Том 2 (1113043), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Пусть матрицы Л и В подобны и В —S~l AS. Доказа т ь , ч т о :а ) det В = det Л;б) tr В = tr Л;в) В = / т о г д а и только т о гд а, когда Л = / ;г) Д = Л т о г д а и только т о гд а, когда Л и 5 перестановочны;д) В к = 5 “ 'Л * 5 для любого к е N;е) f ( B ) = S ~ ' f ( A ) S для любого многочлена /(< );ж) Д - 1 = S A ~ lS ~ l .5 3 . 3 1 . Если квадратны е матрицы Л и В п -го порядка эквив а л е н т н ы , т о озн ач ает ли эт о , что эквивалентны и матрицы Л 2и в 1!5 3 . 3 2 . М атрицы Л и В порядков п и т подобны соотв етственно матрицам С и D.
Д о к азать, что:а) произведения Л <8 В и С ® D подобны;б) матрицы Л <8 / п <8 + / т ® В Т и С ® / „ 0 + I m ® DT подобны.5 3 . 3 3 . Д о к азат ь , ч то если комплексные матрицы А х = В х +iCx н А2 = В 2 + iC 2 подобны, то подобны и действительныематрицы' Вх - С х. Ci§54.BiD2 =B2 ~C2C2B2Образ и ядро линейного оператораОбразом ли н ей ного о п е р а т о р а А € C(V, W) назы вается множ ествоim А = {у € W |Зх Е V : А г = у),адрон оператора А - м н ож ествоker А = {х £ V |Л г = в) .П р и м е р 54.
1.В п р о с т р а н с т в е м н о г о ч л е н о в Л/„ для о п е р а т о р а дифф еренцирования ( § 5 2 ) : im V = A /„_i , k e r 2? = Л/о.Пример5 4 .2 .Д ля оператора проектирования ( § 5 2 ) :im V =L\,k er? = L j.П р и м е р 5 4 .3 .Д ля оператора отражения ( § 5 2 ) : im Я = V, кег К = { б ).Если A G C (V ,W ), то к егЛ - линейное по<#пространстао п р о с т р а н с т в а V, im А - линейное п одпрост ран ст во п рост ранства W.Рангом линейного о п ер а т о р а назы вается размерность его образа a д е фектом - размерность ядра. О б о з н а ч е н и я : rg A, def А. Итак г е Л =Теорема5 4 .1 .dimim Л, del Л = dim ker Л .121 Глава X I V . Линейные операторы в линейны х п р о с т р а н е т и а >5 4 . 2 .
Е сл и e i , . . . , e n - б а з и с п р о с т р а н с т в а V , т оi m .4 = £ ( H e i , . . . , . 4 e n ) .Т е о р е м аТ е о р е м а 5 4 . 3 . Р он е л и н е й н о г о о п е р а т о р а р а в е н р а н г у е г о м а т .р и ц ы в п р о и з в о л ь н о й паре б а зи с о в .Т е о р е м а 5 4 .4 (о р а н г е и д е ф е к т е ) .
£ с л и A G C ( V , W ) , т оrg А + d e f .4 = dim V' .П р и м е р 5 4 .4 . П у с т ь С - оп ератор , д е й с т в у ю щ и й в п р о с т р а н с т в е К а х 1 (с т а в и т в с о о т в е т с т в и е каж дой м атр и ц е А' зн а ч ен и е с е к о м м у т а т о р а [ X , Л ] сзад ан н ой м атр и ц ей А =| ®^ |. Н айти о б р а з о п е р а т о р а С.Р е ш е н и е . В ы б ер ем в п р о ст р а н с т в е R a * a е с т е с т в е н н ы й б а з и с и з матр и п ( 5 2 .2 ) . Т о г д аcU si-C[ 1 0 ] = [Дл яil- c is J H[ 4a-d!]•сОd —a-сC [ 0 1 ] = [ °c “{ ] •нахож ден и я б ази са линейной обо л о ч к и , н а т я н у т о й н а н ай д ен н ы ео б р азы бази сн ы х м а тр и ц , в о сп о л ьзу ем ся и зом орф и зм ом п р о с т р а н с т в а Кп р о ст р а н с т в у Кч еск и е в ек т о р ыи исследуем ли н ей н ую о бо л о ч к у, н а т я н у т у ю н а а р и ф м е т и ( 0 , 5, - с .
0 ), (с , d - a , 0, - с ) , ( - 6 , 0 , a - d, 6 ), (0 , - 6 , с , 0 ).С о с т а в и м м атр и ц у из коор ди н ат э т и х в е к т о р о в :Ь0сd —а-ь00-Ь—С0а —dс0 '—с60— ♦с-600d —а0060а —d6—с000—с.вен н улу лю , и с ла = d, Ь = с — 0 , т о ранг Э Т О Й м а т р и ц ы р авенно, об р аз оп ер атор а С - нулевое п о д п р о стр а н ств о .В проти вн ом сл у ч а е п ервы е три стр о к и п оследн ей м а т р и ц ы линейноза в и с и м ы , т а к как их линейная комбинация с коэф ф и ц и ен там и 6, с , а — dр а в н а нулевой стр о к е.
П оэтом у ранг последней м а т р и ц ы не п р е в о с х о д и т 2,Е с л и Ь ф 0 , т о rgC = 2 и базис о бр аза о б р а з у ю т м а т р и ц ы[5 < - 7 ] . Ц»]•Е сли с / 0 , т о rgC = 2 и базис о бр аза о б р а зу ю т м а т р и ц ы[ -Ь( a —d0 1 ( 0 6 1Ь ] ’ ( —с о ] 'Е сли b = c = 0 H a ^ d , т о rgC = 2 и базис о б р а за о б р а з у ю т м а т р и ц ыГо! ] . [ !!]••Т е о р е м а 5 4 .5 (о к а н о н и ч е с к о й п а р е б а з и с о в ) .Пусть А ££ ( V , W ) , r g ,4 = г , dim V = n , dim W = m .
Т о г д а с у щ е с т в у ю т б а з и с ы e u/ п р о с т р а н с т в V' u W , а к о т о р ы х о п е р а т о р А и м е е т м а т р и ц у /г G Р т* п1 2 5О б р а з и м л р о л и н е й н о г о о п ер а т о р аг 1/г=100о1Оов которой в с е э л е м е н т ы р а в н ы н у л ю , к р о м е п е р в ы х г д и а г о н а л ь н ы х э л е м е н тов, ра вны х 1.З А Д А Ч И5 4 .1 . Ч то можно ск аз ать о матрице оператора А р анга г ,если в базисе e i , . .
. , е„ пространства V векторы ег+1, __ , е„ принадлежат ядру э то го оператора?5 4 .2 . Ч то можно ск а з а т ь о матрице оператора А р ан га г ,если в базисе e j , . . . , e n пространства V векторы е х, . . . ^ е г принадлежат образу этого оператора?5 4 .3 . Найти образ и ядро линейного оператора А в геометрическом п р о стр ан стве V3, если:а ) И х = [ х , а];б) А х = [ а , [ х , Ь]].Для следующих линейных преобразований арифметическогопространства К3 п о ст р ои ть базисы образа и ядра, найти ранг идефект.5 4 .4 . ,A ( x i , х 2, х 3) = ( х г + х 2 + x 3, i i + х 2 + х 3, х х + х 2 + х 3).5 4 .5 . -4 ( х ! , х 2, х 3) = ( 2 х , - х 2 —х 3 , х х — 2 х 2 + х 3 ,+ х 2 — 2 х 3 ).5 4 .6 .
А ( Х 1 , Х 2 , Х 3 ) = ( - Х ! + Х 2 + Х 3 , X ! — х 2 + х 3 , х х + х 2 — х 3).5 4 .7 . Л ( х 1 , х 2, х 3) = ( 4 х ! + х 2 —х 3 , 2 х ! + 8 х 2 —8 х 3 , 4 х ! 4 - х 2 —х 3 ).5 4 .8 . - 4 ( х г, х 2, х 3) = ( 3 x i — З х 2 + х 3 , З х ! + 2 х 3, —х г + 2 х а).5 4 .9 . Линейный о п ератор, действующий из Ж" в Жт , з ад анматрицей А в паре е ст ест в ен н ы х базисов п р о ст р ан с тв . Н ай т иобраз вектора а , если:13 4 11) т = 3, д = 4 , А =2 2 31, а = (4,-1,-1,3);4 О 1 12) т = 4 , п = 4 , А =1232345456344567, а = (-1,1,1,-1);Ш л а м A7V. Лмимные операторы в линейных пространству'1 0 -2 02 1 -1 51 0 0-10 2 1 54 -11 70 = (-2,1,3,-I).54.10. Линейный оператор А действующий в n -мерном про.странстве V , задан матрицей Л в некотором базисе е.
Н а й ти его«дро и образ и выяснить, является ли это т оператор иэоморфизмом, если:1) п = 2, Л =25 6 0 'L 60 144 ]'-2 5 3-2 5 - 32 -5 -32) п = 3, Л =О 13) п = 3, Л =1-1011- 14) п = 4 , Л =101-1-3-1-3120311-11-11Г1‘';1 '1-11-11-13-11’1-1'-22'-13 -1 1 02 -5 0 11 0 0 -10 2 1 11 1 -3 12'12-1054.11. Линейный оператор А , действующий из л-мерногопространства V в m-мерное пространство IV, задан матрицейЛ в некоторой паре базисов е й / пространств V и W соответственно. Найти его ядро и образ и выяснить, задает ли данныйоператор сюръективное, инъективное отображение, если:-21) m = 3, п = 4, Л =134 -62 -32-И-2‘3 ;-1 5Образ и ядро линейного оператора.2) гп = 4 , п = 3, Л —1274 5 9 ‘3 2 7132;7 7 63)m = 4 , п = 3, Л =4) m = 2, п = 5, А =5) m = 5, п = 3, Л =-26 -4 '1 -327 - 2 1 14-39 -6 ,12 -1 11 - -21 3-2-22 1-2-22- 3 - 224 -1165 - 5;1 -12 4 -2 *39 -14 2136 -9 11.5 4 .1 2 .
Найти ранг оператора Т действующего в пространстве К2* 2 по правилу2 -1ТX =х +х -- 43 1i ' •1О6) тп = 3, п = 5, Л =5 4 .1 3 . Д ок азать, что ранг оператора С, действующего в пространстве 1 2х2 по правилу СХ = [X , Л], где Л - заданная матрица, не превосходит 2.5 4 .1 4 . Д ок азать, что ранг оператора </, действующего в пространстве ПГХЛ по правилу QX = А Х , где Л - заданная матрица,равен n rg Л.5 4 .1 5 . Д ок азать, что ранг оператора Q, действующего в пространстве Е Г ХЛ по правилу QX —Х В } где В - заданная матрица, равен TiTgB.5 4 .1 6 .
Д оказать, что ранг оператора Л , ставящего в соответствие каждой квадратной матрице А' 6 Кпхл кронекерово произведение А' ® В с заданной матрицей В 6 1 т х *, равен n2rgB.5 4 .17. О писать образ и ядро оператора дифференцированияV в пространстве М„.5 4 .1 8 .
Описать образ и ядро разностного оператора .4 в про-1 2 8 / лапа A 7 V . Линейные операторы я линейных л р о стр а н стп а>стр ан ств едействующего по правилуAf ( t ) =/(' + * ) - / ( О5 4 . 1 9 . Линейный оператор А действует из пространства Л/^в пространст во а * по правилу Af(t) = ( / ( a i ) , ... , / ( а * ) ) , гдеразличные числа.
Найти дефект этого оператора.5 4 . 2 0 . О писать образ и ядро оператора А в пространствеЛ/я . действующ его по правилу1( г,,ч/(® +0“Л 0 "О= ------------- й ------------- ■где a £ й - заданное число.5 4 . 2 1 . Найти дефект линейного функционала / на л-мерномп р остр ан стве Г .5 4 . 2 2 . Для каждого из линейных функционалов геометрического пр остр анства 1з, действующих по правилам / i ( х ) = ( х , а)и / а ( х ) = ( [ а , х ], Ь ), найти ядро.5 4 . 2 3 . П усть / , , / г - два линейных функционала в линейномп р остр ан ств е Г , причем / ] ( х ) / 2( х ) = 0 для всех х £ V. Д оказ а т ь , что один из функционалов нулевой.5 4 . 2 4 .
П усть- линейные функцоналы в линейномп р остр ан ств е Г над бесконечным полем. Д о к азать, что еслиf i ( x ) . . . f k{x) = 0 для всех х £ V', то один из функционаловнулевой.5 4 . 2 5 . Линейный оператор А действует из V в И ', а у произвольный вектор, принадлежащий его образу. Д о к азать, чтополный прообраз вектора у, т.е. множество всех векторов х £ I7,для которы х Ах = у, образует линейное аффинное многообразиеп р остр ан ств а V' с направляющим подпространством к е г А5 4 . 2 6 . П усть оператор А действует из V в W , а подпрос т р а н с т в о L удовлетворяет включению: L С i m A Д оказать,ч то множ ество векторов х £ К, образы которых принадлежатL , (т .е . полный прообраз подпространства L) такж е являетсяподпространством , и его размерность равна dim L + def А.5 4 .
2 7 . Линейный оператор, действующий из К" в Rm, заданв паре естественны х базисов пространств матрицей А. Найтиполный прообраз вектора у , если:1) п = 4, гп = 3, А =' -1 -5 -42 -12538»У = (-1,0,1);2) n = 5, m = 3 , A =3)573. ,211 12 25 22 ’ V= 1,2’ l);30941- 2 4 - 152n = 3 , m — 5 , A = 4389 , уУ = ( 4 ,2 , 9 ,- 2 0 ,- 3 ) ;-5 05 -2 0-52 -315 4 .2 8 .12-104СЯn = 4, m = 5, A =О4)31 -21 -11021-1105057, y = ( 0 ,1 ,1 ,2 ,- 1 ) .Л и н ей н ы й оп ератор, действующий изв Ж"1, зав паре е с т е с т в е н н ы х б ази сов пространств матрицей А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
