И.В. Проскуряков - Сборник задач по линейной алгебре (1113047), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Предположим, что МО+ Ю:. Тогда ранг С равен г+1 и строки матрицы С с номерами 1, 2, ..., г, ! линейно независимы. По симметрии С столбцы с теми же номерами также линейно независимы. По задаче б29 минор Мп, стоящий на пересечении этих строк и столбцов, отличен от нуля, что псотиворечит условию. Утверждение 2) следует из 1) или прямо из задачи Й9.
639. У к а з а н н е. Использовать предыдущую задачу. 833. У к аз ан ив. Использовать решение задачи 031. 634. У к аз а н не. Воспользоваться предыдущей аадачей. 6$8. (1. 4, — 7, 7). 6$1. х=(0', 1, 2, — 2). 638. х=(1, 2, 3, 4). 639. Линейно независима 840. Линейно зависима. 641. Линейно незавнснма 648.
Линейно зависима 64$. Линейно зависима, 644, Линейно независима 661. У казан нш Предположив что ~ Лгаг=О, где не все Л! равны ! ! пулю, н выбрав среди Лг наибольший по модулю коэффициент ЛЬ показать, что У-я координата взятой линейной комбинации отлична от нуля. 668. У к а канне. Предположнц что два вектора аь ау (! > 7) линейно вырвкаются через предыдущие, найти выраженне вектора Ь из выражения а) и подставить найденное выражение в выражение аь 661. Указание. К системе аь аь ..., а, приписать впереди Ь, и вычеркнуть векторы, линейно выражающиеся через предыдущие; к полученной системе приписать впереди Ь, и снова вычеркнуть векторы, линейно выражающиеся через предыдущие, н т. д.
Воспользоваться предыдущей задачей. 668. Указание. Использовать задачи 053 н б57. 869. У к а з а н н е. Считав данную подсистему упорядоченной, приписать после нее все векторы системы и вычеркнуть все векторы, линейно выражающиеся через предыдущие. 669. Таких чисел подобрать нельзя. 664 Указание. При доказательстве 3) использовать задачу 055, а также задачу 558, пункт в). 866. Л 15. 666. Л вЂ” любое число. 661. Л вЂ” любое число.
668 Л не равно 12. 669. Такого значения Л не существует. 610. В задаче бб5 векторы аь аь ач компланарны (т. е. лежат в одной плоскости), но не коллннеарны (т. е. не лежат на одной прямой), При 296 ОТВЕТЫ 1б72 — 688' Л = 15 вектоР Ь попадает в тУ же плоскость и выРажаетсЯ чеРез аь аб, а ' а при Л + 15 он не лежит в втой плоскости н не выражается через зти векторы. В задаче 666 векторы аь аь а, не компланариы и любой вектор трехмерного пространства через них линейно выражается. В задаче 667 векторы аь аб не коллинеарны и лежат в плоскости 4х, — Зх, =О.
Прн любом значении Л вектор Ь лежит в той же плоскости и линейно. выражается через аь аб. В задаче 668 векторы аь аб не коллииеарны, а вектор Ь не компланарен аь аб. При Л = 12 вектор а, компланарен аь а, и вектор Ь через аь аб, аб не выражается. Прн Л + 12 векторы аь а„а, не компланарны и Ь. через них выражается. В задаче 669 векторы а», аь а, лежат в плоскости Зхб — х, =О. С изменением Л от — со до +со нонец вектора Ь описывает прямую хб=2 хб — — 5, параллельную этой плоскости. Вектор Ь ви при каком значении Л, не лежит в указанной плоскости и не выражается через аь аь аь 676.
Таких систем четыре: 1) аь а,; 2) аь а,; 3) аь а„' 4) а„аб. 676. Ц аь аб! 2) аь а,. 674. Любые два вектора образуют базу. 676. 1) аь аб 2) аь аа 3) а„а,. 676. Любые три вектора, кроме аь аб, а, и аь аь аь образуют базу 677. Единственная база будет в том и только в том случае, когда либо вся система совпадает со своей базой, либо все венторы системы, не входящие в ее базу, равны нулю. 676.
Лве базы. 676. Базу образуют, например, векторы аь аб, аб; аб — — а, — аб. 666. Одну из баз образуют векторы а», аб, а,; а,=2а,— За,+4а,. аб 4!» + 5»гб Заб' 668. Одну ир баз образуют векторы аь аб, а,; аб =а, — а!+об, а, = За, + 4аб — иаь йЗЙ. У к звание. При доказательстве 1) в равенство ~~э', а/х/=0 под-. / ! ставить выражениях!=Ч»',ЛОх/ (/=г+1, г+2, ..., и) и показать, что / 1 л а/ — ~и~~ п»Л4,/, / = 1, 2, ..., г. !»+! Пользуясь этим, показать, что если а!=( — Ль», — Льб, ° °, — Лб,» О, ..., 1, ..., 0), /=г+1, г+2 ..., и, где равная единице координата л занимает (г+/)-е место, и а=(аь пб, ..., п„), то а= ч»» а!аь 4-г+! При доказательстве 2) — 4) использовать задачу 664. 666 2Л вЂ” ЗУб — Уз=о, 664.
Л вЂ” 2Л вЂ” Уб = О. у,-зу,+у,=о. Л вЂ” ЗЛ+У.=о. зл — ЗЛ вЂ” У, = о. 666. Формы линейно неаависимы. Основной системы линейных соотношений не существует. 666 2Л вЂ” Л вЂ” Уб —— О:, 667. 2У, — Уб О, 2Л -2Л+У,— У, = а Л-Л-Л+Л=а 666. У к а з а н и е. Использовать задачу 661 или 657. 689 — 708~ 9 25 — — х — 2хь х, = — — — 2х, — 4хг, 2 2 1 решение: х!=1 кг= — 3. хз= 2 ° 669. Например, общее решение х, = х, — 9х, — 2 — 5х, + хз+ 10 11 ' П , хг= 'Частное решение к,= — 1, х, 1, х,=б, хз=1.
690. Например, общее решение: х,=22х, — ЗЗх,— 11, хз= — 1бх, + + 24х,+8; частное решение: х, =2, хг = 1, ха =х, = О. 69$. Общее решение: х, = 1 — Зх, — 4хг, х, = 1; частное решение: хз= — 1, ха=1, хз=б, аз=1. 699. Система несовместна 699. Система имеет единственное решение х, = 3, хг = 2, х, = 1. 694. Общее решение: к, = 6 — 15х, + 1Охг, х, = — 7+ 18х, — 12хг; частное решение: х, = к, =хз= 1, х,= — 1.
34х, — 17хг — 29 1бх, — 8хг — 16 699. Общее решение: х,= кто 22 8 частное решение: кг — — 2, хг = 1, кз = — кз = —. 5 ' 5 27 9 3 1 696. Общее решение: хз — — 2 — — х, + — к„хз = — 1+ — х, — хз; 13 13 13 13 8 11 частное решение: х, =хг= 1, х, = —, хз = —. я= з — И вЂ” 6+ Вхз 1 — 1Зкз 15 — бкз 691. Общее решение: к, = 7 кг=, хз 7 ° частное решение: х, = — 2, ха =2. х, =3, х,= — 1.
696. Система несовместна 699. Общее Решение: ха= — 1 — 8х, +4хг хз=0 хз=1+2хз — хь частное решение: х, = 1. хз=2, ха= — 1, х,=б, хз=1. 700. Общее решение: х,=13, хз — — 19 — Зх, — 2хь х, = — 34; частное ,решение: х, = 1, ха =8, хз =13 хз=6', хз — — — 34. 101. Общее решение: хз =— 15 хз = — — — 2х, — 4хз; частное 2 5 5 тз 2' 2' 4 2 14 7 109. Общее решение.' х, = — х, + —, хь хз = — — х, — -5 хз — 1, 3 ' 3 3 4 2 .х = — х, + — хг + 2; частное решение: х, = хг = 1, х, = 2, х, = — 8, хз = 4. 3 3 106. Система имеет единственное решение: х, =3, хг=б, хз — 5. ха =11. 104. Система несовместна.
709. У к а ванне. При доказательстве минимальности числа л — г свободных неизвестных воспользоваться связью решений неоднородной и соответствующей однородной систем уравнений и тем, что число неизвестных однородной системы, могущих принимать произвольные, не зависящие друг ,от друга значения, равно максимальному числу линейно независимых решелшй и„значит, не зависит от выбора атих неизвестных.
1 31 2 1 7 106. х, = — х, + —, х, = —,, хз = — — х, — —. 2 6' 3' 2 6 53 20 5 5 5 2 701. х~ = хз — — хз + †, кз = — — хз + †ха ††, хз = — кз — 9 ° 18 9' 2 6 3' 9 106. Системы несовместньь 298 отваги (709 — 721 709. Система имеет единственное решение: х,=1, х,=2, х,= — 4, х,= — 3. 12 176 4 97 7Ю. х, = ††, хв — + — х„ хв = †, Здесь ха в свободное 205 ' 123 3 205 ' неизвестное. 1 7 5 7 1 7ав. х,= — — — х,— — х,— — х„х,=1 — — хв., где хв, хв, 2 12 4 8 ' 2 х, — свободные неиавестные. 7вм. При Л Ф 0 система несовместна При Л 0 она совместна, и общее решение имеет вид — 5хв — 13хв — 3 — 7хв — 19хв — 7 х,= 2 хв = 793. При Л= О система несовместна При Л +0 она совместна, и общее 4 — Л 3 9Л вЂ” 16 8 1 решение имеет вид х = — — — ха хв = — — х, х = —.
' 5Л 5 5Л 5 ' ' Л Пб При Л 1 система несовместна При Л чь 1 она совместна и общее 43 — 8Л 9 5 1 5 решение имеет вид х, = — — хв, хв= — + — хв, х,=— 8 — 8Л 8 4 — 4Л 4 . Л вЂ” 1' 748. Система совместна при любом значении Л. При Л= 8 общее решение имеет виа хв=4+2х,— 2х„х,=3 — 2х„где х,, хв — свободные неизвестные. При Л~8 общее решение имеет ввщ х,=О, х,=4 — 2х„ хв = 3 — 2хе где х, †свободн неизвестное. 740. Система совместна при любых значеииах Л. Прн Л = 8 общее реше- 3 ние имеет вид хв — — — 1, х,=2 — х,— — х„где хь хв — свободные ненз- 2 4 2 вестные.
При ЛФ8 общее решение имеет внд хв — —.у — 3 хь лв= — 1. хв = 0:, где х, — свободное неизвестное. 717. При (Л вЂ” 1) (Л+ 2) Ф 0 система имеет единственное решение. 1 хв = хв хв —— †. При Л = 1 общее решение имеет вид х, = 1 — хв — хь Л+2 ' где хв и хв — свободные неизвестные. При Л= — 2 система несовместна. Пв. При (Л вЂ” 1) (Л+ 3) + 0 система имеет единственное решение: 1 х, = х, = хв кв = —, При Л = 1 общее решение имеет вид х, =1 — хв— Л+3' — хв — х„где хв тв, х,— свободные неизвестные. При Л= — 3 система несовместна 2 — )Р 799.
При Л (Л+3) ~0 система имеет единственное решение: х, =,„„ 2Л вЂ” 1 Лв+ 2)Р— Л вЂ” 1 хв= Л(Л+3), хв= ° . При Л=О н при Л= — 3 система (+) несовместна 7)Ю. При Л (5+3)+О система имеет единственное решение: х, = 2 — Лв. ха =2Л вЂ” 1, ха= Лв+2Лв — Л вЂ” 1. При Л=О общее решение имеет вид х,= — хв — хв где хь хв — свободные неизвестные. При Л= — 3 общее решение имеет вид х, = лв = х„где х, — свободное неизвестное. 7мв. Если а, Ь, с — попарно различны, то система имеет единственное решение: (Ь вЂ” вг) (с' — й) ф — а) (3 — с) (е — а) (вг — Ь) (Ь вЂ” а) (с — а) ' (Ь вЂ” а) (Ь вЂ” с) ' (с — а) (с — Ь); ')22-724( отввты 222 Если среди чисел а, Ь, с, и' имеется только два раэличнык, причем ачьЬ или а+с или Ьчьс, то решение зависит от одного параметра Например: в слу- Ь вЂ” й а — с чае л а+Ь=с общее решение имеет вид х= — =1, у= — х, Ь вЂ” а ' Ь вЂ” а где х †свободн неизвестное, играющее роль упомянутого параметра, определяющего решение.
Если а=Ь=с =й, то решение зависит от двух параметров, общее решение имеет, например, вид х = 1 — у — х, где у, » — свободные неизвестные. Если среди чисел л, Ь, с два различны и й не равгю ни одному из йик или если а= Ь с + И, то система несовместна. 7МЙ. При В=лбе — а — Ь вЂ” с+2+О система имеет единственное решение: (Ь вЂ” 1) (с — 1) (а — 1) (с — 1) (а — 1) (Ь вЂ” 1) х= Р ' Р у= Р В этом случае нулевые значения могут иметь какие-либо лва неизвестных одновременно, причем третье неизвестное и соответствующий параметр равны единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
