Том 2 (1113043), страница 6
Текст из файла (страница 6)
С ледовательно, e j , ез - базисL\ П L i и dim (L| П L i ) = 2 .З а м е т и м , ч то дл я построения С| и ез достаточн о определить только набор значений Р и Р з . Р з (или то л ь к о o r j,0 2 , 0 3 ). ■С у м м а п о д п р о стр а н ств линейного п р о стр ан ства н азы вается прямой суммой, если разл ож ен и е каж д о го векто р а в ней по сл агаем ы м подпространс т в а м ед и н ствен н о . О б о з н а ч е н и е : £| ® , . . ® /Л .Т е о р е м а 4 5 .7 (к р и т е р и и п рям ой с у м м ы ).Д л я п од п р ос т р а н с т в L \ , . . . , L k к о н е ч н о м е р н о г о ли н ей н ог о п р ос т р ан с т ва V следующиеу т верж ден и я равносильны:1) су м м а п о д п р о с т р а н с т в L \ , . .
. , L k - прямая;2 ) с о в о к у п н о с т ь б а з и с о в п о д п р о с т р а н с т в L \ , . . . , L k линейно незави си ма;3 ) со в о к у п н о ст ь б а з и с о в п од п р о с т р а н с т в L \ , . . . , L k об р аз у ет базиссуммы= E ^ i dim L<4) dim Е * » ,5) сущ ест вует ве к т о р a €L ,, д ля к о т о р о г о р а з л о ж е н и е по подп рост ранст вам L \ , . . . , L k единственно;6 ) п р о и з в о л ь н а я с и с т е м а нену л евы х в е к т о р о в a j , . . .
, а * , взят ых по о д ном у из к а ж д о г о п о д п р о с т р а н с т в а L , , « = 1, fc, линейно незави сима;7) I , П L i = { 0 } ( д л я к = 2).Т е о р е м а 4 5 . 8 . Л и н е й н ое п р о с т р а н с т в о V явл я ет с я прямой суммой с в о и х п о д п р о с т р а н с т в L\ и L i т о г д а и т о л ь к о т огд а, к о г д а :1) dim V' = dim L\ -f dim L i ;2) Li П Li = {0} .Если п р о ст р а н с т в о V я в л я ется прямой суммой L\ и L i , то в разложениип р ои звольн ого в ек т о р а г G V по эти м п одпростран ствам : г = х\ + х з, xi €£ j , хз € L i , нектор x i н а зы в а ется проекцией х на L\ параллел ьно L i , ав ек то р х з , с о о т в е т с т в е н н о , - проекц и ей х на L i пар ал лел ьн о L\.П р и м е р 4 5 .5 .Л а н ы многочленыf\ (t ) = I3 + 21 + 4,/а (|) = 31а + Is - 1,/ з ( 0 = M3 + t3 + At + 7и9 l (t) = t3 + I3 + 2t,g i(t) = 2i3 + t3 + t + 3,у з ( 0 = t3 + 213 + 5 1 - 3 .П о к а за ть , ч то п о д п р о стр а н ств а L\ = £ ( / i ,/ a ,/ j) и L i = C ( g i , g i , g i ) в прямой су м м е о б р а зу ю т все п р о стр ан ство М з, и найти проекцию многочленаp (t) = 6 13 + 2t3 + 6t + 7 на L 1 параллельно L i .Р е ш е н и е .
В силу изоморфизма линейных простран ств Л/з и Ж4 решим т у же за д а ч у для линейных подпространств L\ и L i , натян уты х наари ф м ети чески е векторыa , = ( 1, 0 , 2, 4 ) ,аз = ( 3 , 1 , 0 , - 1 ) ,аз = (5 , 1 , 4 , 7 )и6, = ( 1, 1, 2, 01,62 = ( 2 , 1 , 1 ,3 ),Ь3 = ( 1 , 2 , 5 , - 3 )28/ л а д а X I I . Л и м е н н о * ' п р о с т р я п с т п о н а л п р о т в о д ь н ы м п о ^ ,(* »гк гор л х = (6 , 2 .
6 .7 ) .В с и л у т е о р е м ы 4 5 .7 д о с з а з о ч и о п о к а з а т ь , ч т оHim L i 4- d im L i = d im ( L\ + L j ) =И м ггм4 I2Г 14 120Г 1 013-110I — I 0 1 —6 —L\ : iГ 37 Jl о 1 — 6 — 13 J’ 1L 5 1 4Г О О Т В Г Г С Т » С И ICO,•г•12102151Г 112- 334.H im L , = 2 .О 1H im L'j = 23=>J-3JL21Д л я н а х о ж д е н и я d i m ( / .i + L i ) в о с п о л ь з у е м с я а л г о р и т м о м , о п и са н н ы м „п р и м ер е 4 5 .3 :IJ11310201 —61 1 2О —1 —34 ’— 1303—-*0о- 1000-11021 —6100 —9—34 ■— 13—4— 10»- 100О01002—6694— 13910Т е м с а м ы м , d im ( / .
I +— 4 и £| ф ^ ' 2 — ® •Н ай д ем теп ер ь проекцию в ек тор а * = ( 6 , 2 , 6 , 7 ) н а i i п ар ал л ел ьн оД л я э т о г о р а з л о ж и м в е к т о р х по б а з и с у a j , а з , Ь\, b i п р о с т р а н с т в а IR :г ~ о 1 a 1 + a j a j + f t i i ■+■ P i b i ■(45.7)И з э т о г о р а з л о ж е н и я с л е д у е т , ч т о и с к о м а я п р о е к ц и я — э т о в е к т о р a i o i + a 2ajР е ш и м си с т е м у (4 5 .7 ) м етолом Г а у с с а :31О1О24 —J11202;1136126—2J6'231г iJ21100 —3 —6О —6L ° - 1 3 —4 — 5 - 1 7*■i00о31О0116921386'269312 6"0 2 = о.1 21100 1 = 1,21 20ос 2 = 1.000 25 0a i = 2.L°Т а к и м о б р а з о м , п р о ек ц и ей х н а L , п а р а л л е л ь н о L i я в л я е т с я в е к т о р2 а , -+ а а = ( 5 , 1 , 4 , 7 ) ,а с л е д о в а т е л ь н о , п р о ек ц и ей м н о г о ч л е н а р (< ) н а п о д п р о с т р а н с т в о L , паралл е л ь н о п о д п р о с т р а н с т в у L i , з а д а н н ы м в у с л о в и и з а д а ч и , я в л я е т с я многочлен5 f 3 + I3 + 41 + 7 .З а м е ч а н и е .
М о ж н о о т к а з а т ь с я о т в ы ч и с л е н и я d i m ( / . i + L i ) , а сразуи с к а т ь р а з л о ж е н и е в е к т о р а х но с о в о к у п н о с т и б а з и с о в а , , a i и b , , b i подпрос т р а н с т в L i и L i , р е ш а я с и с т е м у ( 4 5 . 7 ) . Э т а с и с т е м а и м е е т р е ш е н и е прил ю б о й п р а в о й ч а с т и (с л е д о в а т е л ь н о , R * = L , + L 3 ) , о н а и м е е т е д и н ств е н н о е р е ш е н и е (к а к к р а м е р о в с к а я с и с т е м а ) , н с л е д о в а т е л ь н о , к а ж д ы й вектор1 ^ ^и м е е т е д и н с т в е н н о е р а з л о ж е н и е п о п о д п р о с т р а н с т н а м L , и L i , т.е.R 4 = i i © L i..р§45.29Линейное подпространствоП усть £ - линейное полпространство пространства V.
Полпространство£ * н азы ваете* дополнительным подпространством к £ , если £ ф £* = V .Т е о р е м а 4 5 . 0 . Дл>лю бого подпрост ранст ва £линейногоп рост ран ст ва V сущ ест вует дополнит ельное подпространство.П р и м е р 45.6. Найти какие-либо лва различных дополнительных полп р остран ства к подпространству L , = £ (/ i ,/ j ,/ j ) из предыдущего пример*.Р е ш е н и е .
Воспольэуем с* изоморфизмом линейных пространств A/jи К 4 и т ем , что, как было показано в предыдущем примере, I , являете*линейной оболочкой своего базиса из векторовв! = ( 1 ,0 ,2 ,4 ) , а , - З а , = ( 0 ,1 ,- 6 ,- 1 3 ) .Дополним эти д ва вектора до базиса всего пространства К 4, для чего допишем к матрице, составленной из компонент векторов ai и аэ —За>, строкит а к , чтобы в резул ьтате получилась невырожденная матрица. Э то можносд ел а ть, например, построив следующую верхнюю треугольную матрицу:1000012-601004-1 30(45.8)1О т сю д а сл ед ует, что векторы Ь] = (0, 0, 1, 0) и= (0, 0, 0, 1) обладаюттребуем ы м свой ством , и подпространство £(Д|,Ьз) - дополнительное к L,.Д ля построения другого дополнительного подпространства перейдем отм атри цы (4 5 .8 ) к новой невырожденной матрице, прибавив к ее третьейстроке первую:Г 10011 00024'- 6 -1 33401С троки м атри цы остан утся линейно независимыми и, следовательно, буд у т базисом пр остр ан ства R 4.
Таким образом, линейная оболочка £(6з,6«),н атянутая на векторы 6з = ( 1 ,0 , 3 ,4 ) , Ь, = ( 0 ,0 ,0 , 1), образует, очевидно,другое дополнительное подпространство к L ,. *З А Д А Ч И4 5 . 1 . Д о к а за т ь , ч то в изоморфных пространствах образ ипрообраз линейного подпространства являю тся линейными подп р остр ан ствам и , изоморфными исходному.Д о к а за ть, что следующ ие множ ества арифметических векторов из Р п образую т линейные подпространства, и найти их базиси разм ерность.4 5 .
2 . В се векто р ы , у которых первая и последняя компоненты равны между собой.4 5 . 3 . Все векторы , у которых компоненты с четными номерами равны нулю.30 Глава ХП.Лмнейное пространство над произвольным полей4 Б .4 . Все векторы, у которых компоненты с четны м и номерами равны между собой.4 5 .5 . Все векторы вида ( а ,/ 3 ,а ,/ ? ,...), где а , 0 произвольны,4 5 .6 . Д оказать, что все симметрические м атр и ц ы образуютлинейное подпространство пространства м атр и ц Г пхп- Найтиразмерность и какой-либо базис этого п о д п р о стр ан ства.4 5 .7 .
Д оказать, что все кососимметрические м атри ц ы обраэую т линейное подпространство п р о стр ан ства м атр и ц Г пХп,Найти размерность и какой-либо базис этого подпространства.4 5 .8 . Д оказать, что все матрицы, п ерестановочны е с даннойматрицей А £ Г пхп, образуют линейное п од п р о стр ан ство простр ан ства матриц Р пхп. Найти размерность и какой-либо базис__.Г 1 Гэтого подпространства в случае, когда г = С и Л j .4 5 .9 .
Д оказать, что если линейное п о д п р о стр ан ство L простр ан ства многочленов А/„ для любого к = 0 ,р содерж и т хотябы один многочлен степени к и не содерж ит м ногочленов степеник > ру то оно совпадает с подпространством Мр всех многочленов степени не выше р.Д оказать, что следующие м нож ества м ногочленов из Мп образую т вещественные линейные п о д п р о стр ан ства, и найти ихбазис и размерность.4 5 .1 0 . Все четные многочлены.4 5 .1 1 . Все нечетные многочлены.4 5 .1 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
