Том 2 (1113043), страница 32
Текст из файла (страница 32)
x i, х 2; x i ,x « ; x j . x j ; х з,х « .4 4 . 4 9 . Л ю бы е дпа лектора.4 4 . 5 0 . a) x i , х г; х 2,х з ; x j .x a ; б) r i . x j . r j ; п . х з . х , ; г 3,г з ,х < .4 4 .5 1 . Да.4 4 . 5 3 . У к а з а н и е . Р ассм о тр еть базу си ст е м ы .4 4 . 5 4 . Н е т , н ел ьз я .4 4 . 6 2 . Нет.4 4 . 6 5 . Н ет, нельзя.4 4 .6 6 . х е = (1 /3 , 1/3, 1 /3 )Т .4 4 . 6 7 . г « = (1 + а, — 1. 1 - ' ) Т 4 4 .6 8 .
х с = (0 .2 , 1 ,2 )г .4 4 . 6 9 . х , = (6, 5 . - 7 , - 3 ) т .4 4 . 7 2 . а ) ( 1 , - . 1 , - 1 , 1. - 1 . 1 ) Г ; б ) ( 2 , - 1 , - 1 , 1, - 1 , 1 ) Т ;в ) ( 1 , — 1 , — 1 , 2 , —1 . 1 ) 7 .4 4 . 7 3 . ( 4 , — 1 , —3 ) т .4 4 . 7 4 . х = - е , 4- е 2 .„,4 4 . 7 5 , У к а з а н и е . Р а с с м о т р е т ь м а т р и ц ы Е\ 4^^Е\ 4“ Е л 4 - Е\ , Е л 4 - Е л 4- Е а .4 4 .
7 6 . ( - 1 , 2 , - 1 , 1)т .4 4 . 7 7 . а ) ( 1 , — 1, 1, i ) ; б ) ( 1 , 1, — ° ) *4 4 .7 8 .( 1 . 1 . - 1 , I , 1, 1 ) т .4 4 .7 9 .c i .x i ) r =(.п с ) . П с ) Л4 4 .8 2 .1 -с0 10 00 00с1-cC i01-10Q =00L o oii—il —i—\‘г, х з )/ (п ,( е Л'(<=)-c 3c 3C j1...00-10010Г9010001( x 'l . x i . x ' j ) r =(x 'l. x i .
x i . x i )\2!-cC i ...10(х ',,х ^ )т = [1T_r-(-С )"(-е )"-С Д( - с ) " ~ 2 СД( —с ) " _ 3 СД1000 з01о201•0111000 - 2 1 .74 180- 00L15..........r i ) r - o < ‘ "(*3 J-J81-Ю0-246С►-3- 5С(x i, хз.„ г ,Уы >fл и * ,я ,п ,и а. и д1493 /41/41/11 /21/11/2( * i . *».0(1 - 1ц7 а) Пом.
ш ю т с » м естам и i я и ) я c i роки, 6 ) поменяются местамий столГпил; ц) пег стр о ки , а затем нее столбцы запиш утся л обратномЛ )1 =,.» e . (*'.Й^Р ^ . 8 8 . a) S - ' , о) . s g - ’ .а) К а ж д ы й иск ю р /коллингарси г,i =1,г»; б) / , = or.,, t =_ каждый иск гор / , ли н ей н о н ы р а ж а гтс я через о .Й зе ,, г ) каж ды й'' л|’ / ‘ линейно и ы р п ж а п с л н е р пСг,тV к л а н и г.дк как t | , a j, с„, линейно тапигим ы , то гущ е-fr не гриниальная л и ней ная комбинация 3\f-i + .,•+• 3mtm = ff П у ст ьfl. Тогда, та к как г .
? , . - .m такж е линейно зависим ы, то сущ ествуетfi .„ниалкмая пннейная ком бинация T j t j 4+ "»т ет = 4. П у с т ! ? =Л - /i, и 7 =т, о т л и ч н ы от нуля1 ог д» линейная комбинацияy j, +4 |1 л С т ) - P b iC ] 4+- искомая("'^4.92. У к а I а и и г П у с т ь Q - ‘ .а гр и и а перехода от / к е Та к как она^рождена, го среди минорон к-г о порядка, стоящ их в первых к столбНомера строк, в которых ои находитсяitf* обязательно е сть ненулевойЧ тобы убедиться вI1* ,^редел1КП‘ требуем ый набор векторов из бьзисг /........................К'" достаточнос о с т а в и т ь м а тр и ц у перехода от _/ к дновь построенному„cv.Д О З .
Н ет, не обязательно. М >жно например взять векторы f\ =„ «г и /т = е3 - ез - d Т о г д а j \ к / г 4 - 1 3 = Ь(| 44.91. а) (/", б),н) (qn - l)(gn - <])(?’7П' )§454 6 .2. ( l.O U, 0 , 1 ) , ( 0 , 1 ,0Г*1""1 Л " '45.3. (1,0 , 0. 0 , . . . ) , (0, 0, 1,0 ,45.4.(0,1 0 , 1 , 0 , .f п 4- 1 10 ,0 ),, ( 0 0 ,0 ......... 1,0 ); размерностьп +размерность равна. Г -------),), ( 1 .
0 ,0 0 ,0..) , (0 ,0 , 1 , 0 , 0 , . . . ) , . . .размерность.р»»на 1 ~ у - | + *•45.5. ( 1.0 , 1 , 0 ,. .), (0, 1 ,0 , 1 , . .); размерность равна 245.С. Базис о б р а зу ю т, наприм ер м а тр и ц ы F,j (i < J, <. j = ) i " ). У которых элементы= А т = 1, а все осз альны е элементы равны 0; размерностьл (Н I)г*»"* — —45 7- Базис о бразую т наприм ер, м атр и цы (7,, (t < ), i .
j = l. n ) , увторых элементы ytJ — - д , , = 1, а нее о стал ьн ы е элементы раины 0: разгу л - I)ягрное I ь р а в н а ------- ——45.й. Ра iMepiiot 1 1. равна 2: базис о б р а с ю т маз-рнцы 1 g ^ j ' р _* о ] '45 1(11, ( \I*45 11(, ( '. (4,45.12( - и,, размерщОсТн ранка | П ^ —] ■размерное 1 ь раина *-* -(1 —a)t, (l — a)t‘,(I -размерность оавна n.151)l l l H C l b l и уклзяпим к4 5 . 1 3 . (f - a )(t - a), ( t - <j)(f - d)<. ( t - d)( • а ) Г ......(I -Я)(| - tr)in pMwrpKocTb равна п - I4 5 . Ы . IIрм k < n; (< —— oa), ( / — n i )(I - ч )< ....... ('> n - :m> нулспо*o j ).
(f — а* )f4“ k размерность раина n + 1 - i . Припол пространство.«ль. с;;-.,4 5 . 1 6 . л) Размерное гь равна 0;б) размерность равна 1, базис (1 + 3i —2);в) размерности равна 1, базис (1, 1,1);г) размерность равна 2, базис (1 — i, —1,0), (2 + i, 0, —1);л) разиерносз I. равна 2, базис ( —1, i, 1,0), (1 + i, 1,0, —1).4 5 . 1 7 . Размерность равна 3 базис образую г, например, я^ Яэ .я т.4 5 . 1 8 . Размерность равна 3' базис образуют например, о i Os.as.4 5 .1 9.
Размерность pamia 3, базис образуют, например,4 5 . 2 0 . Размерность равна 2; базис образуют, nanpHMip, Ci.es45 .21 . Размерность равна 1; базис образует, например, го,4 0 . 2 2 . Размерность равна 2; базис образуют, например, ci сз.4 5 . 2 3 . Размерность равна а базис образуют например, 6 i , Cj, сз4 5 . 2 4 .
Размерность равна 0 базис образуют, например, -11, .-1г .45.26. ( ? " ( ? " - 9 п -1 '")/Ь, где k - (qk - ] ) { q k - q )9* _1) - число различных базисов в к мерном подпространстве4 5 . 2 7 . Например, Ti - хэ - r t = 0, x j + х 3 - х, = 0.4 5 .2 8 . Например, 1 ] - i s - 2тз = 0, п - х з + 2т( = 0 2x 1 + x s - x s = 0.45 29Например (3 - 3 i ) i i- 2xs = 0.4 5 . 3 0 . Например, i i — хг = 0, i i - хз = 0 (1 - i ) i i - х, = 0.4 5 . 3 1 . Например, (1 - 7i)xi + ( —11 + 7 i ) i j + 10x3 — 0, ( - 19 + 13i)xi +(9 - 3i lx j + iOxi = 0.45 33У к а з а н и е .
Произвсльнын базис подпространства А дополнить до базиса пространства V Затем элементарными преобразованиямиполучить базис, удовлетворяющий условию.4 5 .3 4 . Па Нет45 .3 6. 3' к ад M i t e . При доказательстве необходимости использоватьравенство В , = С Д В, где С невырожденная матрица, -оставленная из коэффициентов разложения второй системы через первую. При доказательстведостаточности приписать к матрице Ле снизу строку координат вектора 6,и пока 1ать, что ранг полученной матрицы равен г4 5 .3 9 . Размерность L\ + Aj равна 3, базис - например, o i , a i аз.45 .4 0.
Размерность А; + /.j равна 4. базис - например, 01, 02, 0-3, 61.45 41. Размерность Ат + As равна 3, базис - например, Я] as, Ь45 .4 2. Размерность Ai 4- Aj равна 3, базис - например, яу., Оа , 6т.4 5 49. Размерность Ат П А; равна 1, базис - например, ст = (3, 5, 7).45 50. Размерность Aj П As равна 2, базис - например, ci = (0, 1,0,1)Cj = ( 1, 0, 1, 0).45. 51 Размерность f; 1 П Аз равна 2. базис например, ci = ( 1 .2 ,2 , 1),cj = ( 1.
1. 1.П.45 .52 И в вешественном, и в комплексном случаях: dim(A| + As) = 3,dim(A П As) = 1, базис суммынапример, ai.os .b s, базис пересеченияci = (0 4.3 т)45 .5 3. Ь комплексном случае; dimf А. -ь А,) = 4 dim( AinA s) = 2, базиссуммынапример, oi.os я,базис пересеченияci = (0 , 1, 0 , 0 ), са =(0 0 , 0 , 1). В вещественном случа, dnn(Ai -( A3) = 6, dim (/ 1 П l . j ) = 1, базис, ГМ иуказания к § ' 1 0например, a , . n 4, 6 , , 6 2,6 3 ,6 4l базис пересечения - a151= ( O .i.0 ,2 -■1' 45.54. Р азм ерн ость L| П L i раина 1, Оазиснапример, t j = ( 3 «^'45.55. Р азм ерн ость L| П /,7 равна 2, базиснапример, в|, « •.45.66.
Р азм ерн ость L t n L i раина 2, базис - например, c j = (•> *< *■- ( 0 ,2 ,3 ,1 ,- 1 ) .45.57, В вещ ественном сл уч ае: dim(Z, 1+ Аа) = 6, B\m{L\CiLi) = 0. базисгуМыЫ * например, о ,, а 3, Ьх = ( 1,0 , —3 ), hi = ( 1 ,0 ,3 * ) , 63 =J " f 'J ’j, = (0,1,2 + i). В комплексном случае: dim (/.j + Л2) = 3, d im (£ i П= 1,5»зис суммы - например, п \, а 3 , fti, базис пересечения - о = ( —Ю ++ji,3 - 10i).45.58.
Например, базис сум м ы - ai = ( 1 , 1 ,0 ,0 , —1), a j = ( 0 , 1 , 1 , 0 , 1 ) ,4, s ( 0 ,0 ,1 ,1 ,1 ) , а« = ( 1 , 0 , 1 , 0 , 1 ) , базис пересеченияci = ( 1 , 1 , 1 , 1 , 0 ) ,« = ( 1 , 0 ,0 , 1 ,- 1 ) .45.50.Например, базис сум м ыa j = ( 1 , 0 ,0 , 1 ) , а 2 = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) , о3 —(0,0,- 1 ,1 ) , базис пересеченияCi = ( 2 , 3 , 1 , 1 ) .45.60.
Например, базис сум м ыа] = (1 ,0 , 1 ,0 ), а? = ( 0 , 1 , 0 , 1 ) , в 3 =(0,0,1,0), базис пересечения - a x, a i .45.61. Разм ерность сум м ы равна 5, разм ерность пересечения равна 2,бикс суммы - например, A u A j, A 3 , А\, В базис пересечениянапример,Дь В\.45.62. Размерность сум м ы равна 3, разм ерность п е р есеч ен и я равна 1,бикс суммы - например, 1 + 21 + I3, 1 + t1, 1 + t + 1J , базис пересечения например, 2 + 3( + t2 + I3 .45.65.
У к а з а н и е . У ч е с т ь , что dim (V j + V j) = din ^ W i + 1 V j ) = rg(/4| +Д а).45.70. Проекция вектора е, на L\ параллельно L i имеет »-ю координату (п - 1)/п, а о стал ьн ы е координаты, равные — 1/та, проекция на L iпараллельно L\ имеет все координаты, равные 1/п.45.71. В матрице Л 1: { / l i } „ = 1, а = 1 ,п , о стальн ы е элементы равны1/2; в матрице /12: ( Л э } ,; = —{ / Ь } ;, = 1/2, 1 < ) , 1, } = 1 ,п , все диагональные элементы равны 0.45.72. z = ( - 1 , - 2 , - 6 , - 3 ) + ( 3 , 2 ,6 , 6 ) .45.74. а) 2 !3 - 3 l2 + 1; б) <3 - t + 1; в) 3 (t3 - t)/2.45.76.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
