И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 60
Текст из файла (страница 60)
,о о о о НЮ. То же, что в задаче 1109. НН То и 1 0 0...0 0 О л 1 0 ... 0 0 0 0 л 1 ... 0 0 1 0 0...0 02 0...0 0 0 3...0 0 0 0 0 ... л 1 О О О 0 ... 0 и аь О 0 ... 0 О а, 0 ... 0 0 0 а, ... 0 0 0 О...п 0 0 0 ... а„ ~ т. е. «л а(сов — +тын — ) (к=О, 1, 2, ..., л — 1). 2па 2пл ъ и п ) Н!В. Одна клетка Жордана с числом а на главной диагонали. ФМ.
В поле рациональных чисел подобна матрице (.'!!) МНЮ. В поле вещественных чисел подобна матрице (.:.: .:) ММЮ. В поле комплексных чисел подобна матрице о 2+От о МФП. Не подобна диагональной матрице ни в каком поле. ММВ. Лиагоиальнак матрица с ваементами иа главной диагонали, рав.- ными нулю нлн единице. 1ОО 200 021 002 100 ООО ОО! ооо о О ! ΠΠΠ— ! о о о !Оо О!10 0011 и где а„ав ..., о,, все значении г'ое, 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 О 1 1 0 0 0 О 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 «р(Л) =(Л вЂ” 1)«, ф(Л) =(Л вЂ” 1)', но зти матрицы не подобны в силу един- ственности жордановой формы любой матрицы. ущип„а С1 л-1 Сг а-г Сз л-з С»-1 л»»1 а аа за «а ...
, а 3 1 «-1 2 Л-2 » — 2 *-»+2 а Сла Сла ... Сл а (о о о 0 ... аь при й ( л — 1 здесь следует положить Сл — — 1 и С1 — — 0 для й ( з. 44ЗВ. Указание. Положить А=аЕ+!1 и в равенстве у(х) Г(а)+ — (х — а)+ — (х — о)'+ ... + (х — а)» у'( ) у» (а) 1 у(«> (а) П 21 з( (з — степень многочлепа у(х) ) положить х= А.
444В» Одна клетка Жордана с числом аг на диагонали. ° 444. Если и > 1 порядок клетки Жорлана А с нулем на диагонали, то жорданова форма матрицы А' состоит из двух клеток с нулем иа диагонали, л и — 1 и+1 нмеюпгих порядки — прн четном л и — †, при нечепюм и. 2 2 У к а з а н н е. Пользуясь задачей 1130, найти минимальные многочлены матриц А н Аг и показать, что клетки жордановой формы матрицы А' имеют и о+1 порядки не вьппе — дли четного и н — для нечетного и. Проверить, 2 2 1126 — !!411 ОТВЕТЫ 327 4ВВ). Диагональная матрица с влемеитами х! иа главной диагонали.
Замечание Утверждение не верно для матриц над полем характе- 1' ! 112 !1 11 ристики 2. Например, 11 ) = Е н матрица 11 ~ не приводится к дна- ~О 1/ 10 1~ тональной в силу единственности жордановой формы, 44ЙУ. Если и†период матрицы А, т. е. наименьшее из натуральных чисел я, для которых А" = Е, то диагональная матрица имеет на главной диагонали некоторые из и значений корня )гТ. Замечание. Результат ие верен,' для матриц пад полями конечной характеристики, например для матрицы порядка ~ р над полем характеристики ул А О 1 1 ... О справедливо равенство Ал = Е. 44ЙВ.
а) Л вЂ” 1; б) Л. 42ЙВ. Для скалярных матриц А =оЕ н только для них. Для данного порядка и такая. матрица только одна. 42ЗВ. (Л вЂ” а)". 1434. Лг — 4Л+4. 14ЗВ. Лг — 5Л+6. 44ЗВ. Например, для матриц 11143 — 1146 ОТВЕТЫ что делитель миноров Вр т(Л) матрицы Ат — ЛВ равен единице, н далее показать, что жорданова форма матрицы А' содержит не более лвух клеток.
%ИЗ. Искомая матрица содержит две клетки Жордана с числом а нв и и — 1 и+1 диагонали, имеющих порядки — ири четном л или — и — при не- 2 2 2 четном и. Указание. Применить две предыдущие задачи. 'Я44. Решение. Пусть А ТВТ т, где А — данная матрица и в, В, 0 в„ ее жорданова форма с клетками Жордана Лг 1 О.. О В,= ". (1=1,2, ..., Д). 0 Л 1 ...
0 О О О ... Лг Тогда А' = Т' гВ'Т'. Пусть О ... 1 0 и имеет тот же порядок, что Вг и Н, 1 н, о о Н, Непосредственным перемножением находим: Вг — — Н, ~В Н, и, значит, В' Н 'ВН. Позтому А'=Т' 'Н"'ВНТ' Т'"'Н 'Т 'АТНТ'=С 'АС, где С=ТНТ' — симметрическая, невырожденная матрица. Положим В=С 'А. Тогда В' = А'С' 1 С 1АСС г= 1). Таким образом, матрица В также симметрична и А = СВ, аз46. Если Ль Лт, ..., ˄— характеристические числа матрицы А (с учетом их кратности), то характеристические числа матрицы Ар (также с учетом их кратности) равны числам Лг Лг ...
Л (1 <1 <1 « ... грч„и), т р т. е. всевозможным произведениям по р из характеристических чисел матрицы А. Указание. Выяснить„что при изменении нумерации сочетаний по р из в чисел 1, 2, ..., в матрица А, переходит в подобную с ней матрицу, использовать задачу 970, перейти к жордановой форме А) и применить свойства ассоциированных- матриц из задачи 9б9.
Ф48. Если Ль Ль ..., Лр — характеристические числа А н рь ..., Рр— характеристические числа В, то характеристические числа А Х В равны Лгру (1= 1, 2, ..., Лс у= 1, 2, ..., д). ответы А чгч Л (А — Л~Е) ... (А — Лл-чЕ) (А — Л» фЕ) ... (А — ЛяЕ) г4 (Лл — ~ч) ° ° (Лл — Лл-и) (Ль — Ла н) ° ° ° (Ла — Лл) «-1 где Ль Ль ..., Л„ — характеристические числа матрицы А (по условию раз.личные). 2436. г(Л) есть обычный иитерполяциоиный многочлен Лагранжа У(А) = У (Ла) (А — Л~Е) ...
(А — Ла,Е) (А — Лл+,Е) ... (А — Л Е) =Х (Л* — Л,) ... (Лл — Лл,) (Лл — Лл+,) ... (Ль — Л ) «-1 2431. Р е ш е н н е. Покажем, во-первыгь что если интерполяцнонный многочлен Лагранжа — Сильвестера г(Л) существует, то он определяется равенствами (1) и (л). Пусть Ю а г(Л) 'Д Г ал,, а, г» ф(Л) С4 Г Л )'» "' (Л вЂ” Лл) 1 л, ( (Л вЂ” Лл) (3) разложение дроби на простейшие. Умножая зто равенство на ф(Л), получим равенство (1). )1ля установления равенств (2) умиожим равенство (3) на (Л вЂ” Ла) л.
Получим: — =а,,+аа,т(Л вЂ” Лл)+ ° ° +ам г (Л вЂ” Лл)" +(Л вЂ” Лл) а~р(Л) (4) г (Л) г — 1 фл(Л) ' 'ь где в (Л) — рациональная функциц имеющая смысл прн Л = Лл вместе со всеми свонмн производными. Беря от обеих частей равенства (4) Ц вЂ” 1)-ю производную прн Л Ла и пользуясь тем, что значения г(Л) и г" (Л) иа спектре матрицы А совпадают, мы и получим равенства (2). Бо-вторых, покажем, что многочлен г(Л), определенный равенствами (1) и (2), является 1147 — 116Ц 329 Р е ш е н и е.
Пусть кронекеровское произведение А Х В определяется расположением аьа„..., арчпар чисел(й Д (г'= 1, 2 ..., Тд у 1, 2„., 4). 'Траиспозиция аг и а) вызывает в матрице А Х В перестановку т-й и /-й строк и г-го и у-го столбцов, и, значит, переведет зту матрицу в подобную ей (задача 1049). Так как любая перестановка сводится к ряду транспозиций, то характеристические числа всех кронекеровских произведений А Х В совпадают н можно рассматривать, например, правое прямое произведение А Х В (задача 964).
Пусть А равняетсв С ~АгС н В = В 'В В, где Аг и Вт— жордановы матрицы. Применяя свойство в) задачи 963, находим: А Х В = С 'А)С Х 'О 'В)1) = (С ' Х 1) ')(А; Х 'Ву) (С Х '1)). По свойству д задачи 964 имеем: С ' Х 'О ' = (С Х г)) г. Значит, матрицы А Х 'В и Х 'В) подобны н их характеристические числа совпадают. Но А) Х 'В) ляпнется треугольной матрицей с элементами Лгрг(1 = 1, 2, ..., р; у= 1, 2 ..., д) на главной диагонали, что и доказывает наше утверждение. ММТ. У к а з а н и е. Показать, что и (А) = Л (А) тогда н только тогда, когда д(Л) — Ь(Л) делится на 1)(Л). ФИЭ. Б данном случае минимальный многочлен совпадает с характери.стическим (с точностью до знака).
г(Л) есть обычный интерполяционный многочлен Лагранжа. г(0) у (( У" (0) У(" ))(О) 2! "' (и — 1)! г(Я вЂ” 2) (О) О у (О) у' (О) ... ." (О) 7(4)= О О О ... У (О) 7 (А) имеет смысл для любой функции У (Л), для которой определены значения /(ОЛ у'(0), ..., у(" ')(0). зМ66. г (Л)=7 (а)+у'(а) (Л вЂ” а)+ —. (Л вЂ” а)т+...+ (Л вЂ” о)" у(а-1)(п) 2! ' '' (и — 1)! уп (и) у(я — 1)(н) и) у'() —,! ... („ ( -т)(, ) 0 7 (а) 7"' (а) 7(А) = 0 О 0 ... /(а) У(А) имев~ смысл'для любой функции у (Л), для которой существуют значения /(а) у'(а), ...
7(я ')(а). зз) отвнты !1!02 — 1166 интерполяционным многочленом Лагранжа — Сильвестера для функции у (Л) иа спектре матрицы А Из равенства (1) видно, что степень г(Л) ниже степени ф(Л). йалее, положим фл(Л)=а„,+а„х(Л вЂ” Ла)+ ... +па, (Л вЂ” Лл)г» '. Из равенств (2) следует, что при Л = Л значения функции 6а (Л) и ее произнодных порядка )(< г„совпадают соответственно со значениями функции — и ее производных того же порядка. Поэтому, полагая Л=Ла т (Л) фл (Л) в равенстве г(Л) ~ч~~ фз(Л)фл(Л) и равенствах, полученных из него 7'-крат* 1 ным дифференцированием (у < г ), мы получим; ("(Лл)-.Р"(Лл) (у=а 1...., „— П а=1.
2, ..., з1 т. е. значения г(Л) и 7" (Л) на спектре матрицы совпадают. з626. у (А) = «аЕ+ Ь (А — Л,ЕЦ (А — ЛтЕ)'+(сЕ+ г((А — ЛзЕ) + + е (А — ЛтЕ)т] (А — Л,Е)т, где а = у(л) з (Л1 — Лз)з ' (Л, — Лт)4 , Ь= — У(Л,)+ 1 , ) т (Лт) ! 2 1 +(Л,— Л,)'.Г (Л')' '=(Л,— Л,) ' = (Л,— Л,)з.г(Л')+(Л,— Л,)т г (Л'" (Л, Л,)~ .Г(Л') (Л, Л,)з г'(Л')+ 2! (Л, Л,)г.гч (Л') 4464.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
