И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 44
Текст из файла (страница 44)
имеющей размерность на единицу большую, чем большая из размерностей гс1 и Ня. 1890*. Доказать, что через любые непересекающиеся плоскости н1 н ггя и-мерного аффинного пространства можно провести параллельные гиперплоскости и', и н'. 189!. Пусть н1 = а1+ Е1 и пя — — аз+ Ея — непересекающиеся плоскости конечномерного аффинного пространства. Найти плоскость лез наименьшей размерности. содержащую г1 и параллельную нм 1892.
Доказать, что если плоскость не аффинного пространства параллельна каждой из плоскостей 11 и пересечение гс плоскостей и непУсто, то н есть плоскость. паРаллельнаЯ не. 1698. Выразить условие параллельности двух плоскостей и-мерного .аффинного пространства. заданных общими уравнениями, с помощью понятия ранга матрицы. и 1894. Гиперплоскость, заданная общим уравнением ~~'.~ агх1 = Ь, 1=1 разбивает л-мерное аффинное пространство на два полупространства, состоящие из точек, координаты которых удовлетворяют одному из л Л неравенств ~~'.~агх1 ~~Ь или ~~'.~агх1~(Ь. Доказать. что каждое из этих 1 1 1-1 нолупространств является выпуклым множеством. 1895е1).
Многогранник Р задан как выпуклое замыкание системы .точек четырехмерного аффинного пространства. заданных координатами: 0(0, О, О, 0). А(1, О, О. 0), В(0, 1, О. О), С(1 1, О, 0), й(0, О, 1. 0). Е(0, О, О, 1), Е(О, О, 1, 1). а) Написать систему линейных неравенств. задающих многогранник Р; б) найти все трехмерные грани этого многогранника. !896.
Решить задачу. аналогичную предыдущей задаче. для точен: О(0, О. О. 0), А(1, О, О. О). В(0, 1, О, 0). С(0. О, 1. 0). 0(1. 1. О. О), Е(1, О, 1, О). Е(0. 1. 1, 0). ()(1. 1. 1, 0), Н (О, О, О, !). ') Задачи 1895 †18 указал автору Э. Б, Вииберг, 1997-1899! 5 24. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕИРА 1897. Найтв вершины и форму многогранника Р трехмерного пространства, заданного системой неравенств Хт ~1) Хэ-4~1. Х2.~41. Ха+Ха)~ 1 Х2+Хэ)~ — 1.
Хг+Хэ)~ — 1.. 1898. Найти форму и вершины сечений четырехмерного куба, заданного в ортонормированной системе координат неравенствами О < х, ~( 1. 1= 1. 2. 3. 4, плоскостями: а) х,+ха+ха+х4=1; б) х,+ха+ха+х4 — — 2; з) хг+хэ+ха=!; г) Х2-+Хэ=хэ+Х4=1. 1899в. В трехмерном аффинном пространстве . Из над полем лэ. из двух элементов О и 1 найти: а) число всех точек; б) число всех прямых; в) число всех плоскостей; г) число точек. лежащих на одной прямой; д) число прямых, проходящих через одну точку; е) число точек, лежащих на одной плоскости; ж) число плоскостей, проходящих-через одну точку; з) число прямых, лежащих на одной плоскости; и) число плоскостей.
проходящих через одну прямую; к) число. прямых, параллельных данной прямой; л) число плоскостей, параллельных данной плоскости; м) число прямых, параллельных данной плоскости; н) число плоскостей, параллельных данной прямой о) число прямых, скрещивающихся с данной прямой. 9 26. Тензорнаи алгебра' ) Приведем основные понятия н свойства, которые предполагаются и"- вестными из курсов лекций. Доказательство некоторых из укаэанных свойств предлагается в качестве аэдач з этом параграфе. Пусть в и-мервом линейном прастранстве У„(действительном, комплексл л л ном или над некоторым полем Р) даны два базиса еи еэ, ..., э„и ен еэ, ..., е,„ Этн базисы связаны равеиствамж е, = с,е, + сгяэ+ ... + с,еы 1 2 л г 1 2 л ээ — — стяг+стет+...
+сэюы е„'=с„'е,+с„еэ+... +с,",е„, или в сокращенной записи я,'=4яэ (2=1, 2, ..., ). (1) ') Ряд задач этого параграфа указан Н. В. Ефимовым и Л. А. Скорнякозым в связи с курсом «Линейная алгебра и геометрия», чнтавшимся ими на механико-математическом факультете МГУ с 1964 года. В частности, определение тензорного пронзведенив и применение к нему понятна свертки (см. введение и задачу 1981) взяты нз курса Н, В, Ефимова. ДОПОЛНЕНИЕ Здесь и ниже по индексу, стоящему как сверху, так н снизу,предполагаетсн суммирование в пределах от 1 до ж Введем матрицу перехода С, Сг...лл 1 1 1 2 2 2 С '1 'г" 'л сл сл ... сл 1 2 ''' л по столбцам которой стоит координаты векторов второго базиса в первом ').
Тогда формулы (1) в матричной форме запишутся одним равенством (Е,, Е> ..., Е„) =(ЕН Ег„..., Ел) С. Координаты вектора х в первом базисе выразится через координаты того же вектора во втором базисе при помощи строк матрицы С по формулам: хл = слх', й = 1, 2, ..., л.
Отсюда координаты х выразятся через х" в виде: х"=Елгхл,1=1,2, ..., и. ~1 ~2 Нл 1 1. 1 бг ... 122 1 2 л Введем матрицу л) = по столбцам которой стоят козф- фнциенты в выражениях х'1 через хл. Тогда формулы (2) в матричной форме запишутся равенством (х'1, х'2, ..., х'л) = (х', хл, ..., хл) О. Так как, с другой стороны, (х', хг, ..., хл) =(х', х'2, ..., х'л)С', то матрицы С н Ю связаны равенством 1)=(С)-'. (3) Здесь и ниже звездочкой обозначена транспоннрованная матрица. Если обе матрицы С и Е) писать из козффициентов формул (1) и (2) не по столбцам, а по строкам, то зги матрицы заменится на транспонированные и равенство (3) не изменится. Закон изменениц аналогичный изменению базиса по формулам (1). называетсн коларианл1ным, а закон изменения по формулам (2) — канл1раларилнтнылс Величины (нли другие объекты), связанные с базисом и изменяющиеся коварнантно, называются колариантными и обозначаются нижними индексами, а изменяющиеся коитравариантно называются контралариалтлыми и обозначаются верхними нндексамн.
г'ензором в и-мерном линейном пространстве называется такое соответствие, при котором каждому базису пространства соответствуют и"+Я чисел л,.'1 г ' ге, отмеченных р нижними и е верхними шщексами и изменяющихся ') Если матрицу перехода писать не по столбцам, а по строкам, то формулы, использующие матричное умножение, изменятся, формулы же (1),(2) н другие, не использующие умноженив матр~щ останутсн прежними. 5 26. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА Здесь, как обычно, по всем индексам йр и /с предполагается суммирование в пределах от 1 до л.
Теиэор можно определить иначц как геометрический объект, связанный с линейным пространством У„. Для этого рассматривают сопряженное пространство У„. Его векторами являются линейные функции су(х), залдиные на данном пространстве У„при обычных операциях сложения двух функций и умножения функции на'число. Пространство У„также л-мерно, причем каждому базису еь ея ..., е„пространства Уя соответствует единственный базис е, ет, ..., е" сопряженного пространства Ут нааываемыйсолрялсенным (или ззаимным) базисом для данного базиса пространства У„и связанный с ним равенствами е (е/)=бс (с',/=1, 2, ..., л), (б) где бс — символ Кронекера, равный 1 при с = / и 0 при с ф /.
Если базис ес преобразован по формулам (1), то сопряженный базис еС преобразуется по формулам е' = баде (с = 1, 2, ...„л). Между всеми полилинейиыми функциями р(х„х,, ..., хрс с/с, Чр, ..., с/ч) от р векторов из У„и е векторов нз У„и всеми тензорами типа' (р, сс) на У„можно установить следующее взаимно однозначное соответствие, изоморфное относительно операций сложения, умножения и умножения на число. Полнлинейной функции, написанной выте, соответствует тензор, коорлинаты которого в базисе еь еь ..., е„пространства У„определяются равенствами: ас с "'с ч/ р !тес, ес, ..., ес; е, е, ..., е 4/! //," ° / / . /, /, /1 т" р ~ !' т'"' р' (С, "., Ср, /с, °" /» 1, 2, ..., л).
НаобоРот, теизоРУ с кооРдинатами ас с '"с ч в базисе ев ет, ..., е„со'! т'- р ответствует полилинейная функция, определенная равенством Р (» хэ хр ср! сут срс) /с/т"./ ь! сэ с ! 2» =ас с "', »хс хз ... х ри/ и/ ...и/, (у) сэ"'р р ! з ч' (б) с изменением базиса новариантно по нижним и контравариантно по верхаим индексам. Зтн числа называются координатами тензора в данном базисе, а число р+!у — за нтностью т»нзора.
Говорят также, что данный тен- зор являетсн р раэ коварнантным и (с раз контравариантным, или тензором типа (Р, т). По определению тензора его координаты в двух базисах I ! с Ев Ет, .... Е„и Еи Ет,..., Ея, связанных равенством (1), сами связаны равенством с/с/т" / а! Ат " /! /2 / ссст"' ас с „. с» = сс сс " »с Рбс 'с(с . " бс чаз а .. »а 'ст"'р ! т р ! т ч сэ"' р (Сь ..., Ср, Л...
/»= 1. 2, ..., л). ДОПОЛНЕНИЕ где х„х-„..., х," — координаты вектора х, в базисе еь е, ..., е„к хэ иг, а~э,..., кг — координаты вектора <)г в сопряженном базисе е1, ет,, „е". При этом значение полилинейной функции на данных векторах не зависит от выбора сопряженных базисов в Ф'„и )'„. Ввиду укаэанного соответствия тензоры на пространстве Ф'л можно определить независимо от базиса как полилииейные функции от векторов пространства )'л и сопряженного пространства У„. Просщранстаом с квадратичной метрикой иазываетск л-мерное действительное линейное пространство М„, в котором задана иевырождеиная симметрическая билинейная функция я (х, у), называемая метрической функцией.
Если соответствующая ей квадратичная функция х (х, х) положительно определенна, то пространство с квадратичной метрикой является евклндовым пространством и будет обозначаться через Е„. В этом случае вместо х(х, у» будем писать просто (х, у) и называть значение этой функции скалярным произведением векторов х и у. В пространстве М„ каждому базису еь ет, ..., е„ соответствует единствеяный взаимный базис е', ез, .... е", снязанный с данным базисом раненствами (8) д(еп е)) = Ь~ (в., у= 1, 2, ..., и). Кюкдый вентор х нз пространства М„разлагается по базисам е~ и е', т.
е. х = хгег = х~ег. Прн изменении базиса е1 по формулам (1) координаты хг в этом базисе изменяются по формулам (2), т. е. контравариантио, и называются контравариантными координатами. В то же время взаимный базис ет преобразуется по формулам еы=ц~гез (1=1, 2, ..., и), (9) а координаты хг в этом базисе — по формулам хг — — сэх (1 = 1, 2, ..., н), (10) 'т. е. ковариаитно, н называются ковариантными координатами. При фиксированном векторе у~Ми функция ф„(х) = х(х„у) является линейной функцией от х, т.
е. элементом сопряженного пространства М„ Соответствие у-ье„(х) является изоморфным отображенкем М„на М„'. Отождествлня элементы этих пространств, соответствующие друг другу прк этом иэоморфизме, можем считать, что пространство М„, сопряженное с пространством с квадратичной метрикой Мь совпадает с М„. В частности„ это ве(пю для евклидова пространства Е„. В пространстве с квадратичной метрикой М„ одну и ту же полилинейиую функцию от г векторов из М„ можно рассматривать как тензор типа (р, е), где р+ е = г и р = О, 1, 2, ..., г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
