Том 2 (1113043), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Э т о т с л у ч а й р а с с м о т р е н в п р и м ер е 5 0 .4 . В п р о ч е м м ож но нсп р и б е г а т ь к в ы ч и с л е н и я м , о п и сан н ы м в э т о м п р и м е р е , т а к к а к Т 1 1 T i, ип о т о м у и с к о м ы м у г о л у> = х / 2 . ■(j50.заМ етрическиедачзадачи87и5 0 .1 .Н ай ти у го л м еж д у векторам и а и Ь в п р о ст р а н с т в е :1) IRa со с т а н д а р т н ы м скал я р н ы м произведением, есл и :а)а = ( 2 , - 3 , 1 ) , Ь = (4 , - 6 , 2 ) ; б ) а = ( 1 , - 1 , 2 ) , Ь = ( 1 , 0 , 1 ) ;в)2 ) 1R1а) аб) аa = ( 1 , 0 , — 1 ), Ь = ( - 1 , 2 , 2 ) ;со с т а н д а р т н ы м скал я р н ы м прои зведен и ем , есл и := (1 , ~ 1 , 1 ,- 1 ) , 6 = ( - 1 ,1 , - 1 ,1 ) ;= ( - 1 ,2 , 3 , - 4 ) , 6 = (6 ,0 ,- 2 ,1 ) ;в) а = ( 1 ,2 ,2 ,1 ) , Ь = ( 1 ,1 ,1 ,2 ) ;3 ) R 2 с о с к а л я р н ы м произведением ( z , у) = х , у , + z i y 2 + x 2y, +3 i 2y3, е с л и :а)а = ( 1 ,0 ) , 6 = ( 0 ,1 ) ; б) а = (1 ,0 ), 6 = ( - 1 , 1 ) ;4)Г4221IR3 со с к а л я р н ы м произведением ( х , у ) = х 2 2 - 1[2 -13если:а ) а = ( 1 ,0 ,0 ) , 6 = ( 0 ,1 ,0 ) ; б) а = ( - 1 ,0 , 0 ) , Ь = ( - 1 ,2 , 2 ) .5 0 .
2 . К а к и зм е н и т с я угол м еж ду ненулевы ми в ек то р а м и х иу, если :а ) у м н о ж и т ь в е к т о р х на п олож и тельн ое число;б ) у м н о ж и т ь в е к т о р х на о тр и ц ател ьн о е число;в ) у м н о ж и т ь о б а в е к т о р а х и у на о тр и ц а тел ь н ы е ч и сл а?5 0 . 3 .
Д о к а з а т ь , ч т о тр еу го л ьн и к и , н а тя н у ты е с о о т в е т с т в е н но на в е к т о р ы х , у и a z , a y , где о - произвольное ненулевоечи сло, и м е ю т о д и н а к о в ы е у г л ы .5 0 . 4 . В т р е у г о л ь н и к е , н атя н у то м на векто р ы :а) z = ( 2 , - 1 , 3 , - 2 ) и у = ( 3 ,1 ,5 ,1 ) ;б) z = ( 4 , 0 ,2 , 0 ,4 ) и у = ( 3 ,3 ,3 ,3 ,0 )в а р и ф м ети ч еск о м п р о с т р а н с т в е со ста н д а р тн ы м скал я р н ы м прои звед ен и ем , н а й т и д ли н ы сторон .
О п редели ть у гл ы м еж д у с т о ронами т р е у г о л ь н и к а - векто р ам и х, у, х — у. К ак и е из эт и хугл ов е с т е с т в е н н о с ч и т а т ь внутренним и угл ам и тр еу го л ьн и к а ,а к ак и е - вн еш н и м и ?5 0 . 5 . Д о к а з а т ь , ч т о в евкли довом п р о стр ан стве:1) с у м м а в н у тр е н н и х у гл о в лю бого тр еуго л ьн и к а2 ) с у м м а к в а д р а т о в диагоналей п ар ал л ел огр ам м аме к в а д р а т о в ег о сто р о н ;3 ) к в а д р а т сто р о н ы тр еуго л ьн и к а равен сум м ед вух стор он б е з уд во ен н о го произведения эт и х сторонр авн а т ;р авн а су м квадр атовна косинус88Г л ав а Л'III.Е в к л и д о в ы и у н и т а р н ы е прост рансту г л а м е ж д у н и м и (т е о р е м а к о с и н у с о в );4)сто р о н ы тр еу го л ьн и к а пропорци он альн ы си н у сам нротн о п о л о ж н ы х в н у т р е н н и х у г л о в (т е о р е м а с и н у со в ).5 0 .
6 . П у с т ь / | , . • • ,/ *с и с т е м а п о п а р н о о р т о г о н а л ь н ы х н ек.т о р о в е в к л и д о в а н л и у н и т а р н о г о п р о с т р а н с т в а . Д о к а з а т ь , ч го|/i 4 - ___ -+- f k |а = |/i |э + . • - + |/t|* ( о б о б щ е н и е т е о р е м ы П и ф а г о р а ) .5 0 . 7 . Д о к а з а т ь , ч т о в ев к л и д о в о м п р о с т р а н с т в е в ер н а теор е.м а , о б р а т н а я т е о р е м е П и ф а г о р а : е с л и |/| -4- / а |2 = |/i|a + |/а |2 , т ов е к т о р ы /i и /з о р т о г о н а л ь н ы . С п р а в е д л и в о ли э г о у т в е р ж д е н и ев у н и тар н о м п р остр ан стве?5 0 .8 .
Д о к а за т ь , ч то вектор ы х н у ун и тар н ого п р о стр ан ствао р т о г о н а л ь н ы т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а р а в е н с т в о | а х + Д у| 2 ^| а х | э -f- \(3у\* в ы п о л н е н о д л я л ю б ы х о , Д € С .5 0 .9 . 1. Д о к а за т ь , ч то в евкли д овом п р о ст р а н ств е р авен ство|х + у| = |х — у| и м е е т м е с т о т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а в е к т о р ы х и у о р т о го н а л ь н ы .
К а к о в гео м етр и ч еск и й см ы сл этогоутверж ден и я?2.П о к а за ть , ч то в ун и тар ном п р о стр ан стве утвер ж ден и еп р е д ы д у щ е го п у н к та у ж е н еверн о. Д л я к ак и х век то р о в х и уи м е е т м е с т о р а в е н с т в о |х + у| = |х — у| ?5 0 . 1 0 . В п -м е р н о м е в к л и д о в о м п р о с т р а н с т в е Е за д а н ы в е к т о р ы e j , . . . , e n + i, п опарн о о б р азу ю щ и е ту п ы е у гл ы . Д о к а за ть ,ч т о л ю б ы е п из эти х векто р о в о б р азу ю т бази с Е .5 0 . 1 1 .
Д о к а з а т ь , ч т о в n - м е р н о м е в к л и д о в о м пространствеп 4 - 2 в е к т о р а н е м о г з 'т п о п а р н о о б р а з о в ы в а т ь т у п ы е у г л ы .5 0 . 1 2 . Д о к а з а т ь , ч т о в п -м е р н о м е в к л и д о в о м п р о с т р а н с т в еn + 1 в ек т о р не м о гу т п опарн о о б р а зо в ы в а т ь у гл ы , все равн ы е7Г / 3 .5 0 .1 3 . М о ж ет ли угол м еж д у век то р о м и ли н ей н ы м подпрос т р а н с т в о м б ы т ь б о л ь ш е , ч е м 7г/ 2?5 0 .1 4 . П у с т ь / — н ен улевой в е к т о р ев к л и д о в а п р о ст р а н ств аЕ , L — ли н ей н ое п о д п р о стр ан ство Е , р — у го л м еж д у / и L , д о р т о го н а л ь н а я п роекц и я в ек т о р а / н а L .
Д о к а з а т ь , ч то :1 ) е с л и д = в у т о р = тг/ 2;2 ) если д ф в, то угол р равен у гл у м еж д у век то р ам и/ и у;3 ) есл и д ф в, т о д л я в ся к о го в е к т о р а у 6 L , обр азую щу го л р с вектор ом / , и м еет м есто р а вен ство у — о д , где а >5 0 .1 5 . Д о к а за ть, ч то в евкли довом п р о стр ан стве у гл ы ,т о р ы е в ек т о р / о б р а зу ет с п р о и зво л ьн ы м п о д п р о стр а н ств о мего0.коL и$Л0.
АГегричсскне задачи89его ортогональным дополнением IA, и сумме равны * /2.5 0 .1 6 .П усть С]. . . . . еп - ортонормировании* базис евклидова пространства, г - произвольный нормированный вектор.Докатать, что координаты вектора i в батисс е , , . . . , е п равныкосинусам углов Q i , .. . ,о „ , которые I образует с базисными векторами. Вы вести отсю да соотношение:COS3 Qj + cos’ q 3 + . . .
4- cos’ q „ = 1.5 0 .1 7 . Евклидово пространство E разложено в ортоюнальную сумму подпространств L U. . . , L P. Доказать, что для угловQi , . . . , q p, которые произвольный вектор / образует с подпространствами L i , . . . , //р, справедливо соотношениеcos1Оц+ COS2 Q j + . . . + c o s 2 Qp = 1 .5 0 .1 8 . Подпространство L есть ортогональная сумма подпространств L\ и L 2.
Вектор / ортогонален подпространству1^. Д оказать, что угол между / и L равен углу между / и L%.В простран стве ®4 со стандартным скалярным произведением найти угол между вектором / и линейным подпространством/,, натянуты м на векторы a i ,a 2,a 3.5 0 .1 9 . а 1= ( 2 , 3 , - 4 , - 6 ) , а г = ( - 1 , - 8 , 2 , 1 6 ) , а 3 = ( 3 , - 2 , - 6 , 4 ) ,/ = ( - 3 ,1 5 ,1 ,- 5 ) .5 0 .2 0 . а , = (2 , - 1 , 2 , 1 ) , а 2 = ( - 1 , 2 , - 2 , 1 ) , а3 = ( - 1 , 1 , - 1 ,0 ) ,/ = ( 3 ,1 , > / 5 ,-2 ).5 0 .2 1 .
а , = ( 3 , 4 , - 4 , - 1 ) , а2 = ( 0 , 1 ,- 1 ,2 ) , а3 = ( 3 , 5 ,- 5 ,1 ) ,/ = ( 2 , 2 ,1 , 1 ) .5 0 .2 2 . а , = ( 5 , 3 , 4 , - 3 ) , а2 = ( 1 ,1 ,4 ,5 ), а3 = ( 2 , - 1 , 1 ,2 ) ,/ = ( 1 , 0 ,3 , 0 ) .В евклидовом пространстве Е выбран некоторый ортонормированный базис е. Найти угол между вектором /, заданнымкоординатным столбцом в этом базисе, и подпространством L,описанным в базисе е однородной системой уравнений.50.23. / е = (1, - 2 , 1)т, L : Х[ - 2 х 2 + 5х3 = 0.50.24. / е = (1,0,0,0)r , L : ii - х2+ х3 - х4 =0.1 + х2 - 2х3=0,5 0 .2 5 . / .
= ( 3 , 1 , - 1 , - 1 ) М : { 2^ ;+ х2х4 = 0.х, + х2 + х3+ х4 = 0,50.26. /, = (0,2,1,1)т, L : { Зх, + х2 - х3 + х4 = 0,5xi+3x2+2х4 = 0.90Глава X I II .Евклидовы и у н и та р н ы е п р о с т р а н с т в5 0 .2 7 .В п р о ст р а н ств е R " со ст а н д а р т н ы м ск а л я р н ы м нроведен и ем линейное п о д п р о стр ан ство А оп и сан о си стем о й Ах = ос н екоторой м атри цей А е R mxn. Н ай ги угол м еж д у вектор ом( c j , .
. . , c n) и п о дп р о стр ан ство м Г , если с} = 5 3 ^ , a ,-j.В ари ф м ети ческом п р о ст р а н ств е со с т а н д а р т н ы м ск а л я р н ы мп рои зведен и ем найти рассто ян и е о т в ек т о р а / до п о дп р о стр ан ,с т в а А, н а т я н у т о го на вектор ы a ( , . . . , a t .5 0 .2 8 . a, = ( 4 , 3 , 2 , 1 ) , / = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 ) .5 0 .2 9 . a, = ( 1 ,1 ,1 ) , a , = ( 4 ,0 ,5 ) ,/ = ( 7 , - 3 , - 1 ) .5 0 .3 0 . в, = ( 1 , - 1 ,1 , 0 ) , a , = ( 2 , - 1 , 0 , 1 ) , / = ( 1 ,0 ,2 , - 2 ) .5 0 .3 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
