентами [или с коэффициентами иа любого поля) вместе с нулем при обычных операциях образуют линейное пространство, и найти его размерность. 1831. Пусть и — линейное пространство всех многочленов от х степени ~( и. и ) 1, с действительными коэффициентами. а) Докааать, что множество д, всех многочленов из уг. имеющих данный действительный корень с, является подпрострзнством 1Г; б) найтн размерность д; (!) (2) хп .... хе,. Уг ° °" Уа п-мерного пространства У„были эквивалентны (или порождали одно и то же подпространстзо), необходимо и достаточно.
чтобы в любом базисе соответствующие друг другу миноры матриц А и В из координатных строк векторов этих систем были пропорциональны. 1833. Доказать. что любое подпространство е. и-мерного линейного пространства Ув является областью значений некоторого линейного преобразования ф.
1834. Доказать, что любое подпространство е. и-мерного линейного пространства Ув является ядром некоторого линейного преобразования ф. 1836. Доказать, что если для каждого из попарно различных собственных значений Х,, Хэ, ..., Х» линейного преобразования ф взять линейно независимую систему аобственных векторов. то система, содержащая все взятые векторы, линейно независима. 1836э.
Пусть У вЂ” действительное линейное пространство (или линейное пространство над полем Р, характеристика которого отлична от двух) и У= е,+М вЂ” разложение пространства У в прямую сумму подпространств с. и М. Тогда любой вектор х однозначно представляется в виде х=у+Я; уЕС.
КЕМ. Линейное преобразование ф, определенное условием фх=у, называется проектированием пространства У на е. параллельно М. По задаче 1538 проектирования совпадают с идемпотентными преобразованиями, т. е. с линейными преобразованиями, обладающими свойством ф~= ф. Пользуясь этим, доказать утверждения: а) если ф — проектирование на е. параллельно М и е — тождественное преобрааование. то е — ф — проектирование на М параллельно с; б) для того чтобы сумма ф=ф, +фа двух проектирований ф, и фа была проектированием, необходимо и достаточно условие: %ЧЪ = фзф1 = ы (1) где ы — нулевое преобразование; если ф, и фа в соответственно проектирования на Ц параллельно М, и на оз параллельно Мм при- '240 дополнение [1832 — 1836 в) то же для множества бь.
1 (и (п, всех многочленов из У. имеющих й различных действительных корней сн ..., са (без учета их кратности); г) является ли подпространством множество е.' всех многочленов нз У, имеющих простой действительный корень су !832э. Доказать теорему: для того чтобы две линейно независимые системы с одинаковым числом векторов 13Зу 133З) 4 тз. лининные пгостилнствл и линии!«ыв назови. 241 чем выполнено условие (1). то «р=Ч«! +Ч«з — проектирование ма А = Е,! + ат параллельно М= М, П Мт; в) для того чтобы разность «р=«р, — «рт двух проектирований Ч«! и «р! была проектированием, необходимо и достаточно выполнение условия (2) Ч««Ч«т = Ч«з«г! = Ч«2: если «Р, и Ч«а в пРоектиРованиЯ. опРелеленные в пУнкте б), пРичем выполнено условие (2), то Ч! = «р, — «рз — проектирование иа Е = А! П Мя параллельно М=М«+Ц г) для того чтобы произведение Ч«=Ч««Чз двух проектирований «р! и Ч«з было пРоектиРованием, достаточно выполнение УсловиЯ (3) «г«Ча = Ч«зЧ«! если Ч«! и Ч«т — проектирования, определенные в пункте б).
причем выполнено Условие (3), то Ч«=Ч««Ча — пРоектиРование ма Е=Е! ПЦ параллельно М = М, + Мз (здесь сумма необяаательно прямая). Показать на примере, что условие (3) не является необходимым для того, чтобы произведение проектирований Ч«! и «р! было проектированием. 1837в. Доказать, что если для преобразования «р евклидова пространства У в себя существует сопряженное преобразование Ч«*, т. е.
преобразование. обладающее свойством («рх, у).= (х, «ру) для любых векторов х, у из У. то Ч« и Ч«* линейны. В частности, симметрическое и кососимметрическое преобразования можно определить, соответственно, равенствами (Ч«х, у) = (х, Ч«у) и (Ч«х. у) = — (х Ч«у) без требования линейности. 1838. Найти расстояние между двумя плоскостями Р,: х= аз+ +««а,-+«за! и Р;! х=Ь,+«,Ь,+«,Ьз, где а,=(2, 1, О.
1). а, = (1. 1. 1, 1), аз = (1, О, О, 1), Ье — — (1, — 1, — 1, 0). Ь! = =-(1, 1„0, — 1), Ьз=(1, 1, 2, 3) и координаты векторов даны в ортонормированпом базисе. 1839. Гильбертовыл«аросл«ракством называется множество У всех бесконечных последовательностей действительных чисел х=(ан ам ...). для которых сходится ряд из квадратов ~~'.~~ а~. Такие последователь- ! 1 ности мазь«ваются аекторахи (или точками) пространства У. Сложение векторов, умножение вектора на число и скалярное умножение векторов определяются обычным образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
