И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 46
Текст из файла (страница 46)
когда соответствующие им р-векторы различаются множителем, отличным от нуля. г) Показать. что если понимать под тензорами полилипейные функции (см. введение к этому параграфу), то р-вектор, заданный векторами х„хм .. х„пространства У„, можно определить как полилинейную функцию от р векторов ф, <р~, .... ф' сопряженного пространства У„, заданную равенством Ф (х,) Ф (х~) игр (х ) р'(хз) йр(ха) "Ч" (хз) РОр' йл ..' ф')= Ф(х)Ф(х)...Ч (х„) 19!3. Выяснить, как изменяются координаты тензора типа (р, д) Ф У при переходе от базиса ен ..., е„к базису им .... е„, получен-' номУ из пРедыдУщего пУтем данной подстановки п(1) = йг (1 = г = 1, 2, ..., а); это значит. что е~ = е„ н1 (1 = 1, 2, ..., и).
1914. Найти координаты в данном базисе ен .... ея тензора типа (л, и), заданного равенством ( хо х $ ! т ~ ) ~р4(х„) ~ра(х„) ... <р" (х„) 1916. Пусть Р(х,..... х„; ~р'...., <р") — полилииейная функция, кососимметрическая кзк по аргументам х,, ..., х„, так и по аргументам ф'...., <р". Доказать, что ее значения через координаты в данном базисе выражаются формулой Р(х~ ." х.' р' "" <р")= =бе1(х) де1бр) ° Р(ен .... е„; е', ....
е ), где и' — базис. сопряженный базису ен бе1(х) — определитель из координат векторов х,, ..., х„в бааисе ин .... вя и де1Ор) — определитель иа координат векторов фг, ..., 9" в базисе в', ..., е". 1!9!6-1929 дополнение 1919. Пусть дан тенаор типа (Р. д) в виде полилинейной функции Р(х,, ..., хр, ф«...., «ря). Его сверл«кой по номерам й~(Р, ! <д нааывается сумма л ,~,' Р(хн ..., х„,. вн х„+,...., х„; «Р«, ..., «Р«-«, в', ф+«, ..., «РЯ).
«-« Показать. что свертка не аависит от базиса и является тензором типа (р — 1„ «) — 1). Предполагается, что р. «у ) О. 1917. Даны симметрический тензор а«) и кососимметрический тенвор д'«. Найти их полную свертку а«~ Ьо. 1918в. Для изучения тензорного произведения (см. ввеление к этому параграфу) удобно использовать понятие свертки в следующем смысле.
Для простоты рассмотрим тензорное произведение двух линейных пространств: Т= У Х У', где У и У' — линейные пространства над одним и тем же полем Р. Сзерткой суммы х х«+... +хяхя, где х«~У, х«~У'(1=1, 2, .... л). с вектором «р пространства У'", сопряженного пространству « У. называется вектор а«х«+... +аяхяЕУ, где а«=«р(х«)цР(~ =1. 2, .... ««).
Аналогично определяется свертка той же суммы с вектором «р'~У'е-, она является вектором из У. а) Докааать, что если две суммы указанного выше вила эквивалентны. то их свертки равны. Это позволяет определить свертку «р(6ц У' для ~Е 7', «рц Ув. б) Для того чтобы пара хх' была эквивалентна паре 00', где 0 и 0 — нулевые векторы соответственно из У и У', необходимо и достаточно выполнение, по крайней мере, одного иа условий х= О. х'=0'. в) Если х,х',+... +хях' 00' и векторы х,', ..., х'„линейно независимы, то х, =...
= х„= О. г) Классы эквивалентных сумм, содержащие пары в,в'. (! = 1, 2, ..., л; у=1. 2..., а'). где вн .... в„— базис У и вн ..., в'„,— базис У'. образуют базис Т. 1919. Доказать, что теизорные произведения линейных пространств всех многочленов от х и всех многочленов от у с коэффициентами нз поля Р есть пространство всех многочленов от двух неизвестных х, у с коэффициентами из Р. !920. Доказать, что тензорное произведение пространства много- членов у(х) степени~(л и пространства многочленов В(у) степени Кз с коэффициентами из поля Р есть пространство многочленов Ь(х, у), степень которых ~ л по х и ~(з по у.
с коэффициентами нз поля Р, 1921- 1924] эж. ТензОРнАя АЯГеБРА х~ — — д~ х» (1 = 1. 2, ..., л); я~=я'гак»(1 1 2 а) а) б) 1ИЗ. В прямоугольной декартовой системе координат даны два вектора: е, =(1. 0). на=(сова, з(па). з(па+ 0; а) проверить, что эти векторы образуют базис; б) найти ковариантный метрический тензор А,) в базисе вн ез', в) найти контравариантный метрический тензор йч1 в базисе ен ем г) найти выражение векторов взаимного базиса е', ва через базис ен ез и их координаты в исходной прямоугольной системе; д) написать выражение скалярного произведения (х, у) двух векторов череа их координаты в базисе вн ее; е) найти дискРиминантиый тензоР е~1 в базисе ен еэ; ж) написать выражение ориентированной плошади параллелограмма. построенного на векторах х, у, череа лискриминантный тензор е,) и через определитель из координат в базисе ен ев 1924».
Пусть зн еэ — любой базис плоскости, 9г1 — контравариантный метрический тензор и еы — дискриминантный тензор в этом базисе. По данному вектору х=х'е, построен вектор у=у'ен где у'= — д'1ег»х». Выяснить, в какой мере вектор у зависит от выбора базиса и какова геометрическая связь векторов х и у.
1921. Доказать утверждения: а) для любого базиса ег и-мерного евклидова пространства Е» (или пространства с квадратичной метрикой М„) существует единственный взаимный базис е пространства Е„ (соответственно, М„), сваг ванный с данным базисом равенствами(ен е~)=6~(1, Г'= 1, 2, ..., и) (соответственно. равенствами (8) из ввеления к этому параграфу); б) взаимный базис выражается через данный бааис по формулам и'= д"е, (1 = 1. 2..... и); в) данный базис выражается через взаимный по формулам ег= =9~ и» (1=1.
2... в); г) метрические тензоры й', и д'1 свяааны равенствами К,„К/» = 61 (1,,/=1. 2...., л); д) если обозначить матрицы метрических тензоров через О =(д )»1 и 0,=(д'1)», а опрелелители этих матриц — через й=[й',1~", и 9, = ~ д'т ~», то О О, = И, йя, = 1. 1922. Доказать, что ковариантные и контравариантные координаты одного и того же вектора в данном базисе евклидова пространства связаны равенствами: ДОПОЛНЕНИЕ 11925 — 1932 1926. В четырехмерном евклидовом пространстве лан дважды контравариантиый тензор аь'. Как изменяются с изменением базиса величины ЬΠ—— еыыаы(О Г'= 1. 2, 3, 4)У 1926е. Пусть в некотором базисе п-мерного евклидова пространства Е„ дан тензор аО» типа (3.
0), «,1 и Ег1 — метрические тензоры. Определим тензор а'! типа (1, 2) равенствами: а'1= фчЕФа е ь азе (О.Г. к=1.2, .... л). Выразить а, через а'Г. 1927. Трехмерное евклидово пространство определено метриче- 1 3 1 аким тензором с матрицей 3 10 1 . Найти длины отрезков, огсе- 1 1 6 х3 ха ха каемых иа осях координат плоскостью — + — + — = 1. 2 3 5 1928». Метрика трехмерного евклидова пространства задана мет- 1 1 1 рическим тензором й'В с матрицей 1 8 3 .
Найти площадь Е 1 3 2 треугольника с вершинами А(1, О, 1), В(2, 1, 1), С(3. 1. 2) и высоту Ь, опущенную из С на АВ, если координаты и тензор даны в олпом и том же базисе. 1929». Трехмерное евклидово пространство задано метрическим 1 2 1 тензором дгг с матрицей 2 5 3 . Найти основание перпендику- 1 3 3 ляра Р1Г.
Опущенного из точки Р(1, — 1, 2) на плоскость х'+ха+ + 2«з+ 2 = О. !989». В четырехмерном евклидовом пространстве Еч даны три вектора х, у, «и построен вектор а с ковариантными координатами иг —— ЕО„гх Уа«~(1=1, 2, 3. 4), тле еыы — лискРиминантный тензоР е в том же базисе (четырехмерный аналог векторного произведения см.' залачу 1938).
Доказать, что: а) вектор и ортогонален каждому из векторов Х, у. «; б) если векторы х, у, «линейно независимы, то длина ~и~ вектора а равна трехмерному объему Ь'(х, у. «) параллелепипеда, построенного на х, у, «; если же х, у. « линейно зависимы, то и= О. !931. Найти полную свертку «ОЕЫ метрических тенаоров л-мерного евклидова пространства Е„. 1932.
Определим контравариантный дискриминантный тензор л-мерного евклидова пространства Е» формулами е ~ г "' х=( — 1) у Ег ° з Г абак тензоРнАя АлгеВРА У,(хн хв,.... х„)=)/у,йе1,(хпхм...,х„)=в Р и-' лх~,х~ ...х, ~Р Юи...,г ~ а е где йе1,(хи хм..., х„) — определитель из ковариантных координат вектоРов хти х,.... х„и х*, — 1-Я коваРиантнаЯ кооРдината вектоРа х,; е~~~з '" ~а — 9~Р~у~я~з ...
9 и~пр рз- е; в) е~ ~ ...~ =9р,а,Д,е, ° ° ° д~„ее ' '" 1933. Вычислить свертку дискриминантных тенаоров ег „е'!" трехмерного евклидова пространства. !934. В базисе ан ем ез трехмерного действительного пространства дан ковариантный метрический тензор д ~ с матрицей 0= ! 2 2 а) Проверить, что пространство в евклидово; б) наити матрицу О, контравариантного метрического тензора 9'l; в) найти контравариантные координаты единичного вектора нормали к плоскости. заданной в том же базисе уравнением Зх' +2хз— — Зхз — 6=0. !936'". Доказать, что квадрат ориентированного объема параллелепипеда, построенного на л векторах а-мерного евклидова пространства, равен определителю Грана этих векторов. 1936.
Пусть в л-мерном евклидовом пространстве даны гиперплоскость и, заданная уравнением а,х' + ... + а„х" +Ь= О, и точка М (хо, ° ° . ° хо). а) Показать, что вектор р с ковариантными координатами ап..., а„ перпендикулярен к плоскости гг; б) расстояние г( от точки М до плоскости и выражается формулой ~а,хо+ "+е„ле+Ь! 1р! 1933 — 1936! ~из где 9,=~у~~~, и з — число инверсий в перестановке 1, 1,.... 1„, и е ~ е -' ~ = О, если хотя бы два из индексов 1„1 ..... 1„совпадают. с с ... г Доказать, что: а) ориентированный объем параллелепипеда построенного на векторах хи хм..., х„(см. введение к этому параграфу), выражается равенствами 264 дополнение (1937-19ай 1937е. Найти расстояние от точки Л((хз, ур) па евклидовой плоскости до прямой ах+Ьу+с=О, если координаты даны в базисе и,=(1, О), из= (совы.
з1п гз), з1пычь О (координаты векторов базиса даны в прямоугольной декартовой системе координат). 1938е. Пусть е,1„ — дискримннантный тензор трехмерного евклидова пространства, х'. у' — контравариантные координаты векторов х, у в некотором базисе. Доказать, что вектор х, ковариантные координаты которого в том же базисе заданы формулами х,= =е, „х'ув(1 = 1. 2, 3), является векторным произведением х и у. ответы Отдел !. Определители 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
