Том 2 (1113043), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В е к то р х = ( x i , г 2, i j , x t l z&) п р и н а д л е ж и т л и н е й н о м у многообразною М — a + L т о гд а и т о л ьк о т о г д а , к о г д а в е к т о р х — а п р и н ад леж и тлинеинои оболочке L = £ ( а 1 , а 2 |а з ) . К а к б ы л о п о к а за н о в п р и м е р е 4 5 . 2 , это§*<6.Л и н е й н о е аф ф инное многообразие■ \\равносильно с о в м е стн о сти следую щ ей си стем ы отн оси тел ьн о иеитвесгпм ла>, а , . o j:П| +П| + 2 а ,а,2а, + а ,а,+ Jo, = *1 — J,+ 4а,+ о,+ 5а,—2а,====X J,х ,,х» — 1,х , — 1.( 4 6 .3 )С о в м е с т н о с т ь этой с и с т е м ы исследуем методом Г а у сса :■101 20 12 1.1 024152XI - 2 гахэг« - 1Xs - 1 .1000.00211022110Их,х,I,I,-21- х, + 2г1000.0— 2х, + 3- х, + 1 .0100021000X, - 2-1*,- 2 х , + хз — х , + 2—2х« + X , + З х , — 4х , - Х| + 1Т а к и м о б р а зо м , л л а с о в м е стн о сти си с т ем ы ( 4 6 .3 ) , и сл еп овател ьп о, длят о го , ч то б ы в е к т о р х = ( г , , х , , х , , х , , х , ) пр инадлеж ал линейному многооб р а зи ю Я необходи мо и д о ст а т о ч н о , ч тоб ы вы п ол н ял и сь соотнош енииГг , - г , + 2 г , = 2,< З х , + X] — 2 х , = 4,Iг , - х , = 1.П р и м е р 4 6 .4 .О п и с а т ь линейное м н огообразие Я = а + L систем ойу р а вн ен и й , есл и а = ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ), а н ап р авл яю щ ее п о д п р о стр а н ство L заданооднородной си ст ем о й( 2 х, + г j — х, —г ,= 0,<х, - и+ х, + х, = 0,I —XI+ хз+ 2х, = 0.Р е ш е н и е .
И з тео р и и с и с т е м линейн ы х а л ге б р а и ч еск и х уравнений сл ед у е т , ч т о д ан н ая однородн ая с и с т е м а я в л я ет с я приведенной д л я искомойси стем ы2 х, + х, - х, — х,= 6,,х , - хз+ х , + х 5 = 63 ,{-И+ Хз+ 2 х5 = 6 ,.К о н с т а н т ы 6 1 , 6 3 ,6 3 в п р а вы х ч а с т я х надо п о д о б р а ть т а к , ч тоб ы вект о р с д в и г а а = ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ) бы л одним из решений с и с т е м ы . Т р и ви а л ьн ойп о д ста н о вко й п о л у ч и м : 6 , = 1 , 6 , = 0 , 6 , = 2 . •Л и н е й н ы е аф ф и нны е м н огооб р ази я Я , = х , + i , и Я , = х , + 6 , вл и н ей н ом п р о с т р а н с т в е V н а зы в а ю т с я п ар ал л ел ьн ы м и , если либо L\ С L i,л и б о L i С L\ .Т е о р е м а 4 6 . 3 . Е сл и д в а линейны х аф финных м н о г о о б р а з и я с н еп у с т ы м п е р е с еч е н и е м п а р а л л ел ь н ы , т о о д н о из них с о д е р ж и т д р у го е.С л е д с т в и е .
Е с л и л и н ей н ы е м н о г о о б р а з и я п ар ал л ел ьн ы , т о л и б о онин е п е р е с е к а ю т с я , л и б о о д н о и з них с о д е р ж и т с я в другом .Т е о р е м а 4 6 . 4 . Н е п у с т о е п ер е с е ч е н и е линейны х а м и н н ы х м н ог о о б р а зи й Я , = XI + L i и Я з = Хз + L i я в л я е т с я линейным м н о г о о б р а з и е мс нап равляю щ им п одп рост ран ст вом 1 , Ш , .Т е о р е м а 4 6 . 5 . В с я к о е k -м е р н о е л и н ей н о е аф ф и нное м н о г о о б р а з и е в п -м е р н о м п р о с т р а н с т в е м о ж н о з а д а т ь в в и д е п ер е с е ч е н и я п — к ги п ер п л оск ост ей .421'лапа ХНЛинсйное пространство пал произвольным //о^0Т е о р е м а 40.0.
//гррсечемиг линейного аффинного мносообппИ = го 4- L с любым подпространством, dono.iHumr.iMiM.M к L, coerno^рол но ил оЛ»оро лектораNЗ А Д А Ч И46.1. Что представляет собой линейное многообразие р^мерности О?46.2. Что представляет собой линейное многообразиемерности п в п-мерном пространстве Г?46.3. Доказать, что линейное многообразие Я = а + L явл*.ется подпространством тогда и только тогда, когда его векторсдвига я принадлежит направляющему подпространству.46.4. Доказать, что для того, чтобы линейное многообразиеЯ = а 4 - L было подпространством, необходимо, чтобы суммалюбых двух его векторов принадлежала направляющему под.пространству L.46.5. Пусть V - линейное пространство над полем Р характеристики, большей двух. Доказать, что для того, чтобылинейное многообразие Н = я + L в V было подпространством,достаточно, чтобы сумма каких-либо двух его векторов принад.лежала направляющему подпространству L.
Верен ли этот реэультат, если характеристика поля Р равна двум?46.6. Пусть линейное многообразие Я = а + L не является подпространством. Может ли объединение линейного многообразия Я и его направляющего подпространства L являтьсяподпространством?Найти вектор сдвига и направляющее подпространство длялинейного многообразия, описанного системой.X]— х 3 —3x^ —1,х ,+ 2 х2- х3=0 ,2x j + x 2- 7 х 4=4,х>- х2 +2х 3 -3х*=3,46.8.46.7.2 х,+ Х а-З х э+ З х^ -!,X j - х 2 - З х 3 - 2 х 4= —1,х 2 + 2 х3- х 4 = 2 .Х 2- х3+ х<= -1.Найти вектор сдвига и направляющее подпространство длялинейного многообразия в пространстве комплексных арифметических векторов, если это многообразие описано неоднороднойсистемой; рассмотреть два случая: когда основное поле - нолеС комплексных чисел и когда поле Жвещественных чисел.13Ij46.
Линейное аффинное многообразиеf ( i - ‘ ) * i + (1 + 0 * j * з = >.4 6 .9 . <2х, +2 ix 3 - ( 1 + 0 * з = - 1 + ».( ( 3 - 0 * i + 0 + 3 0 * 2 - ( 2 + 0 * з = - 1 + 2».( ixх ,, -+ ii xx ,j +-х3 +*я= 2 - i,= ~ 2 + «,Xi - х 2 - i x 3 - х А= - 2 + ».Найти вектор сдвига и направляющее подпространство линейного многообразия, описанного следующими системами, в зависимости о т значения А (сч и та т ь, что основное поле - С).Ах! + tx j - 2 х 3 = -2 А ,—Xj — ix i — 2Ах3 = 2А.4 6 .1(X)2 х 3 - х 3 + х 4 = А,х , + х 2 + 2х3=А - i ,+ i j - 8 х 3 -f Ах 4 = 3i - 2.4 6 .1 3 . Д о к а за ть, что в изоморфных линейных пространс т в а х образ (прообраз) линейного многообразия Н = х а + Lявляется линейным многообразием, вектором сдвига которогослуж и т образ (прообраз) вектора х 0, а направляющим подпростран ством - образ (прообраз) подпространства L.4 6 .1 4 .
Д о к а за ть, что в пространстве многочленов Л/„ следующие м н ож ества многочленов /(<) являются линейными многообразиями, и найти их размерности:а ) / ( 0 ) = с ! где l i . e e К произвольны;б) f ' ( t i ) = с, где < i,c 6 К произвольны;в) Oo/(<i) + « i/ '(< i) = с, где Q? + q J / 0 и l l t c £ К произвольны;кr ) ] C Qi/ (<i) =i=oпроизвольны;С, где к < п и ajj + . . . + a l / 0, l u c £ Якд)] 0 а ‘/(*') = с > где Q i + •••+ ° к /с , 6 Я ( i = 1 , к)произвольны;*уб,е ) Ц Qi / Д О Л = с, где q J + . .
. + а 2к / 0 и с ,а (,4, £ Я■= 1 J <4(i = I , к ) таковы , что a t < 6, < а 2 < 62 < . . . < ак < 6*.4 6 .1 5 .Д оказать, что в пространстве квадратных матриц•НГлава XII.Линейное прострыктвп нал проичпольпЛ "*" соотнетсгвуюшего порядка п следующий множестватриц .V являются линейными многообразиями, и найти и* ftмерности:^а) tr.Y = с, где с 6 R;б) .4Л' = В, где матрицы Л, В С Rmx" таковы, что г® .г е (Л | /?);в) Л’ Л = В, где матрицы А, В £ Rnxm таковы, чтогрrg[A*lBr):г) АХ В = С , где матрицы А е Г " хп, В е Rnx‘ , С е ^таковы, что rg А = rg[.4 |С] и rg В = rg rВпТт 1|С^’тт );,‘д) [Л‘,/4] = В, где /1 = ^2 2е) [.V, Л] =В,где Л = J } J,В =,В =21-2 -21ОО -14 6 .1 6 .
Доказать, что в пространстве матриц Rnxnа ) все стохастические матрицы;б) все дважды стохастические матрицыобразуют линейное многообразие, и найти его размерность.Построить системы линейных уравнений, описывающие^нейные многообразия Н = а + L со следующими векторами сдв^га а и направляющими подпространствами L , натянутыми^указанные системы векторов.4 6 .1 7 .
е, = ( 0 , 1 , 3 , - 4 ) , е, = ( 2 , - 1 , 0 , 2 ) , е3 = ( 2 , 1 , 6 , - 6 ) ,а = (1,-2,-1,0)4 6 .1 8 . е, = ( 1 , - 1 , 2 , 1 ) , е2 = ( 0 , - 1 , 1 , 1 + i), в3 = ( - 3 , 1 , - Цо = (1,0,1,0)4 6 .1 9 . еа = ( 1 , 1, 2, 2) , е3 = ( 0 , 3 , 1 , - 1 ) , е3 = ( 2 , 0 , 1 , 0 ) ,а = (1,2,1,-1)4 6 .2 0 . е, = ( 1 , 2 , 1 ) , е3 = (t‘,0 , l , 2 i ) , е3 = ( 2i , —1, 1 + 2i,3i),а = (l,3i,7,-l)Построить системы линейных уравнений, описывающие®нейные многообразия / / = а + L со следующими векторами®®га а и направляющими подпространствами L , заданными ом»родными системами.( 2xt — х3+ 2 x 4 = 0,4 6 .2 1 .
а = ( 1 , 0 , - 2 , - 1 ) , L : { - х , + З х 2 х 3 - х 4 = 0,I Х| + х 2 + 2 х 3= О'§■ <6.Линейное аффинное многообразие45( х, + ix,+ (1 - i)x 3 = 0 ,= ( 1 , - 2 , - 2 ) , L : < 2ix, - z 3 +ixa = 0,l 3ix, - 2z3 + (1 + 2i)x3 = 0.46.23. Что можно сказать о матрице А £ Rm*n, если известно, что для любого Ь £ Rmxl система Ах = Ьописывает линейноемногообразие размерности 1? размерности 2 ?46.24. Доказать, что в линейном многообразии размерности /с, не являющемся подпространством, можно найти линейнонезависимую систему, состоящую из к + 1 векторов.46.25.
Доказать, что в линейном многообразии размерностик всякая система, состоящая из fc+ 2 векторов, линейно зависима.46.26. Доказать, что для любых к + 1 линейно независимых векторов существует, причем единственное, линейное многообразие размерности к, содержащее эти векторы.46.27. Доказать, что линейное многообразие размерности к,содержащее линейно независимые векторы х0, xlt ..., хк, можетбыть описано как множество всех линейных комбинаций а 0Хо +t*lXl+- •.+ 0 * 1 *, коэффициенты которых удовлетворяют условиюQo + Qi + -.. + а* = 1 .46.28. Описать все линейные многообразия л-мерного линейного пространства V-, содержащие линейно независимые векторы х0, Хь ..., х*, где к < п —1 .46.29.
Пусть V - n-мерное пространство над полем Р, состоящим из q элементов. Найти число Ar-мерных линейных многообразий пространства V.46.30. Пусть Н - произвольное линейное многообразие влинейном пространстве V. Доказать, что бинарное отношение,определенное правилом:х~ у<==> х £ Я , у £ Яявляется отношением эквивалентности на множестве всех векторов пространства V.46.31. Суммой Я 1 + Н2 линейных многообразий Hi = at +L, и Я 2 = а2 + 1 2 называется множество всех векторов видаг, + г2, где Z\ £ Ни zi 6 Н2. Доказать, что сумма линейныхмногообразий Hi и Н2 также является многообразием. Найтиего направляющее подпространство.46.32.
Произведением АЯ линейного многообразия Н = a + Lна число называется множество всех векторов вида Аг, где г £Я. Доказать, что произведение многообразия Я на число А так46.22.а•16Глава XII Линейное пространство нал произвольным нгщже является многообразием. Найти его направляющее подпр,оранство.46.33. В линейном пространстве Г фиксировано поддр0странеi во /.. Будет множество М всех линейных многообразийпространства Г, полученных едпигом подпространства L, диненным пространством относительно операций сложения и умноження на число, определенных в предыдущих двух задачах?46.34. Показать, что если умножение многообразия II ^a + L на число Д ввести по правилу XII = Да ■+ L, то множествоМ из предыдущей задачи будет линейным пространством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
