Том 2 (1113043), страница 22
Текст из файла (страница 22)
. . , a t , Доказать, что расстояние отвектора х до линейного многообразия Я = z0 + L равно< ппJ'лапа M il.98Евклид овы и унитарны е п р о с т р а н с т в51.16. П пространстве R4 со стандартным скалярным произ.велением найти расстояние от вектора х = ( 5 , 3 , - 1 , - I ) до мно.гообразия // = х0 +»яе х 0 = (0 ,0 , - 3 , 6 ) , a L натянуто на си.стему векторов а, = ( 1 , 0 , 2 , - 2 ), аг = ( 0 , 1 , 2 , 0 ), о 3 = ( 2 , 1 , 6 , - 4 ),51.17. В пространстве Л/„ со стандартным скалярным про.введением найти расстояние от многочлена х(/) = 1 + * + . .
. + (»>до многообразия, заданного условием:а ) Д 1 ) = 1;б)/(0) = /(1 )= 1 ;в ) Д О ) = / ' ( 1 ) = 1.51.18. В пространстве Rnxn со стандартным скалярным про.изведенном найти расстояние от матрицы Л', все элементы ко.торой равны 1 , до многообразия:а) матриц А с единичным следом: tr А = 1 ;б) всех стохастических матриц;в) всех дважды стохастических матриц.51.19.
Доказать, что квадрат расстояния между прямымиI) : х = i j + tty и /2 : х = х 2 + iq3 может быть вычислен поформуле:d e tG (9 h 9 2 ,x i - s ? )1) М Л )раллельны;2)P(U>), если прямые /j и / 2 не па-detG(<?b <?2)delG{qh xl - х2), если прямыеи / 2 параллель-ны.Найти расстояние между прямыми /j : х = i i + tqx и / 2 ;х = х2 + iq3 (скалярное произведение в R 4 считается введеннымстандартным образом).51.20. х 1 = (5,2,0,3), 9l = ( 1 ,2 , - 4 , 1 ) ;xj = (3 ,-1 ,3 ,1 ), 92 = ( 1 ,0 ,- 1 ,0 ) .51.21.
i ! = (5,4,3,2), 9 , = ( 1 , 1 , - 1 , - 1 ) ;х2 = (2,1,4,3), 92 = ( - 3 , - 3 , 3 ,3 ) .Найти расстояние между плоскостями Л : х - X\ + t\Pi + t2p2и Р2 : х = x2+ <i 9 i +12?з (скалярное произведение в IR5 считаетсявведенным стандартным образом).51.22. х, = (89,37,111,13,54), х2 = (42,-16, -3 9 ,7 1 ,3 ),Pi = 0 ,1 ,0 ,-1 ,-1 ), Рг = ( l i - l ,0 ,-1 ,1 );9i = (1 ,1 ,0 ,U ) , 92 = ( 1 , - 1 , 0 , 1 , - 1 ) .51.23. х, =(5,0,-1,9,3), х2 = (3 ,2 ,-4 ,7 ,5 ),Pi = 0 , 1,0, -1, -1), р2 = (1, -1 ,0 , - 1 , 1);9. =(1,1,0,1,1), 92 = (0,3,0,1,-2).Линейные аффинные многообразия____________________ 996 1 .2 4 .
х , = ( 4 ,3 ,3 ,3 ,0 ) , х , = ( - 1 , 1 , - 1 , 0 , 2 ) ,р, = ( 1 , 2 , 2 , - 1 , 1 ) , ра = ( 2 , 1 , - 2 , 1 , - О !Чх = ( 8 , 7 , - 2 , 1 , - 1 ) , 7 , = ( 5 Д - 2 , 1 , - 1 ) .5 1 .2 5 . Д оказать, что в любом базисе линейного пространства любая гиперплоскость может быть описана уравнением первой степени относительно координат векторов этой гиперплоскости (ср. с задачей 5 1.10).,5 1 .2 6 . Д оказать, что в любом базисе линейного пространства всякое линейное многообразие размерности г может бытьописано системой л - г линейных уравнений относительно координат векторов этого многообразия.5 1 .2 7 . Пусть Я - некоторое линейное многообразие линейного пространства, не являющееся подпространством; х - произвольный вектор этого многообразия.
Показать, что в пространстве можно ввести скалярное произведение таким образом, чтобы х был нормальным вектором многообразия Я .5 1 .2 8 . В пространстве I 4 со стандартным скалярным произведением найти угол между плоскостями Я] : х = Xj +t\p\ + / 2Р2и Д2 : х = х 2 + кЯ\ + h b , гдех , = ( 3 , 1 , 0 , 1 ) , рх = ( 1 ,0 ,0 ,0 ) , р2 = (0 ,1 ,0 ,0 ),*2 = ( 2 ,1 ,1 ,3 ) , 91 = ( 1 ,1 ,1 ,1 ) ,7 2 = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 ) .4*Глава XIV.
Линейные операторы влинейных пространствах§52.Линейный оператор и его м а т р и ц аП усть V и И' - линейные пр остран ства над общим полем Р . О т о б р 4жеииеА : V' - W(52.1)назы вается линейным отоб р аж ен и ем п рост ран ст ва К о п р о с т р а н с т в о Цгесли для любых г , у £ I ', о £ Р1)A {z+у) =Ат+ А у;2) .А (а х ) = a A z .Линейное отображение (52.1) н азы ваю т т а к ж е линейным п р ео б р а з о в 0.нием п р о ст р ан ств о V в п р о ст р ан ств о W или линейным оп ер ат ор ом , <?ей.ствую щ им из п р о ст р ан ств а 1' в прост ран ст во И ' .Е сли V' = И ' , то линейное отображение А : V —• V н а зы ва ю т линей,ньш от ображ ени ем (п реобразованием ) п рост ран ст ва V в себя , а чащ е линейным операт ором, действующим в V .Если И' = Я , то линейное отображение (5 2 .1 ) н а зы в а ю т линей ной фор.мой или линейным функционалом в п рост ранст ве V . Линейный функционал обозначают строчными латинскими буквами (например, / ), при этомобраз вектора г - символом / (х ) .М ножество всех линейных операторов, действую щ их из п р о ст р а н ст в а Vв пространство И ', будем обозначать символом C(V, W ) .В соответствии с определением равенства отображений (§11) операторыА , В £ L(V, IV) равны, если .Ах = Вх, Vz 6 К.П р и м е р 52.1.
П усть М„ - пространство вещ ественны х многочленовстепени не выше п . Отображение Т> : М„ —• Л/„, определенное правилом® р (0 = р '( 0 .хвлается линейным и называется оператором дифференцирования.П р и м е р 52.2.ленное правиломПусть V = L\ © А з . Отображение V : V —• V, опредеР х = Х|для вектора х 6 Vявляется линейнымром) п р о ст р ан ст в аОтображение %с разложением х = i j + х з, где x i 6 Ai , х з € Аз,и называется оператором пр оекти рован и я ( п роект оI ' на А) параллельно Аз .: V —• V , определенное правилом%г — xi - хз ,такж е является линейным и называется оператором от р аж ен и я п р о стр а н с т в а V отн оси тельн а Ai параллельно Аз.П р и м е р 52.3.Отображение О : V' —• W , которое каж ды й иекторI € У переводит в нулевой вектор в 6 Ил, является линейным и назы ваетсянулевым оператором.101Линейный оператор и его матрицаП р и м е р 52.4,Отображение I -.
У -» И , которое каждый векторf 1' переводит и г , явлкется линейным и называется тож дественны **ejtiHU4HbiMj оператором.П р и м е р 52.5.Изоморфизм у» линейных пространств V и W (544),„чепидио, является линейным оператором, действующим из К в W .Из определения оператора следует, что1 ) линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой вектор-,2 ) линейный операт ор сохраняет линейные комбинации, т.е.
переводитл и н е й н у ю комбинации» векторов в линейную комбинацию образов с теми жеа 'А г ' ’>коэффициентами: Л ( £ * =) a . d ) =3) линейный оператор сохраняет линейную зависимость, т.е. переводит линейно зависимую систему векторов н линейно зависимую.Т е о р е м а 5 2 .1 . Пусть e i , . . . , e „ - базис пространства V , ал, . . . ,д ппроизвольны е векторы пространства W . Тогда существует,о притом единственный, линейный оператор А £ C(V, W ), который переудит векторы е 1 , .
. . , еп в векторы g \ , . . . , g n соответственно.С л е д с т в и е . Линейные операторы А , В £ C(V,\V) равны тогда итолько тогда, когда они совпадают на векторах базиса V .Пусть е = ( e i , . . . , еп) и / = ( / » , . . . , / т ) - базисы пространств V и W .Как следует из теоремы 52.
1, линейный оператор А 6 C(V, W ) однозначно определяется заданием векторов A c t , . . . ,А е „ . В свою очередь, векторыАе, , I = 1, п, однозначно определяются своими координатами в базисе / , т.е.коэффициентами разложений( A t I = a i l / l + 021 /2 + •- •+ Oml/rn ,J A c -1 = 012 / ] + <122/2 + . . . + «ml/m ,Atn = 0ln/l -I- a2п/з + •■. + аmnfm .МатрицаA Jc =O il0)2O ln021O2202nOm la m2...Omnназывается м атрицей оператора А в паре базисов е й / . Для обозначенияэтой матрицы используется также символ (-4 ) /с.Из единственности разложения вектора по базису следует, что при фиксированных базисах с и { матрица линейного оператора определена однозначно.Т е о р е м а 5 2 .2 . Пусть dim V = п, dim W = m.
Тогда существует взаимно однозначное соот вет ст вие между линейными операторами изC(V,W ) и матрицами из / , т х ".Т е о р е м а 5 2 .3 . Пусть А £ C { V , W ) , с и fбазисы пространствV u W соот вет ст венно. Тогда если у = А х , тоу/ = Af c i t .Пусть / £ C {V , И) - линейная форма в пространстве V над полем Р.Еслиепбазис пространства V', то линейная форма / однозначноопределяется числами£»i = / ( d ) , .
. . . Qn = /(««)•102Гл а в а X tV . Линейные операторы в линейных п ро стр а н ств ^При этом для произвольного вектор» х = 53,"в | г >е > выполнено равенствоf ( x ) = а ( Г| + . . . 4- a nx„ .Э т о представление называете» общим видом линейной формы / в баэиСеe i , . . . , e „ . Числа ............. а „ называются коэффициентами линейной форМь</ в базисе вЕсли И' = V, то при построении матрицы линейного оператора А ^C{V , И) используете» один базис е пространства V : столбцами этой матри.иы являю тся коэффициенты разложений некторов A t u .
. . , A c n но базисуd , . . . 1 е „ ; матрица обозначается символом At или (-4 ). и называется матри.ней оп ер а т ор а А в базисе е. Очевидно,6 Р пяп.П р и м е р 52.6.Выяснить, являются ли линейными следующие преобразования1. Преобразование - 4 ( r i , i j , r j ) = ( x i . - x j . r i ) арифметического прос т р а н с т в а EtJ в себя.2 . Преобразование _4( x i , x j ) = ( n + x j , x j + 1) арифметического прост р а н с т в а R s в себя.3. Преобразование А Х = 1гЛ' пространства квадратны х матриц R " * "в п р остр ан ство R .4.
Преобразование А Х = det X пространства квадратны х матриц К " * 4в п р остр ан ство R .5. Преобразование Ap[t) = р(2( + 1) пространства многочленов М п всебя.6. Преобразование Ap(t) =~ ^ пространства Л/„ в прост р а н с т в о М п-1 .Р е ш е н и е . 1. Преобразование А является линейным, так как еслих = ( x j , х 3, х 3), у = ( y i, уг , уз) и а б й , тоА ( х + у ) = (х 3 + у з , - г г - y i .H + 9 i ) = А х + Ау,< 4 (а х ) = ( а х з , - o n . a x i ) = а А х .2 . Преобразование А не является линейным, т а к как оно нулевой вектор(0 , 0 ) переводит в ненулевой вектор (0, 1).3. Преобразование А является линейным, так как в силу определенияследа м атри цы :А ( Х + У) = tr(A ' + Y) = i r X + u Y = A X + A Y ,А (а Х ) = Ir(aX ) = a l r X = аА Х .Т а к и м образом, это преобразование - линейная форма в пространстве Ж " * ’1.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
