И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Указание. Показать, что значения ннтерполвционного много- члена Лагранжа — Сильвестера г(Л) для 7 (Л) на спектре матрицы А совпадают со значениями 7(Л) на спектре- каждой клетки Ам и применить задачу 1147. (Л)=у(О)+у (О)Л+ ~ (0) Л+ +7(" '(О) „., 2! " (и 1)! ° Ибб — 1164) РТВЕТЫ «Вй. У к а з ание. Применить предыдущую задачу. «бй (3. 2нн 2 „Зна 2 13~00 2~00)) 1263, т 24 25) 200 3 !3300 2100) 3!002103 ' ~ 25 26 * 4 ( 1 9).
х 5 ( 3 13), й (3 !); всего четыре матрицы. «66. (4е — 3 2 — 2е) Я67. (аз — 00) «61). За — 1 е — 3 +1т 30 0+3 — 30 — 3 = 1Š— 2) А0+ А+Е. Зе — 1 е+ 1 — Зе «ЕЕ. 3 — 15 б~ 1 — 5 2, если брать вещественное значение логарифма. 1 — 5 2 Общее решение имеет вид < 3+2пгн — 15 6 1 — 5+ 2п)п 2 1 — 5 2+2пгп где 1 = У вЂ ! н и†любое целое число. «06.
(1 — 1) «Л. Указание. Использовать задачу 1159. 11Уй. У ка ванне. Использовать задачу 1159. ФУУЗ. !лл! =е, где з=ап+ат,+ ... +а„к — след матрицы А. 1224. У к а з а н ие. Использовать задачу 1161. 1226. у!+ уз — уз «лб у22 ут уз 112л' уг — уз. ° 226. У2 — Ут — Уз — Уа 1223 Уг+Ут Уз «пе У0+Уз Уз' 1 5 1 1 1 Х~ = У~ — — Ут+ — Уь хт = — У2 — — ут хз = — ут.
2 +6 2 6 ' 3 2 2 2„ «Щ, уг+ут — тз" Х2= — У2+У2 Х2=22+)Ъ Хз= — Уз+уз, «Зй. У2 — уз — уз', х, =У! — У2 — уз, хт — — у, +уз — Уз, хз — — уи 2 2 2. 11®3. Уг+ут — Уз: Х0 2 г 2У0 — 3 ) Зут+ 3 г Зут, 2 2 2 1 5,— 1 — 1 — 1 1 х, — — У Зут+ — 1' Зут, хт = — 1' Зут+ — )' Зут. 3 3 ' ' 3 3 У0+Ут Уз хт У0 4 Ут+ 6 У ЗУ0 хт У0+ Ул 4 1 1 Х0 = — У1+ — У2 2 2 $1!85 — 1195 ОТВЕТЫ «За Ут — Уг кт Ут — Уг Уз кг — Уз+Уз Уз кз = Уз» хз УвЗзбб.
у +у — у — у; х = — З~ЗУ,— — 5 Пу + — 5 85У,— г г. 2 1 1 — 6 3 1 — ) В29уз лз = — 'т' 15уз — г' 85ув+ )и"'пуз, кв = ) 85уз+ 629 4' 5 85 629 ' 1Т б 1 + бу)т629У, х й )тп~Ь . г г г «(вз. 2ут+ 10уг+ 190уз Ут хт — — хг+хз, уг — — хг — — хз, 1 Ув кп 10 г г. 2 1 1 1 «бЕ Зут — Збуг+ Шуз. Ут = хт + — хг — — хз, уг = — хг — — х, 3 Уз -2~-кз 1гбб. 2ут+буг — буз+2У4, у' 2 к' ухг, уг= — хг+ — хз.
1 1 3 Ув б хз+ хп Уз 2 хз 1з()6 х! = ут — Зуз — буз', кз = уз+ Зуз', хз — — уз, 1 «98 хз=2)т2уз+Луз+буз; х,= — $~2уз+уз' кз=уз Зги. хз — — уз, хз=3' 2уз+ув„хв=г 2У,— — 1 2У 3 ( У2 у «95. Уз1 У,=,. + г+" +а.б;. Уг= Ы1 Уз=хз.. " ., У,,— хт-6 ут=хб ут+з хз+6" .
"Уз=хи, если аз ,—В0. Ут+ 4 Уг+ б Уз+ 8 Уз+ "° + 2и Уп; г 3 г 4 г 5 л+1 1 Уз = х, + — (хз+хз+ ° ., +хп); 2 1 Уз=хз+ — (хв+х,+ ... +хп); 3 Уп = -пп. Ут Уг Уз 4 Ут 6 Уз 8 Уз .' 2(тз 2) Уп' 1 У, — (х, + хз) + хз+ хз+ ... + х„; 2 1 Уз = — (х, — хз); 2 1 У, = х, + — (кз+ х„+ ... + кп)', 2 1 Уз хз+ — (Кв+хв+ ° ° ° +хп)1 3 Уп кп. Зт к а ванне. Свести и предыдущей заззче. 1196 — 1198! ОТВЕТЫ П99. Если л четно: У1 — Уз+Уз — Уи+ °" +Уп-т — Уи1 у — ~+ т+'+ ьь (1=1, 3, 5, ..., л — 3); 2 хт — ' ~т+~т+' (1=2, 4, 6, ... л — 2); 2 хп,+хи хи ~ — хи Уи-~ = 2 ' Уи 2 Если л нечетнш У1 — Уз+Уз — Уи+ ° ° +Уи-з Уп-т) з з 2 2 2 х1+хт.н+хт+и (1 1 3 5 л 2); 2 хт-1 ~т+~т+1 (1 2, 4 6 ...
л — 1)", 2 уп = Хил †т л — 2 2 т 1 949и — У|+ 1 Узз+ + 3 Уи-и+ 2 Уи — т' хи+хи+ " +-тп. у, =х|— л — 1 хи+хи+ " +хи . уи =хи— л — 2 уп, =хи ~ — х„; Уп = хп. и Л л — 1%и г указание. Представить форму в виней = —. Д~хт — — ~~4 х х л ийи л 1 т т</ и применить метод индукции. Друтой путь состоит в следующем: совершив преобразование х, =х,— л; хи — — хи — л; ...; хп, =хи,— л;ли=хин сложив п уп-т и-т эти равенства, приведем форму "~'(хт — л)' к виду: 2Я лл~ + ~~~', хтл, .
т-1 тс) Используя ответ задачи 1194, получим: 2у + — у + — уз+... + — Уп 2 3 т 4 2 л т 2 з 3 з '" л — 1 При атом связь старых и новых неизвестных получается сравнительно сложной. 499В. (л — 1)у) — ут — уз — ... — у„; 2 2 з з. 1 у, = — (х, +х,+х,+ ... +хп), 1 уи — ( — х, +хи+хи+ ... +хи); 1 У, = — ( — х,— хи+хи+ ...
+к,)1 2 1 уп — ( — х,— хи — ... — хи, +х„). 2 ! И99 — 1219 Обратное преобразование имеет внд: х~= у~ ут~ ха=уз — уз' - ° .' хя ~=уа-~ — ул' ха=у~+ул. Указание. Применить преобразование х, =х,+ха+ ... +х„; хт = ха+ х, + ... + х„; з166. У к а з а н и е. Доказательство' аналогично доказательству закона инерции.
9666. У к а з а н и е. Использовать предыдущую задачу. з661. Формы У, и уа вквивалентны между собой и не аквивалеитиы форме уь з666. Формы ут и ут аквивалентны между собой и не вквивалентны форме уь 9666. В, комплексной области и+ 1; в вещественной области (в+1) (и+2) 2 2664 Ранг в четное число, сигнатура равна нулю. 'ИЮЗ. ~ — ~ + 1, где (х! обозначает наибольшее целое число, не Г~ — !з!1 2 превосходящее х. 9616. Указание.
Для доказательства утверждения б) рассмотреть форму Д =у+ау, где с>0 и и — сумма квадратов неизвестных. При доказательстве необходимости проверить, что у > 0 и что для соответствующих главных миноров Р и Ра форм у и уа имеет место: Р = йгн Оа. е-«е При доказательстве достаточности проверить, разлагая Р, по степеням е, что О > О, и показать, что для любых значений неизвестйыя имеет место у = 1)шум Примеры.
Форма уг — — — хз или невырожденная форма з а -«в У = — хз+2х хз имеют Угловые миноРы неотРицательными, но сами не являются неотрицательными. При доказательстве утверждения в) применить задачу 1208. При доказательстве утверждения г) применить задачу 918 и приведение у к нормальному виду, показав, что А = РВР=(ВО)'(ВО), где Р— матрица преобразование, а  — матрица формы в нормальном виде. 6«16, Л>2.
МИЗ. !Л!< ~/ —. $614 — 0,8<Л<0. Г5 У з' 9619. Требуемых значений Л не существует. ТЗТЗ. Требуемых значений Л ие существует. ТЗТУ. Указание. Пусть 8=/+1т, где (=с,х,+ ... +с„хл. Меняя порядок иеизвестныл, прийти к случаю с„+ О. совершить преобразование уг=хг (1=1, 2, ..., н — 1), у„— и доказать, что для новых форм са Р = Ру +с„Р„н где О„~ — угловой минор порядка и — 1 формы У« 6816 Указание. Представить формул в виде у=а„(х,+ — 'ха+ ...
+ — '" ха) +у, (хь ..., х„), ан вы н, пользуясь предыдущей задачей, показать, что Ру = амРВ < анРч„ ТЗЗЗ У к а з а н и е. Использовать канонический внд данной формы. 12й») — 1226) ОТВЕТЫ 335 зййф. Решение. Очевидно, что (Л+Л, к)=(Л, и)+(У! й). При» водя обе формы к нормальному виду, найдем у= ~ ут1, й ~ хзр гдз 1-! у-! у», х) †линейн формы от хм хь ..., хи. В силу отмеченных свойств коми позиции имеем: (Л й)= ~ л»»1(ун 4' 1-! )-1 рассмотрим одно из слагаемых (У', х') где У Х аахм с~~ й-1 и-1 и и и „,. х! ч»» Ьйб!Хйх;, (Ут, х') = ~я~~ вйо!ййбтхйх1= й.1-1 й, 1-1 й.
1-! / и '»,! ~ айбйхй ~0 при аебых вещественных значениях х, х Отсюда 1 (Л й)м(1 чем утверждение а) доказано. Пусть теперь у >О и и >О. и и Форму х приведем к нормальному виду: н= ~ч»' у, где у = ~~~~ 9, х г 1 )! и и (!'=1, ..., л) и ) 1;) 1 = ~ 91) ~ ~0. Тогда (Л и) =~ (Л Ут!).
Но Уз = ~ и !) „х .х„, 1 1 дй 1 и и откуда (Л ут!)= ~ а)й»)1»)1йх)хй — — ~~1~ а,! (41 х))(»у „х ) >О в силу /,й1 йй 1 У > О. Если при некотором 8 берем значение хгф О, то существует ! такое, что »у + 0 (иначе было бы в вертикальных чертах () = 0). Значит, в силу н у > 0 также г(Л уз1) ч»" а)й (91)х))(дт„х,) > О и (Л и) > О. дй ! йййй. У к а з а н и е.
Прн доказательстве утверждения б) рассмотреть формы Уй= ~ЧР~ афх!х! (й=1, 2, ..., и). 1.1-1 Мййй. У к а з а н и е. Необходимость условий (2) следует из неизменности угловь»х миноров при треугольных преобразованиях (смотри предыдущую задачу).
Так же доказываются равенства(3). достаточ»юсть можнодоказать индукцней по числу нвюаестных л. 2 з з 1 »1 Уз!+3 1+ з! + 3)»3 1 1 .и— х,= — у! — — г 3у!. 2 б йййй Ут = Уз!+Узг' хт = 4уз! 2уэ~ х! — — — 2 гг 2у!+ 3)» 2уг; 1 1 хз у )'г2у» — — Рг 2У!. 2 тйжй" Л=9У!+9уз — 9уз', Кт — — У!+Уз+Уз' х1=$ 2У!', 1 1 — 2 1 .г- 1 г— хз= — у1 — — ) 2уэ' хз= — у! — — Г 2ут+ — Р 2уэ б 3 ' 3 2 б [!227 — 1250 ОТВЕТЫ 2 2 1, 1 1243.
9У!+18уг — 9уэ хз — — 3 У!+ 3 Уг — 3 Уз' хг= — 3 У,+ 2 2 2 1 2 +,Уз + 3'в хз = У1 3'а + Ув. 3 3 ' 3 3 3 1 1 1 х! = = У!+ — Уг+ — У,: [/3 [' 6 [/2 1233. ЗУ1+ буг — 2уз! 1 1' 1 1 2 ха= — = Уз — — Уз+ Уз: ха==у! =Уз [/3 [ 6 )/2 [/3 $'6 1227' Уз=У!+Уз+уз ЗУ4 к! У!+Уз+Уз+Уз! Хг= уз+Уз+ 1 1 1 1 1 1 + Уз+Ум!.за=уз — Уб хз = — Уа — — Уа+ — Уз — — Уэ' ха = У! Уз 2 2 2 2 ' 2 2 1 1 — 2 3'з+ 2 Уа. /! = 31+ 2У2+ 2уз 7У4' З! = У1+ Уз+ уз+ У4, Х! — — — У2+ 2 2 2 х 2 2 1 2 4 4 -[- — Ув+ — Уб х,= — У,— — У,+ — Уб хв Уз — 2У5 х,=Ун 3 3 ' 3 3 3 1222 У! = Уа~+ 2уг — Зуз' К! = У!+Уг+Уэ' х! — У! — Уг! хг — — — Уг+Уз: 2 2 2„ Хз .= Зуз + 2ув ЗИЗЭ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
