Том 2 (1113043), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В пространстве М3 заданы два оператора. ОператорА всякий многочлен а0 + a xt + a 3i 2 -f a3t3 переводит в многочленар + a,t + a 3t3. Оператор В многочлены <3 + <2, t3 + (, t 3 + 1,f3 + t7 + t + 1 переводит соответственно u t3 + t, t3 + \, t3 + t3 +t + 1 и нулевой многочлен. В базисе 1, /, f2, <3 составить матрицыоператоров АВ и ВА.56.3. Координатные столбцы векторов a i,a 2 ,a 3, bX)b3,b3iСь^з.Сз в некотором базисе трехмерном пространства V образуют соответственно матрицы' 2 - 10 '' -2 1 2 '2 -1, С= -102 - 1- 1 02, в=0 - 11 .-1-11-2 0 3Линейный оператор Т переводит векторы a x, a 3, a 3 в bx,b 3,b3, алинейный оператор Q переводит векторы 6 j, Ь2, Ь3 в Сх, с2, с3. Найти матрицу преобразования QT:а) в базисе, в котором заданы координаты всех векторов;б) в базисе аь а2 ,а 3;в) в базисе Ьх,Ь3,Ьз.56.4.
Пусть А. В - линейные операторы, действующие вг 5 -1пространстве м.2, причем А имеет матрицу At — 41 в-2О1 -2базисе /, = (1,3), / 2 = ( - 1 ,- 2 ) . Найти матрицы следующихоператоров:а) А7 - 6 А + 91 в базисе е;б) В7 + 4В + 42 в базисе е;в) А7 - В7 в базисе е;$5б- Умножение линейных операторов. Обратный оператор! 39г) AAB~l п базисе / ;я) И + В)* в базисе g t = ( 1 ,2 ) , д, = ( 0 , - 1 ) .5 6 .6.
Д о к азат ь , что всякое линейное отображение представимо в виде произведения сюръективного и инъективного линейных отображений.5 6 .6 . Верно ли, что перестановочность операторов является отношением эквивалентности на множестве операторов, действующих в п р остр ан ств е V ?5 6 .7 . П ок азать, что всякий оператор отражения Ъ удовлетворяет соотнош ению I V — X.5 6 .8 . П ок азать , ч то всякий проектор V удовлетворяет соотношению V 2 = V .5 6 .9 . Д о к а за т ь , ч т о , наоборот, всякий оператор "Р, удовлетворяющий условию V 2 = V , является проектором.5 6 .1 0 . П о к азать , ч то из условий V\ + Р 3 = I , ViV* = Оследует, что:а) Р|, Т>2 - проекторы ;б) Р2Р, = О.5 6 .1 1 . П у сть Т> - оп ератор дифференцирования, действующий в п р о стр ан ств е многочленов М п.
П оказать, что D n+1 = О.5 6 .1 2 . П у сть V - оп ератор дифференцирования, действующий в п р о стр ан ств е многочленов М„. Найти матрицу оператораVk в базисе е х = 1, е2 = t, е3 = i2/ 2 ! , . . . , en+1 = t " / n ! .5 6 .1 3 . В п р о ст р а н ст в е всех многочленов о т переменной tрассматриваются линейные операторы : А - умножения на I иV - дифференцирования.
Н айти:а) оператор АХ>\б) оператор VA\в) ком м утатор \р,А\ = V A — A V .5 6 .1 4 . Д ля оп ер атор ов А и V , рассмотренны х в предыдущейзадаче, до к азать р ав ен ств о [Dk ,А\ = k V k~1 ( к = 2 , 3 , . . . ) .5 6 .1 5 . Д о к а з а т ь , ч т о ком м утатор [.Л ,В] = А В — В А двухлинейных оп ер атор ов , дей ствую щ и х в конечномерном линейномпространстве н ад бесконечны м полем, не может бы ть единичным оператором.
О б ъ я н и ть, как эт о утверждение согл асуется срезультатом п у н к та в) задачи 5 6 .1 3 .5 6 .1 6 . Д о к а з а т ь , ч то если [ .4 , 6 ] = А , то А - вырожденныйоператор.140/ л ав а A7V. Л инейны е опера горы в ли н ей ны х пространствах5 6 .1 7 . П оказать, что любые два многочлена о т одного одератора А перестановочны.5 6 . 1 8 . П оказать, что множ ество всех многочленов о т задан ,ного оператора А образует ком мутативную алгебру.5 6 .1 9 .
П оказать, что если операторы А » В п ерестановочны ,то перестановочны и любые многочлены / ( А ) и д ( В ) о т этихоператоров.5 6 .2 0 . Д о к а за ть, что для перестановочных оп ератор ов А иВ выполнено соотношение{А+ В)" = A n + n X -‘B + !!k r J U n-»g« + ... + В".5 6 .2 1 . Д о к а за ть, что операторы ранга 1, имеющ ие одинаковое ядро и одинаковый образ, перестановочны.5 6 .2 2 . Операторы А и В перестановочны. Д о к а з а т ь , чтоВ ker Л С кег А5 6 .2 3 . Д о казать, ч то если проекторы Р , и Р 2 п ерестан овоч ны, то их произведение так ж е явл яется п роектором. При это м :а ) im V iV t = im P i П im P 2;б) k e r P i P 2 = ker P i + k e r P 2.5 6 .2 4 .
Д о казать, что произведение п роекторов Vl и р 2 та к ж еявляется проектором то гд а и только т о гд а , ко гд а ко м м утато р[■р2, P i] отображ ает подпространство im Р 2 в п о дп р о стр ан ствоk e r P i. При этом:а ) i m P i P 2 = im P i n ( i m P 2 + ker P i П k e r P 2);б) k e r P i P 2 = ker P i -f k e rP 2 П (im Vx + im P 2).5 6 .2 5 . Д о казать, что если произведение п роекторов Р =Vi . . . Р * не меняется при циклических п ер естан о вках сомнож ителей, то оно такж е является проектором, причемim Р = im Р ] П .
. . П im P t ,ker Р = ker Р ( -f . . . + ker Р * .5 6 .2 6 . Д оказать, что сумма проекторов V\ и Р 2 т а к ж е явл яет ся проектором тогда и только то гд а , когда P i P 2 = P 2P i = О.При этом:а) im (P ] + Р 2) = im P i © im Р 2;б) ker(P i + Р 2) = k e rP i Л k e r P 2.5 6 .2 7 . П усть проекторы Р , , . . .
, P t уд овлетворяю т условиям:Р ,Р , = О при i ф j . Д оказать, что в этом сл у ч ае их суммаP i + . . . + Vk такж е является проектором.5 6 .2 8 . Операторы A l t . . . , A * в п ростран стве V размерностип так овы , что А\ + . . . + At = J . Д о к а за ть, ч то следующ ие^56.Ум нож ение ли н е й н ы х операторов. Обратный операторы !условия эквивалентны:а) все операторы А, являются проекторами;б) A,Aj = О при всех i ф j;в) rgA + ...+ r g A = л.56.20.Доказать, что если оператор А перестановочен с каждым оператором из £(V, V), то AL С L для любого подпространства L из V .
В частности, для любого вектора г £ Vвекторы х и Ах коллинеарны.56.30. Пользуясь предыдущей задачей, доказать лемму Шура'. если оператор А перестановочен с каждым оператором нз£(V,V), то он - скалярный.56.31. Доказать, что для произведения ВА операторов А иВ справедливы неравенства:а) rgBA < min(rg А, rgВ);б) def BA > def А ;в) def BA > def В (если операторы А и В действуют в одномпространстве).56.32.
Доказать, что для произведения ВА операторов А иВ выполнены равенства:а) Tg(BA) = rg A - dim(im А Пker В);б) def(B.4) = def А + dim(im А Пker В).56.33. Доказать, что для любого оператора А £ £(V, V)выполнены равенстваПdef Лп+1 = def А + ^ dim(im.4kПker >1),к= 1Лrg Лп+1 = rg А -^2dim(im Ак Пker А).к= 156.34. Доказать, что произведение ВА операторов А и Вудовлетворяет неравенствуdef(B-4) < def А + def В.56.35. Пусть А, В, С - такие линейный операторы, что произведение ВАС определено. Доказать, что справедливо неравенство Фробениуса:rg(B.4) + rg АС < rg>f + rgBAC.56.36. Доказать, что для всякого оператора А € C(V, V),ранг которого равен 1, найдется число а такое, что А1 = аА.1 4 2 Г л а в а X / V . Линейные операторы в линейных пространства%5 0 .
3 7 . П усть А £ £(V ', И ') и В £ C[W>Z) - линейные ото.бражения и dim W = тп. Д ок азать, что:а ) rg В А > rg.A + rg B - m (неравенство С и л ь в естр а);б ) если В А = О , то rgA + rg B < m .5 6 . 3 8 . П усть А £ £(V\ V ) - произвольный линейный оператор. Д о к азат ь , что для любого натурального числа к , удовлетворяю щ его условию r g .4 < к < dim V, сущ еств у ет линейныйоператор В £ £ (К , V) такой, что ВА = О и rgB + r g .4 = к.5 6 .3 0 .Д ок азать, что для любых двух перестановочны х лнейных операторов А и В имеет место включениекег -4 + кег В С кег-АВ.Привести пример, когда это включение является стр о ги м .5 6 .
4 0 . Д ок азать, что если перестановочные операторы А иВ таковы , что к егЛ П кег В = { 0 } , то справедливо равен ствокег ,4 В = кег .А ® кег В .5 6 . 4 1 . П усть линейный оператор А, действую щ ий в п-мерном п р остр ан стве, удовлетворяет соотношению А 2 = 1 . Д оказ а т ь , что:а ) rg(.A + 1 ) + rg(.A - l ) = n\б ) def(.A + I ) + def(.A - 1 ) = n.5 6 . 4 2 . Пусть A,B £ £(V,V) таковы,что BA=О.
Следуетли отсюда, что АВ = О?5 6 . 4 3 . Привести пример двух ненулевых оп ераторов А и В,т а к и х , что АВ = ВА = О.5 6 . 4 4 . Д ок азать, что если rg >4 = 1 и tr.A S = 0 , то ABA = О.5 6 . 4 5 . П усть А - заданный линейный оп ератор , действующий в линейном пространстве V. Д о к азать, что множ ествовсех линейных операторов В £ £ (У , К ), удовлетворяю щ их условию АВ = О, является подпространством п р о стр ан ств а £ ( V , К).Найти разм ерность этого подпространства, если dim V = п иранг оператора А равен г.5 6 .
4 6 . Т о т же вопрос для множества операторов С £ £ ( V , V),удовлетворяющ их условию СА = О.5 6 . 4 7 . П усть V - 2т-м ер н ое пространство н ад бесконечным полем. В пространстве £ (V , У ) ук азать подпространстворазмерности тп2 + 1 , состоящее из попарно перестановочны х операторов.5 6 .
4 8 . П усть V - п-мерное пространство, А £ C{V, V) - заданный оператор ранга г. Преобразование п р о стр ан ств а £ ( V, У)l#У м нож ение линейных оператором О б ратн ы й о я гр а то р Н Лпятому оператору Л" ст а в и т в соответствие оператор И -V. До1Ы*гь, что эт о преобразование являете* линейный. Найти егоранг и дефект.5 6 .4 9 .П усть V - n -мернос пространство, А € £ (V .V )заданный ненулевой оператор. Преобразование Ь пространства£ (l',V) каждому оп ератору X ставит в соответствие его комиутагор [И .-У ]. Д о к а за т ь , что это преобразование является лиценным. П ок азать, ч то преобразование 6 обладает следующимисвойствами:а) 6 является вырожденным и его ядро содержит все операгоры, перестановочные с А\С) если / ( А )многочлен от оператора А.
то 6 / { А ) = О;в) для любых оп ератор ов В, С € £(V/ 1V') выполнено сош ношенне6(АВ) = {6 А )В + А{6В);г) для лю бого о п ер атор а В €C{V,V ) выполнено соотношениеЛ - I6 ( В п ) := £ в к(<к -од) для лю бого о бр ати м ого оп ератора В 6соотношениеC{V,V)выполненоS ( B ~ l ) = - В - ' ( £ В ) В - 1;о) для любых перестановочн ы х операторов В , С 6полнено соотнош ениеC{V, Г )вы6 { А В - 1) = В - ' { В ( 6 А ) - А { 6 В ) ) Б ~ ' .5 6 .5 0 . П о к азать , ч то если Аневырожденный оператор, тодля любого п о д п р остр ан ств а L имеет место равенство dim A L =dimL.5 6 .5 1 .
П р о ст р а н ст в о V является прямой суммой подпространств Л. 1* П у ст ь А,невырожденный оператор, заданный на п о дп р остр ан ств е L,, t = l,Jfc. П оказать, что операторА 6 C(V,V), совпадаю щ и й на каждом из подпространств L, ссоответствующим оп ераторомтак ж е будет невырожденным.5 6 .5 2 . П р овери ть, ч то оператор дифференцирования V является:а) вырожденным в п р остр ан ств е многочленов А/„ ;б) невырожденным на двумерном линейном пространстве,натянутом на функции f i = cos t и / 2 = sin t (с обычными опера-14-4 Г л а в а Л'/\'.
Л и н ей н ы е операторы я л и н е й н ы х пространствииямн сложения функций и умножения функции на число).5 6 . 5 3 . Найти обратный оператор для оп ер атор а лиффСрс.кнрования пункта б) предыдущей задачи.(5 6 . 5 4 . Найти обратный для оператора отраж ения 7Z.5 6 . 5 5 . П оказать, что для невырожденного оператора Ал ю бого числа а , отличного о т нуля, выполнено равенство11(о.Д)_ 1 = а ~ 1^4~1.5 6 . 5 6 .
Д ок азать, что если Л - оператор р ан га 1, то хотяодин из операторов X + Л или X — Л невырожден.5 6 . 5 7 . Д ок азать, что если оператор Л невырожден, то дЛцлю бого оператора В имеют место равенстваrg Л В = rg В Л = rg В .5 6 . 5 8 . Д ок азать, что произведение операторов Л и В тогдаRто л ь к о т о гд а будет невырожденным оператором , когда каждыйиз операторов Л и В нсвырожден.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
