Том 2 (1113043), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Показать, что если А = UjvJ +UjvJ, то АтА = /.48 .1 3 . Известно, что в пространстве R" (п > 1) имеетсяортогональный базистакой, что все компоненты каждого из векторов е, равны 1 или - 1 . Доказать, что п равно 2или кратно 4.4 8 .1 4 . Построить какой-либо ортонормированный базис евклидова (унитарного) пространства iR"001 (Cmxn) со стандартным скалярным произведением.4 8 .1 5 .
Построить какой-либо ортонормированный базис евклидова пространства Мп со скалярным произведением, определяемым:1) равенством (47.8);2) равенством (47.13);3) равенством (47.14) при m = n + I.48 .16. Доказать, что координаты х, произвольного векторах n-мерного евклидова (унитарного) пространства в ортогональном базисе e j , . .
. , е„ можно вычислить по формулех, — (х , е, )/(<?,■|е,), i — 1, п.ПН ывести о т с ю д а р авен ство |х|а = ^i= i37470l( j.g .) | 2( * м * .)'66Глава X III.Евклидовы и у н и т а р н ы е пространг,-Л4 8 . 1 7 . Д о к а за т ь , ч то в евкли довом (у н и т а р н о м ) п р о с т р ус т в е длина вектора т, задан н ого своими коор ди н атам и х х, . . ,’в б ази се е , в ы ч и сл яется по прави лу'W* = E N >ix lт о г д а и то л ь к о т о г д а , когд а с - ортон орм и рован н ы й б а зи с rip0ст р а н с т п а ,4 8 . 1 8 .
П у сть С | , . . . , с п ортон орм и рован н ы й б а зи с свк л и д 0.в а п р о ст р а н с т в а . Найти вы р аж ен и е для ск а л я р н о го произведипня п рои звол ьн ы х векто р о в х и у через их к о о р д и н а т ы :а ) в б ази се А|С,, А2е 2, . . . , А „с„, где Ai ,A 2, .
. . , A „ - нен улевы ечи сла;б ) в б ази се е| + е 2, с 2, е3 , . . . , е„.4 8 . 1 9 . П у сть Г - вещ ествен н о е или ко м п л ексн о е линейно^п р о ст р а н с т в о и е 1, . . . , е п - некоторы й б а зи с в нем . Д о к а з а т ьч т о в Г мож но в ве ст и скал ярн ое п рои зведен и е т а к , ч т о б ы этотб а зи с бы л ортон орм и рован н ы м о т н о с и т е л ь н о введ ен н о го скаляр,к ого произведения.4 8 . 2 0 . В п р о ст р а н ств е М „ м н огоч л ен ов степ ен и не в ы ш е п свещ еств ен н ы м и коэфф ициентами п р о и зв о л ьн ы м о б р а зо м введеноск ал я р н о е произведение.
Д о к а з а т ь , ч т о в п о л уч ен н о м евкл и д о.вом п р о ст р а н с т в е :а ) с у щ е с т в у е т о р того н ал ьн ы й б а з и с , со д е р ж а щ и й по одномум н огочлен у каж д ой степ ен и к = 0 , л ;б ) если /0(/ ), / ,(/ )........./„(/) и g 0( t) , y , ( l ) , . . . , g n( t ) - д в а op.то го н а л ь н ы х б а зи с а , о б л а д а ю щ и х у к а за н н ы м с в о й с т в о м , т о (прис о о т в е т с т в у ю щ е й н ум ераци и ) м н о го ч л ен ы , в х о д я щ и е в эт и б а зи с ы , разл и ч а ю т с я л и ш ь ск а л я р н ы м м н о ж и т е л е м : у , ( 0 = а ,/ ,^ ) ,1 = 0 , л.4 8 .
2 1 . В п р о ст р а н с т в е Л/„ в в е с т и с к а л я р н о е произведениет а к , чтоб ы бази сt7ГМ , 2 ,, . . . . ^с т а л ор тон ор м и р ован н ы м .4 8 . 2 2 . Н айти какой -н и будь н о р м и р о ван н ы й в е к т о р , о р того н альн ы й к указан н ой с и ст ем е в е к т о р о в в е щ е с т в е н н о г о ариф мет и ч е с к о ю п р о ст р а н с т в а с с о о т в е т с т в у ю щ и м с к а л я р н ы м произведением:1) ( 2 , 2 , 1 ) , ( - 2 , 2 , 3 ) , ск а л я р н о е п р о и звед ен и е с т а н д а р т н о е ;§48.Ортогональные пскторы672 ) ( 1 , 2 , 1 , 0 ), ( 1 , 1 , 1 , 1 ), скалярное произведение стандартное;3 ) ( 1 , — 1 , 2 ), скалярное произведение стандартное;■1 ) ( 1 , 1 ), скалярное произведение задано равенством ( х , у ) =Х\У\ + i i i / j + z j !/ i + 3 x 2j/2;5 ) ( 1 , 2 , 0 ), ( 2 , 0 , - 1 ), скалярное произведение задано равенством ( х , у ) = 4 х 1 i/i + 2 х|уг + 2 х 2у, + 2 х 7у7 - х 2у3 - х Зу, + З х 31/э4 8 .
2 3 . Найти какой-нибудь нормированный вектор, ортогональный к указанной системе векторов комплексного арифметического п р остр анств а с соответсвуюшим скалярным произведением:1 ) (1 + i, 1 - i ), скалярное произведение стандартное;2 ) ( - 1 , 1 + », 0 ), ( 0 , 1 , * ) , скалярное произведение стандартное;3) ( l , i , 0 ), (», 1 , 0 ), скалярное произведение задано равенством( * , У) =+ 5 х 2Щ + х 3Уз + ix2yi - 1Х3Щ.4 8 . 2 4 . Д ок азат ь, что процесс ортогонализании, примененный к линейно независимой системе векторовприводит к ортогональной системе ненулевых векторов4 8 . 2 5 . Применить процесс ортогонализании к линейно независимой системе векторов вещественного арифметического прос т р а н с т в а со стандартным скалярным произведением:1) /* = ( 1 , - 3 , 1 ) , / а = ( 4 . - 5 .
3 );2 ) /» = ( 1 , 0 , - 1 , 2 ) , / 2 = ( 2 , 1 , - 1 , 3 ) ;3) /, = (2,0, -1), U = (5, -1,0), /з = (1,7, —3);*0 / 1 = ( 1 , 2 , 2 ), /а = ( 1 , 1 , 0 ), / з = ( 0 , 1 , - 4 ) ;5 ) / , = ( 2 , 1 , - 2 ) , / 2 = ( 4 ,1 ,0 ) , / 3 = (0 ,1 ,0 );6 ) / , = ( 1 , 1 , - 1 , 0 ) , / 2 = ( 1 , 2 , 0 , - 1 ) , /3 = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) .4 8 . 2 6 . П усть в результате применения процесса ортогоналиэации к системе векторов / ь . . . , Д получается с и с т е м а ^ , . .
. , <7*.Д о к азать, что:1 ) если система векторов / ь - . . , / * линейно зависима, а ееподсистемаi линейно независима, то векторы д х . . . ,Як- 1 ненулевые, а дк = в\2 ) если векторы </i>• ••>5 * - 1 в получаемой системе ненулевые,а дк = в, то в исходной системе векторы / i , . . . , / * _ i линейнонезависимы, а вектор /* через них линейно выражается.4 8 . 2 7 .
Показать, что тригонометрическая система функций1 , cos t, sincos nt, sin nt ортогональна относительно скалярною произведения ( 1 7 .9 ) с П = - л и t2 = тг.j*68Глава XIII.Еиклиповы и унитарные пространств■48.28. Н пространстве многочленов Л7д го скалярны м про.изведенном (4 7 .9 ), п котором /| = - 1 , ( , = 1, п острои т!, орто,тональный базис, применив процесс ортогон ал изац ни к систем*многочленрв 1, <, I *, t 3.4 8 .2 9 .Д оказать, что в п ространстве многочленов М„ со с.тарным произведением (4 7 .9 ), в котором tt = - 1 , t3 = 1, много,члены ЛежандраГ о (0 = 1 .* =образую т ортогональный базис.4 8 .3 0 . Д оказать, что:а ) любой ненулевой вектор можно вкл ю ч и ть в некоторы й ор.тогональнын базис евклидова п р о стр ан ства;б ) любую ортогональную систему ненулевы х векто р о в можнодополнить до ортогонального базиса п р о ст р а н ств а .4 8 .3 1 .
Дополнить следующие си стем ы векто р о в до ортогональны х базисов п ространства й 4 (скал ярн ое произведение ввведено стан дартн ы м образом):1 ) а, = ( 1 , - 2 ,1 . 3 ) , а , = ( 2 ,1 ,- 3 ,1 ) ;2) а, = ( 1 , - 1 , 1 , - 3 ) , а , = ( - 4 ,1 ,5 ,0 ) ;3 ) а , = ( 1 , 1 , 1 , 2 ) , а ? = ( 1 , 0 ,1 , - 1 ) ;4 ) а , = ( 1 , 2 , 1 , 2 ) , а 2 = ( 1 , 1 , —1, —1).4 8 .3 2 .
Д ополнить следую щ ие си стем ы век то р о в до о р того нальны х базисов п р о стр ан ства С3 (скал яр н о е произведение в С3введено стан д ар тн ы м образом):1) а , = (1 ,1 - i, 2 ), а 2 = (2 , - 5 + 3», 3 + «);2 ) а , = ( - « ' , 2 , - 4 + «), а 2 = (4 - i , —1, *)-4 8 .3 3 .Д ополнить следую щ ие си стем ы в ек т о р о в до ортонмнрованных базисов с о о тв етств у ю щ е го ар и ф м ети ч еск о го простр ан ств а (скалярное произведение с ч и т а е т ся введен н ы м стани2 2\11/( 2)•“*=!^ 15’ 15’ "~ 15’ 15' 311 1 1 1\(1 12> 2’ 2 ’ 2 1, аз = V 2 ’ 2 ’ 2’ ”111\( 1’ л/3■7 ъ '~ 7 з '° '§'<8.О р т о го н а л ь н ы е векторы694 8 . 3 4 . Н п р о ст р а и с т и е Ж4 со с т а н д а р т н ы м ск а л я р н ы м произведен и ем п о с т р о и т ь о р того н ал ьн ы й бази с п о д п р о стр а н ств а , нат я н у т о г о на с и с т е м у в ек т о р о в :1) а , = ( 2 , 3 , - 4 , - 6 ) , а 2 = ( 1 , 8 , - 2 , - 1 6 ) ,а3 = ( 1 2 ,5 ,- 1 4 ,5 ) , а Л= ( 3 ,1 1 ,4 ,- Г ) ;2) в, = ( 1 , 1 , - 1 , - 2 ) , в 2 = ( - 2 ,1 ,5 ,1 1 ) ,а л = (0 ,3 ,3 ,7 ) , а „ = ( 3 ,- 3 , - 3 , - 9 ) .4 8 .
3 5 . Н п р о с т р а н с т в е С3 со с т а н д а р т н ы м скал я р н ы м произведением п о с т р о и т ь о р того н ал ьн ы й бази с п о д п р о стр а н ств а , н ат я н у т о г о на с и с т е м у в ек т о р о в :1 ) а , = ( 2 , 1 , - г ) , а 2 = (3 + * ,0 , - 2 ) , а 3 = ( 0 , 6 - t, 1);2 ) а , = ( 0 , 1 - i , 2 ) , а , = ( 1 , 2 , 2 - i), а 3 = ( г, 2 , 5 + 2 г).4 8 . 3 6 . Н ай ти р а зм е р н о с т ь п о д п р о стр а н ств а , образован н оговсем и в е к т о р а м и х , дл я ко то р ы х (я , х ) = 0 , где а - некоторы йф и кси рован н ы й н енулевой в ек то р р а ссм а тр и в а ем о го п-мерногое в к л и д о в о го п р о с т р а н с т в а .4 8 .
3 7 . П о д п р о с т р а н с т в о L ари ф м ети ческого п р о ст р а н ств асо с т а н д а р т н ы м ск а л я р н ы м произведением описано си стем ой л и нейны х ур авн ен и й . Н ай ти как ой -ли боортон ор м и рован н ы й бази сL , есл и :1) I , - X j - х 3 = 0;2 ) я , -f х 2 + х 3 + х л = 0;( *i - x 2 - X3 - x4 = 0,x, —2x 2 + x3 + 4x4 = 0,3x3 - 6 x4 = 0;Ы x3 + 2x 4 + 14x 5 := 0i2x24 ) -( *13X;i + x 2 -- 3x3 —8 x4 — 7 x5 :=0 ;( X 1 + 3x2 - x3 —3x4 + 4xs = 0,= 0,5) < X, - X2 - x3 + x45x5 = 0;u + 2 x 2 + x3 f X1 + x 2 -- x3 — x4 + x 5 = o,= 0,6 ) < Xi - 2 x 2 -- 4x3 + 3x46 x 3 + x., + 2x5 = 0 .1 3x l —3)4 8 .3 8 .П усть, .
. . , Л - линейно независимая си стем а в ек т о ров е в к л и д о в а (у н и т а р н о го ) п р о ст р а н ств а ,~ с и ст ем а ,получен н ая из нее процессом ортогонализапии. Д о к а з а т ь , ч тоdot G { f ......... .. / *) = d el G ( g u . . . , g k) = Ы 2 •••M 2-70Глава Л'Щ.Евклидовы и унитарные п р о с т р анст^4 8 .S 9 .П у с т ь G = ( 7 ( c i , .
. . , e n ) - м а т р и ц а Г р а м а базис4С | . . . . , г „ е в к л и д о в а п р о с т р а н с т в а Е . Н ай ти м а т р и ц у переход^к б и ор тогон ал ьн ом у б ази суи ег о м а т р и ц у Г р а м а .4 8 . 4 0 . П у с т ь S - м а т р и ц а п ерехода о т б а з и с а е к базисуг*. Н ай ти м а т р и ц у п ерехода о т б а зи с а / , б и о р т о го н а л ь н о го дл„б а з и с а е, к б ази су / ', б и о р то го н ал ьн ого к /:а ) в евкл и д о во м п р о ст р а н с т в е ;б ) в у н и тар н о м п р о ст р а н с т в е .4 8 . 4 1 . Д о к а з а т ь , ч т о о п р ед ел и те л ь Г р а м а лю бой си стем ыв е к т о р о в не п р ево сх од и т п роизведения к в а д р а т о в длин векторовс и с т е м ы , причем р а в е н с т в о и м еет м е с т о т о л ь к о в с л у ч а е , когдал и б о в е к т о р ы попарно о р т о г о н а л ь н ы , л и б о один и з них нулевой,4 8 .
4 2 . Д о к а з а т ь , ч т о в ев к л и д о в о м (у н и т а р н о м ) п ростран с т в е к а ж д а я из д ву х б и о р т о го н а л ь н ы х с и ст е м в е к т о р о в е ь . . . , е*и / ь •••, Д линейно н езави си м а.4 8 . 4 3 . П у с т ь е | , . . . , е „ и / l f . . . , / n - б и о р т о го н а л ь н а я параб а з и с о в в евкл и д о во м (у н и т а р н о м ) п р о с т р а н с т в е Е ( U ). Д о к а з а т ь , ч т о ко о р д и н аты п р о и зво л ьн о го в е к т о р а х в б а з и с е e i , . ■ ., епв ы ч и с л я ю т с я по ф орм уламI,' — ( l , /,"),t = 1, 71.4 8 . 4 4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
