И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Например, х = у = О, х = с = 1. Если Р = О, причем одно и только одно из чисел а, Ь, с отлично от единицы„ то решение зависит от одного параметра; например, при а чь Ь = с = 1 общее решение имеет вил х =(1 у = 1 — х. В этом случае одно или два неизвестных обязательно равны нулю.
Если а=Ь=с=1, то общее решение имеет вид х=1 — у — л, причем одно или два из неизвестнык могут равняться нулю. Если В =О и ни одно из чисел а, Ь, с не равно единице, то система несовместна. Случай Р =О, причем одно и только одно из чисел а, Ь, с равио единице, невозможен.
уйВ. Если Р=аЬс — а — Ь вЂ” с+2 +О, то система имеет единственное решение: аЬ» — 2Ьс+ Ь+ с — а абс — 2лс+ а+ с — Ь В у= В аЬс — 2аЬ + а+ Ь вЂ” с л= Если В О и только одно из чисел а, Ь, с отлично от единицы, то решение зависит от одного параметра, например, при ачь Ь=с=! общее решение имеет вид х 1, у = — х, где» вЂ” свободное неизвестное. Если а = Ь = с = 1, то решение зависит от двух параметров и общее решение имеет вид х = 1— — у — к, где у, » — свободные неизвестные. Если В =О, причем все числа а, Ь, с отличны от единицы, то система несовместна. Случай Р = О и только одно иэ чисел а, Ь, с равно единице невозможен. Указание.
Лля доказательства иесооместиости системы в случае В =О при условии, что зсе числа а, Ь, с отличны от единицы, показать справедливость тождеств: Р— В„2(Ь вЂ” 1) (с — 1), Р— Рл — — 2(а-1) (с — Рй  — Р» 2(а — 1) (Ь вЂ” 1), где Рю Вж Р, — соответственно числители в написанных выше выраженияк яж». Например, общее решение: х, =Вх» — Тх» х, — бх,+бхм Фундаментальная система решений: 1' йб — 7ЭУ ответи 5 7 рйй.
Общее решение: ха — — х,+б,ть х — х,— ухе 2 2 Фундаментальнаи система решений хт х, 0 7йй. Общее решение: х,= — '+ '+ х' ° х =* «'+ '+ ха Фундаментальнав система решений: 3 11 9 11 1 0 0 0 1 10 11 4 Г1 0 0 лмЭ. Система имеет только нулевое решение. 739. Общее решение". х, =ха — хь хт — — ха — хь ха= х,. лмл. Система имеет только нулевое решение. Фундаментальной системта решений не существует.
— йх, + Зхт — 10хт — Зх, + ха+ аха 728. Общее решение: ха П в ха 11 Фуидаментальиав система решений: 731 — 750] отняты Фундаментальная система решений: хз ~ хр ~ хз ~ ха ~ хз ~ ха о ~ о 0~0~0~1~0 О~ — 1~ 010 ~ О ха 2хз 737. Общее решение: х, =О, хр —— . хз —— О, где хь х,— свободные неизвестные. Фундаментальная система решений х, 736. Общее решение: х, = — Зх,— 5хь х, 2хз+Зха, х, = Ю, где хь хз — свободные неизвестнь1е.
Фундаментальная система решений: — 3 ~ 2 ~ 1 ~ 0 ) 0 736. х,=13е, х, 2с, хз=7е. 736. х, = 4сь х, Зс,. х, = — Зез + Зеь х, = ее в ер, 737. х, = 2еь хр = еь хр — — Зеь хз —— — Зс, — ез — 4еь хз = — ез. 733 хз = 14сз, хр = 42еь хз = 42ез, хз — Зсз +Зсз — Ось хз = — Зе~ + +В,— 10 739. х, с, — 7ер, хр = 2е, + бе„х, = е, + Зеь х, — 4еь хз = — 5ер.
746. х,=11сь хр=ЗЗеь хз= — 24сз — 57сз, х, бс,+5еь х,= — е,— ез. 747. Строки матрицы А не образуют, строки матрицы В образуют. 746. Четвертая строка вместе с любыми двумя из первых трех строк образует фундаментальную систему, а остальные системы строк — не образуют. 743. У к а з а н н е. В первой части задачи применить результат задачи 734. Во второй части показать, что если значения свободных неизвестных в некоторой системе решений дают линейно зависимые строки, то и вся система решений линейно зависима.
746. Указание. Приписать к матрице системы сверху любую из ее строк и определитель полученной матрицы разложить яо первой строке. Использовать задачу 746. 749. Частное решение: х,= — 2 хр= — 6, х,=7. Общее решенная л, = — 2е, ха = — бе, ха = 7е. 766. Частное рептение: х, = 3, ха = — 2, хз — — О. Общее решение: х, Зе, ха — — — 2е, ха=О. 202 ОТВЕТЫ 1751 — 766 761. Частное решение: х1 — б, х, =11, х, = — 9, х, =4. Общее решение: х,=Ос, хэ — 11с, хэ Яс, хе= — 4с. 76й. Частное решение: х, 3, хя О; х«=4, х« О. Общее решению х1 Зс, х«=О; хз 4«, х1 =*0. 754 я я а) ~ а!ух)=2Ь1 (! 1, 2, ..., з); б) ~ч~~ аОх! ХЬ1 (! 1, 2, ..., е). 1 1 766. В обоих случаях необходимым и достаточным условием является однородность данной системы. 766. При условии, что сумма коэффициентов дашюй линейной комбинации равна единице. 757.
Первое неизвестное в любом решении принимает значение, равное нулю. Если коэффициенты эрн всех неизвестных, кроме первого н, например, второго, равны нулю, то второе неизвестное принимает определенное значе» ние, которое находится нз уравнения, содержащего ненулевой коэффициент прн втором неизвестном, если отбросить там все члены с другимн неизвестными; в этом случае все неиэвесп1ые, начиная с третьего, могут принимать любые значения.
Если же, по крайней мере, три неизвестных (например, хь хт и хД встречаотся с ненулевыми коэффициентами, то все неизвестные, кроме первого, могут принимать любые значения, причем их значения в кю«дом решении связаны одним соотношением, полученным из любого. уравнения системы, содержащего ненулевой коэффициент при втором нева' вестном, если выбросить член с первым неиавестным. Равенство нулю всех коэффициентов при первом неизвестном или при всех неизвестных, начиная со второго, при условиях задачи невозможна 766. Необходимым и достаточным условием для этого является то, чтобы ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных уменьшался на единицу при вычеркивании А-го столбцц иными словами, чтобы А-й столбец не бмл линейной комбинацией остальных столбцов втой матрицы. 756.
Ранг расширенной матрицы (из коэффициентов прн неизвестных и свободных членов) должен прн вычеркивании А-го столбца уменьшаться на единицу. 766. е=аа-Ь«=О. 767. Одно условие, выражжощее неравенство нулю определителя В порядка г, и (е — г)(п — г+1) условий, выражающих равенство нулю определителей (г+1)-го порядка, окаймляющих В. Последние условия независимы, так как каждое содержит элемент, не входящий в другие условия, стоящий на пересечении окаймляющих строки и столбца и имеющий множитель Е> ~ О. 766 Либо, но крайней мерц два из чисел е, Ь, ц а, е равны — 1, либо ни одно из них не равно — 1, но тогда а Ь е а е а+1 + Ь+1 + с+1 + 0+1+ е+1 763 А =аУ+Ьй+сЬ=О.
Указание. Сложить все уравнения, предварительно помножив их соответственно на Хх, Ху, йе, М. Получив условие А=О', определитель системы можно вычислить как кососимметрический по задаче 547. 764. х, у, 1 765. х у 1 х у 1 =О. х1 71 1 =О. у, 1 хв Ул 1 7бб — 7781 зоз 766. а, Ь! сз а Ьв с, =0; зто условие является достаточным, если в случае ав Ьв сз трех параллельных прямых считать нх общей точной несобственную (бесконечно удаленную) точку данного направления.
Если не допускать несобственных точек, необходимым и достаточным условием будет равенство г а, Ь,( ! а, Ь, с,( рангов двух матриц а, Ьз и а, Ьв с, ° ав Ьв аз Ьз с, х, у, 1 767. Ранг матрицы з Уз должен быть менее трех, «з Уп а, Ь, с, 766 При допущении несобственных точек ранг матрицы аз Ьз' сз ап Ьп сп должен быть менее трех. При недопущении несобственных точек ранг приа, Ь, иедевиюй матрицы должен совпадать с рангом матрицы аз Ьз 'вп Ьп 776. хт у, 1 хг уг 1 хз уз х,з уз 1 771.
хз+ув — 4х — 1 = О. 11ентр в точке (20). Радиус равен )' ь 772. У к аз ание. Использовать ответ задачи 770:. хв ху хзг х,у, хг хгуг "'3 хауз хз х„уз хз хауз 77* Гипербола — — хя- = 1. х у 'В 1! 776. 2«з+уув+у — 8 =О. Это — зллипс с центром в точке!О, — — ~ 14) 15 — 15 и полуосвми длины — УГ4 и —, причем большая ось параллельна оси 28 14* абсцисс, а малая лежит на оси ординат. хт+ угз «я+уз а+Уз а+Уз ув х у 1 у х уз 1 г уг хг уг 1 уз хз уз г г уз хз уз 1 уз хз уз г хг+уг х у хг+уг х, у, хг+ уг хг уг да+уз х. Уз ууу. уз в1 1 1 уз лз уз лз ОТВЕТЫ 1 1 1 1 1 2 3 — 1 1 3 — 1 — 1 ~ТТВ-Тйб или лх+у+Зл — 8 =0. ела.
Если допускать несобственные (бесконечно удалениые) точки, то а, Ь, с, аз аз Ь, сз з22 аз Ьз сз А аз Ь с зГз Если же не допускать несобственных точек, то ранг матрицы а, Ь, с, аз Ьз с, аз Ьз сз тзв аз Ь» сз йз не должен изменяться при вычеркивании последнего столбца. .лл9. Ранг матрицы < , Ь, с, б, а, Ь, с, з22 равен двум и не изменяется при вычеркивании последнего столбца (, о, о) 7Зя. х'+у'+л' — х — 2=0. Центр находится в точке 3 Радиус равен —. 2' 76й. Система трех линейных уравнений с двумя неизвестнымн, в которой расширенная матрица н три матрицы коэффициентов при неизвестных для любой пары уравнений все имеют ранг 2. км3.
Система трех линейных уравнений с двуми неизвестнымн, в которой ранги матриц из коэффициентов при неизвестных в любой паре уравнений равны двум, а ранг расширенной матрицы равен трем. УЗ4. Система трех уравнений с тремя неизвестными, в которой ранги всех матриц из коэффициентов при неизвестных любых двух, а также всех трех уравнений равны двум, а ранг расширенной матрицы равен трем.
хз+ уз+ лз хзз+ Уев+ лг Х2+У2+Л2 а+Уз+.з хз+ узз+ л х у л 1 х, У, л, 1 Х2 У2 л2 1 Хз Уз Ла лз 1 ОТВЕТЫ Отдел Ш. Матрицы и квадратичные формы 789. «аа+бу ар+бб1 1са + пт сб+ пб/ 786. (5 2) 794. 7 11 — 22 29 799 9 — 27 32 13 — 17 26 86 4 2 5 0 — 5 — 10 77 7 7 109 8 7 10 17 19 23 17 23 27 35 16 12 9 20 7 1 310 764. (О 0) 796. (2 0) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 769. Система четырех линейных уравнений' с тремя неизвестными, в которой ранги матриц из коэффициентов при неизвестных любых трех уравнений равны трем, а ранг расширенной матрицы равен 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
