Том 2 (1113043), страница 37
Текст из файла (страница 37)
2 6 . У к а з а н и е Использовать результат задач 56.« и 56.9.5 6 . 2 7 . У к а з а н и е . Использ-вать результат залами 56.95 6 . 2 6 . У к а з а н и е , fcj ф^а) Домножить равенство А\ 4 . . 4 . 4 k = Г наА | и воспользоваться результатом залами 56.9 а ) ^ в ) У'честь, что в любомбазисе е: r g ( A ) t - ’.г(Д,)^. в)=>б) Показать, что V = ,m 4i ® . . . © i m A k .Из равенства А , i = А А х 4 . . . 4 A KA , z вывести, что А А = О при i / jи Д ’ = А,5 6 . 2 9 . У к а з а н и е .
Использовать перестановочность оператора А слюбым проектором.5 6 . 3 0 . У к а з а н и е . Использовать результаты задач 55.31 и 56.29.5 6 .3 1 . У к а з а н и е , а) Перейти к матрицам операторов; б,в) применить теорему о ранге и дефекте.5 6 . 3 2 . У к а з а н и е , а) Использовать соотношение ( B A ) V = Sfim Л).5 6 .3 3 .
У к а з а н и е . В силу пункта б) задачи 56.32 справедливо соотношение dim(im А к П кег Л ) = def A k + l — def А к5 6 . 3 4 . У к а з а и и с. Воспользоваться соотношением из пункта б) задачи 56.32.5 6 . 3 5 . У к а з а н и е , Использовать соотношения: tg(BAC) = tg(AC) —dim(im АС П ker В ) , rg(5*4) = rg(.4) - dim(im А П ker 0).5 6 .3 6 . У к а з а н и е. Если Л 2 ф О , то использовать результат задачи55.31.5 6 .
3 7 . У к а з а н и е , а) Использовать неравенство Фробениуса из задачи 56.35.5 6 . 3 8 . У к а з а н и е . Перейти к матрицам операторов в некотором базисе прост рай стнл V'.5 6 . 3 9 . У к а з а н и е . Построить оператор В — А гак, чтобы включениеker Л С кег Л 2 было строгим.5 6 . 4 0 . Ь к а.за и и е. Использоваться результаты задач 56.39 и 56.34.56 .4 1.
О к а з а н и е , а) Для опера торов A -f I и Л —X воспользоватьсярезультатами задач 55.23 и 56.37, пункт б).170О т в е т ы и у к а з а н и я к §5б56 .44 . У казан *!* Пусть im.4 = £(ei). Проанализирова!ь мазрицуоператор* А 8 и башее r t ,... ,с„,5 6 .4 5 . п(п - г).5 6 .4 7 .56.46. п(п - г).У к а з а н и е . Учесть, чгоматрицы[ “qд^1 , г лсЛnpoHvвольная мАтрииа пора да а т , перестановочны.56.48.
Ганг равен яг, дефект равен п(п —г).56.53. Оператор, ставящий в соответствие каждой функции се единственную первообразную, принадлежащую данному пространству.56.54. Я **1 = Я.56.56. Указ ание. Выбрать базис e j , . ..,е„ пространства так, чтобывекторы е2 , . . . ,е„ образовывали баэяс leer А, и рассмотреть матрицы операторов I —й м Т + Д в этом базисе.56.57. Указ ание. Использовать соотношение из пункта а) задачи56.31.56.62. Указание.
Пусть Т вырожден, тогда существует ненулеваяматрица А такал, что ТА = О. Положим г = rg Л, тогда 0 < г < п и сущеВ таствуют невырожденные матрицы Р и Q такие, что PAQ = q qком случае для любом матрицы X € Rn*" выполнено: \PAQ + X H PQ I -1 =M + P - '.Y Q - 1! = |^(.4 4 P -'.Y Q -1)! = lJF(/>-*A'C?-l )| = |Л'| - (PQ!-1, r.e.,PAQ 4- Л| = |Л'|. Но это неверно, если, например, .Y = |q/п ^ |-56.63. Указание.
Если г 6 кег.4 ненулевой, то f(A)z ^ в вопрекиусловию, что /(() - аннулирующий многочлен.56.64. Указание. Учесть, что dim £ (V , V) = п3.56.65. Указ ание, Использовать результат предыдущей задачи.56.67. Д а , если dim V' = dim W; нет, если dim W > dim V.56.71. Указ ание. Выбрать базисы е в V' и / в IV, образующиеканоническую пару базисов для оператора А.56.72. Указ ание. Использовать построение задачи 56.71.56.73.
Указание. Использовать построение задачи 56.71.56.74. Указание. Использовать построение задачи 56.71.56.76. а,б,в) Нет; д) нет при d ф 1; г,с) да.Ким I' Д ., Кринкой Л. ВА Л Г Е Б Р А И А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я ГЕ О М Е Т Р И Я :Теоремы и калачи.Том II (I)И К Д "Зсрцало-М”Лицензия № 003601 от 20 ноября 2000 г.Подписано в печать 28 01 2003.Формат 60x90/16 Уел печ л П .0Т и раж 2000 эю. Заказ № 7470Отпечатано с готового оригинал-макетав ПГ1П “ Типография “ Н А У К А "12 1099, Москва.
Шубинский пер., 6ISBN 5 - 9 4 3 7 3 -0 6 8 -0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
