Том 2 (1113043), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(Ц0.лученное пространство М называется фактор-пространствоцпространства Г по подпространству L.46.35. Пусть в условиях предыдущей задачи L А;-мерноеподпространство n-мерного пространства V. Какова в такойслучае размерность фактор-пространства А/?46.36. В пространстве R5 дана плоскость х = x0-Miai -И2а}где х 0 = ( 2 ,3 ,- 1 ,1 ,1),а, = ( 3 ,- 1 ,1 ,- 1 ,1 ,) , а 2 = (-1 ,1 ,1 ,1 ,-1 ),Установить, принадлежат ли ей векторы и = (1 ,6 ,4 ,4 , -2 ) иv = ( 1 , 6 , 5 , 1, - 2 ).46.37. Доказать, что если прямая имеет два общих векторас плоскостью, то она содержится в этой плоскости.46.38.
Определить взаимное расположение многообразияИ = z 0 + L, гле х0 = (1 ,0 ,0 , 1), a L натянуто на векторы ух г(5 ,2 ,-3 .1 ), уз = (1,1. -1 ,0 ), уз = ( - 1 ,2 ,- 5 ,3 ) , и прямой х 5т 0 + tq, если:а) 1 0 = (3 ,1 ,-4 ,1 ), q = (-1 ,1 ,2 ,1 );б) х 0 = (3,0, -4 ,1 ), 9 = ( -1 ,1 ,2 ,1 );в) х0 = (—2 , 0 , —1 , 2 ), g = ( 1 , 1 , - 2 , 1 ).46.39. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы две прямые х = х, + (qt и х = х2 -f tq2 линейногопространства V размерности п > 1 лежали в одной плоскости.46.40.
Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы две прямые х =+ tqx и х = х2 + tq2 линейногопространства V имели один общий вектор, но не совпадали.Доказать, что прямые х = Xi + tqi и х = x2+ tq2 пересекаются,и найти их пересечение. Указать плоскость, в которой лежат этипрямые.46.41. х, = (9 ,3 ,6 ,1 5 ,-3), 91 = (7 ,-4 ,1 1 ,1 3 ,-5 ),х2 = ( - 7 ,2 , - 6 ,-5 ,3 ), q2 = (2 ,9 ,- 1 0 ,- 6 ,4 ) .§46-Л и н е й н о е аф ф инное<17многообразие4 6 . 4 2 . х , = ( 2 , 1 , 1 , 3 , - 3 ) , 9. = ( 2 , 3 , 1 , 1 , - 1 ) ,* » = ( 1, 1, 2 , 1, 2 ) , <7, = ( 1, 2 , 1, 0 , 1).4 6 . 4 3 .
Х| = ( 3 , 1 , 2 , 1 , 3 ) ,= ( 1 ,0 ,1 ,1 ,2 ) ,= (2,2, —1, -1, -2),q3= (2,1,0,1,1).4 6 . 4 4 . В ы я с н и т ь , при каком значении парам етра Л прямыех = x , + tq, и х = Xj + tqj, где х , = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , <7, = (2 , 3 , 0 , 0 ) , х 2 =( 1 , 1 , 1 , Л ), ф2 = (3 , 2 , 0 , 0 ) , п ри н адл еж ат линейному многообразиюнаименьш ей р азм ер н о сти .4 6 . 4 5 .
Н ай ти у сл о в и я, необходимые и д о стато ч н ы е для то го, чтоб ы с у щ е с т в о в а л а ед и н ствен н ая прям ая, п ересекаю щ ая двед ан н ы е п р ям ы е х = х , + tqlt х = х 2 -И<72 и содерж ащ ая заданны йв ек т о р с.Н ай ти п р ям у ю , со д ер ж ащ ую векто р с и пересекаю щ ую прям ы е х = i i + t q i , x = Xj + tqj. Найти пересечения искомой прямойс обем и зад ан н ы м и прямы ми.4 6 . 4 6 . с = ( 8 , 9 , - 1 1 , - 1 5 ) , х , = ( 1 , 0 , - 2 , 1 ) , 91 = ( 1 , 2 , - 1 , - 5 ) ,х г = ( 0 , 1 , 1 , - 1 ) , 92 = ( 2 , 3 , - 2 , - 4 ) .4 6 .4 7 . с = ( 4 ,5 ,2 ,7 ) , * , = ( 1 ,1 ,1 ,1 ) ,= ( 1 ,2 ,1 ,0 ) ,х г = ( 2 , 2 , 3 , 1 ) , 92 = ( 1 , 0 , 1 , 3 ) .4 6 .4 8 .Д о к а з а т ь , ч то лю бы е д ве прямы е линейного прос т р а н с т в а V разм ер н о сти п > 3 со дер ж атся в некотором т р ех мерном линейном многообразии п р о ст р а н ств а V.4 6 .
4 9 . Д о к а з а т ь , ч то прямы е х = х , + l q t и х = х 2 + tq3, гдех , = ( 8 , 2 , 5 , 1 5 , - 3 ) , <7, = ( 7 , - 4 , 1 1 , 1 3 , - 5 ) , х 2 = ( - 7 , 2 , - 6 , - 5 , 3 ) ,q3 = ( 2 , 9 , —10, —6 , 4 ) , не п ер есек аю тся. П острои ть линейное многообрази е р азм ер н о сти 3 , содерж ащ ее эти прямые.4 6 . 5 0 . Д о к а з а т ь , ч то л ю бы е д ве п лоскости линейного прос т р а н с т в а V , dim V = п > 3 , со дер ж атся в некотором линейномм ногообразии р азм ер н о сти не вы ш е 5.О п р ед ел и ть взаи м н ое располож ение п лоскостей x 0 -H iP i + <2P2и Уо + ^i9i + ijQi4 6 .5 1 .х 0 = ( 3 , 1 , 2 , 0 , 1 ) , Pi = ( 2 , —6 , 3 , 1 , - 6 ) , pa = ( 0 , 5 , - 2 , - 1 , 6 ) ,Уо = ( 1 , 0 , 1 , 1 ,0 ) , 9i = ( - 1 , 1 .
- 1 . 0 , 1), 9з = ( - 1 , 3 , - 1 , - 1 , 2 ) .4 6 .5 2 .* 0 = ( 7 , - 4 , 0 , 3 , 2 ) , р, = ( - 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ) , р2 = ( 1 , - 1 . 1 . U ) ,Уо = (6 , —5 , — 1 , 2 ,3 ) , 9i = ( 1 ,1 , —1 ,1 ,1 ) , 9г = ( 1 , 1 , 1 , —1, !)••48/ л а п а X I I .Л и н е й н о е п р о п р а н с т о п н а д п р о н ш о л ы / ы а »г.------------- ^4 6 .5 3 .х 0 = ( 2 .
- 3 , 1 , 5 , 0 ) , р, = ( 3 . - 2 , 1 , 0 , 1 ) , р а = ( - 1 , 5 , - 2 , 0 , 3 )Уо = ( 0 . - 1 , 0 , 4 , 1 ) , Ч1 = ( 1 , 2 , 4 , 0 , - 2 ) . q7 = ( 6 , 3 , 4 , 0 , 3 ) .'46.54.х 0 = ( - 3 , - 2 , 1, — 1 , 2 ) , р, = ( 1 , - 1 , 1, 1 , 3 ) , р г = ( - 1 , 2 , 1 , 2 , - 2 )У о = ( — 1 , 0 , 3 , 3 , 8 ) , 9 , = ( 1 , 1 , - 3 , - 3 , 1 ) , 9а = ( 0 , 1 , 2 , 3 , 1).4 6 .5 5 .О п и с а т ь в се сл у ч а и в з а и м н о г о р а с п о л о ж е н и яп л о с к о с т е й х = х 0 + f , p , + *2р 2 и х — у0 -f t iq i -f t 2 7a 11 н-мерно^п р о с т р а н с т в е и у к а з а т ь н ео б хо д и м ы е и д о с т а т о ч н ы е у сл ов и як а ж д о г о из э т и х сл у ч аев.4 6 .
5 6 . Д о к а з а т ь , ч т о д в а л и н ей н ы х м н о г о о б р а з и я прострац.с т в а I ' р а з м е р н о с т е й к и / с о о т в е т с т в е н н о с о д е р ж а т с я в нскот0.р о м л и н е й н о м м н о го о б р ази и р а з м е р н о с т и не в ы ш е к + / + 1,4 6 . 5 7 . П у с т ь H i и / / 2 - дна л и н ей н ы х м н о г о о б р а з и я размер,н о с т е й ki и к 3 n -м е р н о го п р о с т р а н с т в а V и м е ю т о б щ и й векторп р и ч е м A*i -+- к 3 > п. Д о к а з а т ь , ч т о и х п е р е с е ч е н и е е с т ь линейн^м н о г о о б р а з и е р а з м е р н о с т и не м ен ьш е к + I — п . Сформулиро.в а т ь у т в е р ж д е н и я , к о то р ы е в ы т е к а ю т о т с ю д а д л я трехмерногои ч еты р ехм ер н о го п ростр ан ств.4 6 .
5 8 . Н а й т и у р ав н ен и е л и н ей н ого м н о г о о б р а з и я минимальной р а з м е р н о с т и , с о д е р ж а щ е го в е к т о р ы a t = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , a7 ^( 2 , 4 , 1 , 3 ) , a s = ( 4 , 8 , 0 , 3 ) , a 4 = ( 3 , 5 , 0 , 1 ) , и н а й т и пересечениеэ т о г о м н о г о о б р а з и я с прямой х — х 0 + qt, г д еа) х 0 = (0,0,1,3), q = (0,0,1,0);б) х 0 = (0,0,1.3), q = (1,3,0,2).4 6 . 5 9 . Д о к а з а т ь , ч т о в линейном п р о с т р а н с т в е V' н а д полемх а р а к т е р и с т и к и 2 объ еди н ен и е л ю б о го л и н е й н о г о многообразияН = a + L и е г о н ап р ав л я ю щ его п о д п р о с т р а н с т в а L являетсял и н ей н ы м п одп р остр ан ством .4 6 .
6 0 . Д о к а з а т ь , ч т о д в а л и н ей н ы х м н о г о о б р а з и я Н i =+L\ и Н 3 — a 2 + L 3 п ер есек аю тся т о г д а и т о л ь к о т о г д а , когдаOi — о? £У-1 +1 2.4 6 . 6 1 . П у с т ь / / а = а , + / ., и / / 2 = а 2 + L ?д в а непересек а ю щ и х с я л и н ей н ы х м н огообр ази я. Д о к а з а т ь , ч т о минимальнаяр а з м е р н о с т ь л и н ей н ого м н ого об р ази я , с о д е р ж а щ е г о / / , и паралл е л ь н о г о / / 2 , р ав н аdim У/, + dim / / 2 — d i r n ( / M П L 2 ).4 6 . 6 2 . П у с т ь / / 1 = fli + L| и / / 2 = a 2 + Л2 - д в е иепересекаюш и с с я п р я м ы е в линейном п р о с т р а н с т в е I ' н а д п олем Р и пусть§•16.
Лине иное аффинное многообразие49А - фиксированный элемент иэ / ’, отличный от нуля и единицы.Вы ясн и ть, что представляет собой множество всех векторов вида Аа, + ( 1 - А ) а а> где а, и а г пробегают соответственно Я| иЯ 2.4 8 . 6 3 . П усть V - линейное пространство над полем Р характеристики, не равной 2.
Д оказать, что П является линейноммногообразием в прост ранстве V то гд а и только то гд а, когдавместе с любыми двумя различными векторами а ,Ь б Я в Я содержится прямая, содержащ ая а и Ь. Верно ли это утверждение,если хар актер и сти ка поля Р равна 2?4 6 . 6 4 . Д о к а за ть , что если прямая г = х 0 + 1Ч и гиперплоско сть а - ( - £ не п ересекаю тся, то q € L.4 6 .
6 5 . Д о к а за ть, что если гиперплоскости в| + /м и a t + i jнс п ересекаю тся, то L i = /,2.4 6 . 6 6 . Д о к а за ть , что если пересечение гиперплоскостей Ни. . . , Ht п-мерного п ростран ства непусто, то оно есть линейноемногообразие, разм ерность которого не меньше п - к.4 6 . 6 7 . Д о к а за ть, что всякое линейное многообразие размерности к в п-мерном пространст ве можно зад ать как пересечениеп - к гиперплоскостей.4 6 .
6 8 . П усть <10, 0 ! , . . . , а* - любые вектора линейного прос т р а н с т в а V над полем Р. Д о казать, что все векторы видаI = Qau0 + ® la l + •■. + OltHkiгде числа a 0, Q i , . . . , Q t € Р удовлетворяю т условию a 0 + а ( +. . . + оц = 1, образую т линейное многообразие Я , размерностиравной рангу системы векторов a ( - а 0, . . . ,а * - а 0.П оказать, ч то Я ес т ь многообразие наименьшей размерности , содерж ащ ее все векторы a a , ^ , . , .
, a t .Глава XIII. Евклидовы и унитарныепространства§47.С к ал я р н о е п р ои зв ед ен и е. М а т р и ц а Г р а м аП у с т ь V - вещ ествен н ое или ком плексн ое линейное п р о с т р а н с т в о ( т . сР = С или Р = R ) . О тоб р аж ен и еV х V -• Рн а зы в а е т с я скалярн ы м п р ои зведен и ем , если оно у д о в л е т в о р я е т сл ед ую щ и мак си о м ам : для л ю б ы х х . у . г 6 V' и лю б ого о 6 ЛО (^ . у) = ( у. * ) ;2) (о х ,у ) = о ( х ,у ) ;3 ) ( г + У .* ) = ( x , x ) + ( y , i ) ;4 ) (я-. х ) > 0 дл я лю бого х g V ,( х , х ) = 0 т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о гд а z — в.Ч и сло ( х , у ) н а зы в а е т с я скалярн ы м п р ои звед ен и ем в е к т о р о в х и у, акси о м ы 1 -4 н а зы в а ю т с я акси ом ам и ск а л я р н о го п р о и зв ед е н и я .З а м е ч а н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
