Том 2 (1113043), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

В е к то р х = ( x i , г 2, i j , x t l z&) п р и н а д л е ж и т л и н е й н о м у мно­гообразною М — a + L т о гд а и т о л ьк о т о г д а , к о г д а в е к т о р х — а п р и н ад леж и тлинеинои оболочке L = £ ( а 1 , а 2 |а з ) . К а к б ы л о п о к а за н о в п р и м е р е 4 5 . 2 , это§*<6.Л и н е й н о е аф ф инное многообразие■ \\равносильно с о в м е стн о сти следую щ ей си стем ы отн оси тел ьн о иеитвесгпм ла>, а , . o j:П| +П| + 2 а ,а,2а, + а ,а,+ Jo, = *1 — J,+ 4а,+ о,+ 5а,—2а,====X J,х ,,х» — 1,х , — 1.( 4 6 .3 )С о в м е с т н о с т ь этой с и с т е м ы исследуем методом Г а у сса :■101 20 12 1.1 024152XI - 2 гахэг« - 1Xs - 1 .1000.00211022110Их,х,I,I,-21- х, + 2г1000.0— 2х, + 3- х, + 1 .0100021000X, - 2-1*,- 2 х , + хз — х , + 2—2х« + X , + З х , — 4х , - Х| + 1Т а к и м о б р а зо м , л л а с о в м е стн о сти си с т ем ы ( 4 6 .3 ) , и сл еп овател ьп о, длят о го , ч то б ы в е к т о р х = ( г , , х , , х , , х , , х , ) пр инадлеж ал линейному много­об р а зи ю Я необходи мо и д о ст а т о ч н о , ч тоб ы вы п ол н ял и сь соотнош енииГг , - г , + 2 г , = 2,< З х , + X] — 2 х , = 4,Iг , - х , = 1.П р и м е р 4 6 .4 .О п и с а т ь линейное м н огообразие Я = а + L систем ойу р а вн ен и й , есл и а = ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ), а н ап р авл яю щ ее п о д п р о стр а н ство L заданооднородной си ст ем о й( 2 х, + г j — х, —г ,= 0,<х, - и+ х, + х, = 0,I —XI+ хз+ 2х, = 0.Р е ш е н и е .

И з тео р и и с и с т е м линейн ы х а л ге б р а и ч еск и х уравнений сл е­д у е т , ч т о д ан н ая однородн ая с и с т е м а я в л я ет с я приведенной д л я искомойси стем ы2 х, + х, - х, — х,= 6,,х , - хз+ х , + х 5 = 63 ,{-И+ Хз+ 2 х5 = 6 ,.К о н с т а н т ы 6 1 , 6 3 ,6 3 в п р а вы х ч а с т я х надо п о д о б р а ть т а к , ч тоб ы век­т о р с д в и г а а = ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ) бы л одним из решений с и с т е м ы . Т р и ви а л ьн ойп о д ста н о вко й п о л у ч и м : 6 , = 1 , 6 , = 0 , 6 , = 2 . •Л и н е й н ы е аф ф и нны е м н огооб р ази я Я , = х , + i , и Я , = х , + 6 , вл и н ей н ом п р о с т р а н с т в е V н а зы в а ю т с я п ар ал л ел ьн ы м и , если либо L\ С L i,л и б о L i С L\ .Т е о р е м а 4 6 . 3 . Е сл и д в а линейны х аф финных м н о г о о б р а з и я с н е­п у с т ы м п е р е с еч е н и е м п а р а л л ел ь н ы , т о о д н о из них с о д е р ж и т д р у го е.С л е д с т в и е .

Е с л и л и н ей н ы е м н о г о о б р а з и я п ар ал л ел ьн ы , т о л и б о онин е п е р е с е к а ю т с я , л и б о о д н о и з них с о д е р ж и т с я в другом .Т е о р е м а 4 6 . 4 . Н е п у с т о е п ер е с е ч е н и е линейны х а м и н н ы х м н о­г о о б р а зи й Я , = XI + L i и Я з = Хз + L i я в л я е т с я линейным м н о г о о б р а з и е мс нап равляю щ им п одп рост ран ст вом 1 , Ш , .Т е о р е м а 4 6 . 5 . В с я к о е k -м е р н о е л и н ей н о е аф ф и нное м н о г о о б р а ­з и е в п -м е р н о м п р о с т р а н с т в е м о ж н о з а д а т ь в в и д е п ер е с е ч е н и я п — к ги ­п ер п л оск ост ей .421'лапа ХНЛинсйное пространство пал произвольным //о^0Т е о р е м а 40.0.

//гррсечемиг линейного аффинного мносообппИ = го 4- L с любым подпространством, dono.iHumr.iMiM.M к L, coerno^рол но ил оЛ»оро лектораNЗ А Д А Ч И46.1. Что представляет собой линейное многообразие р^мерности О?46.2. Что представляет собой линейное многообразиемерности п в п-мерном пространстве Г?46.3. Доказать, что линейное многообразие Я = а + L явл*.ется подпространством тогда и только тогда, когда его векторсдвига я принадлежит направляющему подпространству.46.4. Доказать, что для того, чтобы линейное многообразиеЯ = а 4 - L было подпространством, необходимо, чтобы суммалюбых двух его векторов принадлежала направляющему под.пространству L.46.5. Пусть V - линейное пространство над полем Р характеристики, большей двух. Доказать, что для того, чтобылинейное многообразие Н = я + L в V было подпространством,достаточно, чтобы сумма каких-либо двух его векторов принад.лежала направляющему подпространству L.

Верен ли этот реэультат, если характеристика поля Р равна двум?46.6. Пусть линейное многообразие Я = а + L не являет­ся подпространством. Может ли объединение линейного мно­гообразия Я и его направляющего подпространства L являтьсяподпространством?Найти вектор сдвига и направляющее подпространство длялинейного многообразия, описанного системой.X]— х 3 —3x^ —1,х ,+ 2 х2- х3=0 ,2x j + x 2- 7 х 4=4,х>- х2 +2х 3 -3х*=3,46.8.46.7.2 х,+ Х а-З х э+ З х^ -!,X j - х 2 - З х 3 - 2 х 4= —1,х 2 + 2 х3- х 4 = 2 .Х 2- х3+ х<= -1.Найти вектор сдвига и направляющее подпространство длялинейного многообразия в пространстве комплексных арифме­тических векторов, если это многообразие описано неоднороднойсистемой; рассмотреть два случая: когда основное поле - нолеС комплексных чисел и когда поле Жвещественных чисел.13Ij46.

Линейное аффинное многообразиеf ( i - ‘ ) * i + (1 + 0 * j * з = >.4 6 .9 . <2х, +2 ix 3 - ( 1 + 0 * з = - 1 + ».( ( 3 - 0 * i + 0 + 3 0 * 2 - ( 2 + 0 * з = - 1 + 2».( ixх ,, -+ ii xx ,j +-х3 +*я= 2 - i,= ~ 2 + «,Xi - х 2 - i x 3 - х А= - 2 + ».Найти вектор сдвига и направляющее подпространство ли­нейного многообразия, описанного следующими системами, в за­висимости о т значения А (сч и та т ь, что основное поле - С).Ах! + tx j - 2 х 3 = -2 А ,—Xj — ix i — 2Ах3 = 2А.4 6 .1(X)2 х 3 - х 3 + х 4 = А,х , + х 2 + 2х3=А - i ,+ i j - 8 х 3 -f Ах 4 = 3i - 2.4 6 .1 3 . Д о к а за ть, что в изоморфных линейных простран­с т в а х образ (прообраз) линейного многообразия Н = х а + Lявляется линейным многообразием, вектором сдвига которогослуж и т образ (прообраз) вектора х 0, а направляющим подпро­стран ством - образ (прообраз) подпространства L.4 6 .1 4 .

Д о к а за ть, что в пространстве многочленов Л/„ следу­ющие м н ож ества многочленов /(<) являются линейными много­образиями, и найти их размерности:а ) / ( 0 ) = с ! где l i . e e К произвольны;б) f ' ( t i ) = с, где < i,c 6 К произвольны;в) Oo/(<i) + « i/ '(< i) = с, где Q? + q J / 0 и l l t c £ К произволь­ны;кr ) ] C Qi/ (<i) =i=oпроизвольны;С, где к < п и ajj + . . . + a l / 0, l u c £ Якд)] 0 а ‘/(*') = с > где Q i + •••+ ° к /с , 6 Я ( i = 1 , к)произвольны;*уб,е ) Ц Qi / Д О Л = с, где q J + . .

. + а 2к / 0 и с ,а (,4, £ Я■= 1 J <4(i = I , к ) таковы , что a t < 6, < а 2 < 62 < . . . < ак < 6*.4 6 .1 5 .Д оказать, что в пространстве квадратных матриц•НГлава XII.Линейное прострыктвп нал проичпольпЛ "*" соотнетсгвуюшего порядка п следующий множестватриц .V являются линейными многообразиями, и найти и* ftмерности:^а) tr.Y = с, где с 6 R;б) .4Л' = В, где матрицы Л, В С Rmx" таковы, что г® .г е (Л | /?);в) Л’ Л = В, где матрицы А, В £ Rnxm таковы, чтогрrg[A*lBr):г) АХ В = С , где матрицы А е Г " хп, В е Rnx‘ , С е ^таковы, что rg А = rg[.4 |С] и rg В = rg rВпТт 1|С^’тт );,‘д) [Л‘,/4] = В, где /1 = ^2 2е) [.V, Л] =В,где Л = J } J,В =,В =21-2 -21ОО -14 6 .1 6 .

Доказать, что в пространстве матриц Rnxnа ) все стохастические матрицы;б) все дважды стохастические матрицыобразуют линейное многообразие, и найти его размерность.Построить системы линейных уравнений, описывающие^нейные многообразия Н = а + L со следующими векторами сдв^га а и направляющими подпространствами L , натянутыми^указанные системы векторов.4 6 .1 7 .

е, = ( 0 , 1 , 3 , - 4 ) , е, = ( 2 , - 1 , 0 , 2 ) , е3 = ( 2 , 1 , 6 , - 6 ) ,а = (1,-2,-1,0)4 6 .1 8 . е, = ( 1 , - 1 , 2 , 1 ) , е2 = ( 0 , - 1 , 1 , 1 + i), в3 = ( - 3 , 1 , - Цо = (1,0,1,0)4 6 .1 9 . еа = ( 1 , 1, 2, 2) , е3 = ( 0 , 3 , 1 , - 1 ) , е3 = ( 2 , 0 , 1 , 0 ) ,а = (1,2,1,-1)4 6 .2 0 . е, = ( 1 , 2 , 1 ) , е3 = (t‘,0 , l , 2 i ) , е3 = ( 2i , —1, 1 + 2i,3i),а = (l,3i,7,-l)Построить системы линейных уравнений, описывающие®нейные многообразия / / = а + L со следующими векторами®®га а и направляющими подпространствами L , заданными ом»родными системами.( 2xt — х3+ 2 x 4 = 0,4 6 .2 1 .

а = ( 1 , 0 , - 2 , - 1 ) , L : { - х , + З х 2 х 3 - х 4 = 0,I Х| + х 2 + 2 х 3= О'§■ <6.Линейное аффинное многообразие45( х, + ix,+ (1 - i)x 3 = 0 ,= ( 1 , - 2 , - 2 ) , L : < 2ix, - z 3 +ixa = 0,l 3ix, - 2z3 + (1 + 2i)x3 = 0.46.23. Что можно сказать о матрице А £ Rm*n, если извест­но, что для любого Ь £ Rmxl система Ах = Ьописывает линейноемногообразие размерности 1? размерности 2 ?46.24. Доказать, что в линейном многообразии размерно­сти /с, не являющемся подпространством, можно найти линейнонезависимую систему, состоящую из к + 1 векторов.46.25.

Доказать, что в линейном многообразии размерностик всякая система, состоящая из fc+ 2 векторов, линейно зависима.46.26. Доказать, что для любых к + 1 линейно независи­мых векторов существует, причем единственное, линейное мно­гообразие размерности к, содержащее эти векторы.46.27. Доказать, что линейное многообразие размерности к,содержащее линейно независимые векторы х0, xlt ..., хк, можетбыть описано как множество всех линейных комбинаций а 0Хо +t*lXl+- •.+ 0 * 1 *, коэффициенты которых удовлетворяют условиюQo + Qi + -.. + а* = 1 .46.28. Описать все линейные многообразия л-мерного ли­нейного пространства V-, содержащие линейно независимые век­торы х0, Хь ..., х*, где к < п —1 .46.29.

Пусть V - n-мерное пространство над полем Р, со­стоящим из q элементов. Найти число Ar-мерных линейных мно­гообразий пространства V.46.30. Пусть Н - произвольное линейное многообразие влинейном пространстве V. Доказать, что бинарное отношение,определенное правилом:х~ у<==> х £ Я , у £ Яявляется отношением эквивалентности на множестве всех век­торов пространства V.46.31. Суммой Я 1 + Н2 линейных многообразий Hi = at +L, и Я 2 = а2 + 1 2 называется множество всех векторов видаг, + г2, где Z\ £ Ни zi 6 Н2. Доказать, что сумма линейныхмногообразий Hi и Н2 также является многообразием. Найтиего направляющее подпространство.46.32.

Произведением АЯ линейного многообразия Н = a + Lна число называется множество всех векторов вида Аг, где г £Я. Доказать, что произведение многообразия Я на число А так­46.22.а•16Глава XII Линейное пространство нал произвольным нгщже является многообразием. Найти его направляющее подпр,оранство.46.33. В линейном пространстве Г фиксировано поддр0странеi во /.. Будет множество М всех линейных многообразийпространства Г, полученных едпигом подпространства L, диненным пространством относительно операций сложения и умноження на число, определенных в предыдущих двух задачах?46.34. Показать, что если умножение многообразия II ^a + L на число Д ввести по правилу XII = Да ■+ L, то множествоМ из предыдущей задачи будет линейным пространством.

Характеристики

Список файлов книги