И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 59
Текст из файла (страница 59)
е. С вЂ” единичная матрица. Получить отсюда равенства Р, = Р, н зсз = Ел. МИл. Например, А=( ); В=~ ). Ю4й. Скалярные матрицы. Указание. Показать. что если АТ ТА для любой иевырождсиной матрицы Т, то это верно для всек матриц Т. Для етого вырожденную матрицу Т представить в виде Т (Т вЂ” аЕ)+аЕ, где а чэ 0 и выбрано так, что ) Т вЂ” аЕ ) чэ О. Затем применить задачу 818.
Замечание. Указанный метод решения может оказаться непригодным для матриц с элементами нз конечною поля, где может не найтись элемента а с нужными свойствами. Метал, пригодный для матриц с элементами из любого полн и не использующий задачи 818, состоит в следующем: для 14* / обозначим через РО матрицу, отличающуюся от единичной о о ОЛ* — 1 О о о (л'— о о о 1 О О О О 1 О О 0 0 Лз — 4 0 о о о о о о О Л вЂ” 1 О О О УА — 1 о о о о о о о о о 0 Лз+Л вЂ” 6 0 0 О Л+Л вЂ” 6 о 0 о. о о 322 отвпты 11049 — 1060 лишь тем, что ее влемент в (-й строке н в ~-и столбце равен единице.
В равенстве АРВ= РВА приравняем элементы в г-й строке и Рн столбце, а затем в )-й строке и бм же столбце. 4969. За матрицу Т можно взять матрицу, полученную из единичной перестановкой т-й н у-й строк. М99. У к а за н и е. Воспользоваться предыдущей задачей. г2Л+! Л 1! Т! 2 3 М69. А=( — ЛЕ) ЗЛ+2 ЗЛ 2 + 3 1 2 Л+2 2Л 1 2 3 1 Лэ Л 1! 75 — 2 3 М69 А 2Лг ЗЛ 2 (В ЛЕ)+ 6 3 2 Лт Л вЂ” 2 7 — 5 4/ М99. Указание. Испольэовать задачу 1005.
М94. Решение. Пусть Р=( — ЛЕ)Р~+Рэ и !',1=()~( — ЛЕ)+()э. Используя эти соотношения, равенство  — ЛЕ = Р (А — ЛЕ) !',! О) можно привести к внху  — ЛŠ— Рэ(А — ЛЕ) !',)а = Р(А — ЛЕ) ф ( — ЛЕ) + +( — ЛЕ) Р, (А — ЛЕ) Π— ( — ЛЕ) Р, (А — ЛЕ) О, ( — ЛЕЛ Подставляя сюда иа основании равенства (1) Р(А — ЛЕ)=( — ЛЕ)(,'! ! и (А — ЛЕ) 9=Р '( — ЛЕ), полурим:  — ЛŠ— Рэ (А — ЛЕ) ()э = =( — ЛЕ) (Р,Р !+Я !9,— Р, (А — ЛЕ)(),] ( — ЛЕ).
Выражение в квадратных скобках в правой части этого равенства должно равняться нулю, так как иначе правая часть имела бы степень относительно Л не ниже двух, тогда как степень левой части не выше еди. игщы. Поэтому  — ЛЕ= Рэ(А — ЛЕ) Яь Приравнивая в этом равенстве иоэффициенты при Л и свободные члены.
находим: РД= Е и В =РэАОэ. М99. Подобны. 4994. Подобны. М99. Матрицы А и С подобны между собой, но не подобны матрице В. М99. Матрицы В и С подобны между собой. но не подобны матрице А. 1 — 21 6997. Например, Т = ). У к а з а н и е. 1(ля получения по — 31 возможности простого ответа надо стремиться совершать наиболее простые элементарные преобразования столбцов матриц А — ЛЕ и  — ЛЕ. 0 21 М99. Например, Т = ( ). Указание. Для приведения матрицы — 101' А — ЛЕ к нормальной диагональной форме из второй строки, умноженной на 6, вычесть первую строку, умноженную на Л+16, а из первого столбца, умноженного на 6, вычесть второй столбец, умноженный на Л вЂ” !7. Аналогично гяреобразовать матрицу  — ЛЕ. М99.
Например. 1 — 3 3 Т= 2 — 3 1 1020 — 100 ц ответи 02З 1071). У казанке. Получить сл, как сумму всех сомножителей, стоящкх в определителе ~ А — ЛЕ( прн произведениях по а элементов главной диагонали н взятых прк Л О. ззУП. Л,=а~з+зт+ ... +аю Лт= ... =Лз=О. У казанке. Прнменнть предыдущую задачу. %74. У казанке. Применить задачу 1070 к матрице В= А — ЛзЕ н показать, что характернстнческнй многочлен ~ — рЕ~ матрицы В после замены р=Л вЂ” Лз переходит в характернстнческнй многочлен !А — ЛЕ( матрнцы А.
7076. Длк треугольной матрнцы вида Лз азз пзз ... а|з 0 Лэ азз ° .. аз„ О О О ... Л где аг,з+! чь 0 (1= 1, 2..., л — 1) будет з(=1. Вля дкагональкой матрицы порядка я, в которой р элементов главной днагоналн равны Лз, будет зт = р. 1076. У казанке. Доказать. что (А ! — ЛЕ~=( — Л) (А з! ) А — — Е! ° ЬОУ7. У казан не. Перемножать равенства !А — ЛЕ(-(Л,— Л)(Л,— Л) ... (˄— Л), !А+ЛЕ1-(Лз+Л)(Л,+Л) ... (Л„+Л) н заменить Лз ка Л. тм79. У к а зинке. Равенство ~ А — ЛЕ1=(Л! — Ц(Лз — Л) ...
(Лл — Л) перемножить со всеми равенствами, полученнымн нз него заменой Л на 2ла 2 па Лаь Ла„..., Лзр Ь Гдв ЕЛ СОЗ вЂ” +1З1П вЂ” (а 1, 2, ..., р — 1) Н р р в полученном равенстве заменять Л на Л. зм73 Решение. Пусть у(Л)=аэ П(Л вЂ” рз), кроме того, !1(Л)= ! 11 (Л! — Л). Полагая Л=А в у(ЛЛ получим: У(А) =азД(А — рф). ! Переходя от матриц к определителям, находя!с (У(А)! лб П!А — руе!-'зПа(ру)-4П П(л -ру) / ! и -П~ П(л -ру)~=Пу(л) з ! С дРУгой стоРоны, ! / (А) ~ = азл Д а (РД Е (У, !Р). у ! ймЗЮ. У к а з а н н е. Применить равенство предыдущей задачн я много- члену 1г(х) = У (х) — Л, где Л вЂ” пронзвольное число. ° жжат Указанне. Прнменнть равенство )у(А)! Тй — — н нсполь- 1К(А)( тй(А)( вовать шшачн 1079 н 1080.
Отввты 11082 — 1085 4882. У к а ванне. Если хотя бы одна из матриц А, В невырожденна, то утверждение вытекает из подобия матриц АВ и ВА (см. задачу 1047). В общем случае можно применить задачи 920 и 1070. Лля матриц над полем с бесконечным (или достаточно большим) числом влементов из выполнения требуемого равенства для невырожденных матриц следует его тождественное выполнение. Наконец, для матриц с числовыми элементамн равенство для вырожденной матрицы А можно получить путем предельного перехода. Например, если Ль Лг, ..., Л„ — характеристические числа вырожденной матрицы А, то берем последовательность чисел еь ег, ..., такую, чтд все они отличны от Ль Лг, ..., )в и 1Лш за=О.
Матрица Ад=А — слЕ невы- а-ьш рождения. Значит, 1 Ад — ЛЕ 1 = 1 ВАл — ЛЕ 1. Переходя к пределу при л -ь со, получим нужное равенство. 'Ю88. Характеристические числа (с учетом кратности) будут: Лл = 7"(ел), г я-т 2ля 2лй где у(х) = я,+агх+аэх + ... +а„х и ел= газ — +!5!и— л и (в=О, 1, 2, ..., и — 1). Указание. Применить выражение для циркулянта из задачи 479 к циркулннту ! А — ЛЕ 1, где Л вЂ” параметр.
х884. Решение. Применяя задачу 304 к определителю )А — ЛЕ1, где Л вЂ” характеристическое число, положим а+0 = — Л, ар= — 1. Тогда 1А — ЛЕ1=а" +а" 'р+ ... +!)". Из а() = — 1 находим а + 0 и () ф О. Лалее а+ р, так как из а=() и 1А — ЛЕ1=0 следовало бы а=() =О. в+! ()ячт г а г "+ а 2лл Поэтому 1А — ЛЕ1= =О, откуда ~ — ~ =1; — =соз + а — () Ы = р= .+ 2лл а +(з!п — (я=1, 2, ..., и), д фО, так как — чь 1. Решая это урана+! лд . лд пенне совместно с а()= — 1, нзходнш а= ~ (~соз — +!э!и а+1 а+1/' лд .
лд ()= юг~сок — — (з!и — !. Здесь знаки ~ надо брать для а и 8 и+1 и+1)' ля совпадающими, так как ай= — 1. Отсюда Л= — (а-1-б)= х 2(соз и+1 (Д = 1, 2 ..., и). Все эти числа должны быть характеристическими. Но лд (и+ 1 — д) л среди них имеются равные, так как соз — = — соз п+! и+1 Все различные числа содержатся в системе Лл=2(соз (а=1, 2, ..., л).
лд а+1 Но степень характеристического многочлена равна и. Значит, последняя система содержит все характеристические числа, причем кратных корней нет. 4886. Указание. Локазаттч что клетка Жордана порядка л с числом а на диагонали имеет единственный элементарный делитель (Л вЂ” а)". Построить жорданову матрицу А; клетки Жордана которой находятся в указанной связи с элементарными делителями матрицы А — ЛЕ, и, польаунсь задачамн 1033 и 1061, доказать, что матрицы А и А) подобны. При доказательстве единственности, пользуясь задачей !005, убедитьсв, что характеристичег»ие' матрицы двух подобных жорданоных матриц В и С эквивалентны и из совпадения влементариых делителей матриц  — ЛЕ и 10 М вЂ” 1105] ОТВЕТЫ 325 С вЂ” ХЕ, снова применяя задачу 1033„убедиться, что матрицы Е н С совпадают с точностью до порядка клеток.
1 0 0 0 О О 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 О О О 1 О О 0 0 О 0 — 2 О 00000 — 2 0 0 1 0 — 1 0 Π— 1 0 0 О 0 — 1 0 Π— 1 0 0 0 0 О 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 — 1 О 0 5 2888. Задача поставлена неверно. Таких инвариантных множителей у матрнпы А — ДЕ четвертого порядка не может быть. одно из комплексных значений 1г 0 аМ. у1 О О ха88. 1 О О О 0 2+31 О, 0 1 1 0 0 0 2 — И 0 О 1 1 О О О 1 3896.
г2 О 0 2888. Т1 0 0 М98. 1 0 1888. ! ~) ""<!-. '',) <:-. '') :";) "<: —.' ':)""<:.':) ::) "" < .".) < .",) ! ~) <.'-: '~) '<:"::) 1 1 2+Т 0 . О е О гдее — — ~ — гт'3— 2 2 0 .2 — 1 0 0 ат 11106 — 1125 отвнты 0 о 1 — 1 о о! о о о о оооо ... 1 1 ... О 1 ! же, что в задаче 1109.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
