Том 2 (1113043), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В общем случае, когда А €множ ество всех решенийсистемы (4 5 .1 ) образует подпространство L линейного пространства Р ,причем его размерность также равна п - rg А.ИД. Линейное п о д п р о стр а н ств23О таком подпространстве говоркт, что оно задано однородной системой( 4 5 . 1 ), и записывают это в виде/,: Лх = 0 .Другой способ заданна линейного подпространства сваэан с понятиемлинейной оболочки.П усть f l i . o j , .
. . , о» - система векторов линейного пространства V надполем Р . Линейной оболочкой систем ы векторов 0 1 , 0 3 ........ а* называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов. Говорят такж е, что линейная оболочка натянута но векторы а\,аэ . . ,,а ь .О б о з н а ч е н и е : £ ( o i , . . . ,а ц ) . Итак,£ ( o i ,...
,о») = |о = Y , °|в| l°i 6 Р, I = 1,й|.Из определения следует, что каждое конечномерное пространство является линейной оболочкой векторов своего базиса.Т е о р е м а 4 5 .1 . Сели в|, . . . ,а * - векторы линейного пространства К , mo £ ( d i , . . . , а * ) я в л я е т с я пикейным подпространством пространства V.Т е о р е м а 4 5 .2 . Д ве системы векторов линейного пространстваэквивалентны т огда и то л ьк о тогда, когда их линейные оболочки совпад аю т.С л е д с т в и е 1 . Линейная оболочка систем ы векторов совпадает слинейной оболочкой своей базы.С л е д с т в и е 2, Размерност ь линейной оболочки системы векторовравна рангу этой си стем ы ;d i m £ ( a i ,. ..
,a » ) = rg (m ........ а * ) .П р и м е р 45.1. Найти размерность и какой-либо базис линейной оболочки L = £ ( з 1 , а з ,а з , а 4), натянутой на векторы ai = ( 1 ,2 ,3 ,1 ,0 ) , a j =( 1 ,1 ,2 ,4 ,1 ) , a 3 = ( 3 ,4 ,7 ,9 ,2 ) , a, = ( 1 ,0 ,1 ,7 ,2 ).Р е ш е н и е . Составим из векторов a t , аэ, аз, а, матрицу, расположивих компоненты по-строчно и указав в конце каждой строки наименованиесоответствующ его вектора:213112347101497' 10 ’ в!1 aj2 вэ2(45.2)Отметим, что любое элементарное преобразование строк этой матрицыприводит к новому набору строк, которые остаются в исходной линейнойоболочке L.
Приведем матрицу (45.2) элементарными преобразованиямистрок к верхней ступенчатой форме:'1230 -1 -10 -2 -20 -2 -21366'1 2 30' а \1 аз - ai —* 0 -1 -10 0 02 а3 - Заз0 0 02 0 4 -«113000' ai1 аз - О х0 аз — 2аз — ai0 O i - 2аз + aiИз последней матрицы следует, что:- векторы аз, а, являются линейными комбинациями векторов ai и a j:аз = ai 4- 2аз, а< — —ai 4- 2аз,- векторы a i, a j — a i, а следовательно, и векторы a i, аз линейно независимы.24Удава ХП.Лкнейное пространство над произвольна.,Т и а м образом, dim L = 2 н векторы a la aj образую т базувекторов в ), в ], оз, в<, и поэтому квлкютск базисом линейной оболо Ст'цОтметим, что в качестве базиса L может быть выбрана нс гол*и Г *4за рассматриваемой системы векторов, но и, например, ненулевые bl!tl О*,полученной верхней ступенчатой формы, т.е .
векторы at = ( ] jаа - в | = ( 0 , - 1 , - 1 , 3 , 1 ) . ■"H ofП р и м е р 45.2. Составить однородную систему алгебраически»нений, множество решений которой совпадает с линейной оболочкой /Н»*.смотренной в предыдущем примере.*'• р^Р е ш е н и е . Вектор х = ( i i . x j , х з . г , , t s ) принадлежит линейнойдочке L = £ ( 0 1 , 03, 03, 04) тогда и только тогда, когда найдутся посто.
°®0,art, o j , o j , 04 , а» такие, что""W,aiflt + a j a j + <2303 + 0404 + otjas = x .<45.3)Равенство (45.3) относительно Qj , j = 1 ,5 , представляет собойСИс*М,линейных алгебраических уравнений с расширенной матрицейГ1131 43271 490 1 2210172XI’хахз*4*4.а существование коэффициентов orj, j = 1 , 5 , в этом соотношении равносил,но совместности системы с расширенной матрицей (4 5 .4 ).Исследуем совместность этой системы методом Г а у сса :1Г 1010 -1 300 -1 -31222 -2662 - 2-XIХ4хз — 3xiZ4 - * 1*2 - 2 x i—tJГ100001100032000120001Xl*4хз — 2хх з — Згх *-+ Хз+ *6Xl — З хзТаким образом, для совместности системы , и следовательно, для тогочтобы вектор х = (ж*, х а ,х з , Х4, х&) принадлежал линейной оболочке L ~£ ( 0 1 , 07 , 03, 04), необходимо и достаточно, чтобы вектор х был решениемсистемы—2 xi + ха + х» = О,{—3xi + хз +га = 0,■- X l + Г4 - Зх 4 = 0.Т е о р е м а 4 5 .3 (о м о н о то н н о сти р а з м е р н о с т и ) .
Размерностьлинейного подпространства не превосходит р а зм ер н о ст и пространствП одпрост ранст во той ж е размерност и, ч т о и в се прост ранст во, с ни*совпадает .Суммой подпространств L \ , . . . , L k называется множествок___L , = (х = ц + . . . + х* |х, € L, , « = 1 , * ) .■>1Представление х = Х| + . . .
+ г* вектора х называется его разложение*по подпространствам £|.уд.Линейное ПОДПРОСТРАНСТВО25Пересечением подпростран ств L \ ,:..,L y называется множество£1 П ...П £ * = {г 6 V'|г, 6 £ ,, I = ТГ*}.4 5 .4 . Сумма и пересечение подпростран ств линейногопространства V являют ся его линейными подпространствами.Т е о р е м а 4 5 .
5 . Сумма линейных подпространств есть линейнаяоболочка совокупности базисов слагаемых подпространств.С л е д с т в и е . Размерност ь суммы линейных подпространств равнорангу совокупности базисов слагаемых подпространств:кТеорем аd im ^L, = tg (e ) , . . .
, t m,/ i ........ / „ . . . , д ......... д ) . ,■>1- базисы подпространств Ц , L i ,...,где e i , . . . , e m, / i , . . . , / , ........ д , . . . , дLkТ е о р е м а 4 5 .6 . Лля любых двух линейных подпространств Lt иL i линейного пространства V и м еет м е с т о соотношениеd im (£i + L i) = dim L\ + dim L i - dim L\ n L i .П р и м е р 45.3. Найти размерность и какой-либо базис суммы подпространств Li и L i, наткнутых на системы векторов0| = (1 ,1 ,1 ,1 ),а2 = ( 1 ,1 ,- 1 ,- 1 ) ,«з = (1 ,- 1 ,1 ,- 1 )6, = ( 1 ,- 1 ,- 1 ,1 ) ,63 = 3 , - 3 , - 1 , 1 ) ,h = (3 ,-1 ,1 ,1 )исоответственно.Р е ш е н и е .
В силу теоремы 45.5L \ + Li = £ (01, 02, 03, 61, 62, 63).Найдем базис этой линейной оболочки методом, описанным в примере45.1:г 1 1 1 1п1 1 - 1 - 1 a21-11 - 1 аз1 - 1-113 - 3-11 Ьз.3-11 1. ЬзГ11 1И0 -20 -20 0 - 2 -20 0 - 2 20 0 - 4 4.00 -22.01оз - ai02 — 016 ,-0 362 — За I63 — ai — 2 азrl 1 1 И0 0 - 2-20-2 0-20 - 2-2 00 -6 -4 -2.0 - 4 - 2 - 2 .02 - aiаз ~ 01ii - o i62 — 3oiг111 1 -] 010 -20 - 2 аз - ai61 - 030 0 - 2 2000 -400002- 01+ 03-610 62 —26i —аз.
0 0 0 0 .Ьз —61 - ai - азСледовательно, dim(£| + £ 2 ) = 4 и базис суммы £] + £ 2 образуют, например, векторы( 1 ,1 ,1 ,1 ) , (0, - 2 , 0 , - 2 ) , ( 0 ,0, - 2 ,2 ) , ( 0 ,0 , 0, - 4 )или векторы o i, 0 2 , оз, 61 исходных систем. •П р и м е р 45.4.Найти размерность и какой-либо базис пересеченииподпространств L\ и £ 3 из предыдущего примера.26Г л а в а ХИ.Лннейное п р о с т р а н с т в о н а д п р о и зв о л ь н ы м п о ^ )Р е ш е н и е . 1-й с п о с о б .Опиш ем к аж д о е ил п о д п р о с т р а н с т вL i однородной системой линейных а л ге б р а и ч е ск и х у р а в н е н и и ( с м . прим,4 5 .2 ) :Г 1Г!X ) — XIх д — X)га - x i _1- 20-2*x t* 5 + Х|Хз + Х|х 4 — Xt ^324-2110 - 2000 —2000" 133000200420Х\Хз — XiXI — Г|Г4Хз— Х з -I* X ,*1ХЗ + X ,Хз + X,Х4 + * 3 — х з — Г ,Т а к и м образом ,L i : —x i — г а + * з + * « = 0 .L i : п — * а — * з + *4 — 0;В е к то р х = ( х 1 ,Х 2 , * э , * « ) п р и н ад л еж и т п е р е с е ч е н и ю L\ П L 3 тогда щто л ь к о т о г д а , когда его компоненты у д о в л е т в о р я ю т о б е и м с и с т е м а м , опись,вакэшим п о дп р остр ан ства L\ и L i :х , — г 2 — Гэ + Z\ — о ,— х з + * э + *4 = 0 ..
_ ,/L , п Li . ^(45.5)Т е м са м ы м , базисом пересечения L i П L i я в л я е т с я ф у н д а м е н т а л ь н а я си.с т с м а решений однородной си стем ы ( 4 5 .5 ) . П о с т р о и м ее м е т о д о м Г ау сса:Г 1 - 1 - 11-1 -1111011 10JГ 1 —1 - 1[0 - 20110]2 10J•С л ед о вател ь н о, векторы е , = (0 , 1, 0 , 1 ), ез = ( 1 , 0 , 1 , 0 ) о б р а з у ю т б ази с пересечения и d i m ( £ i Л L i ) = 2.2 -й с п о с о б . В ектор х п р и надлеж и т п е р е се ч е н и ю L\ n L j т о г д а и только т о г д а , к огда он представим в виде линейной к о м б и н ац и и как всктороьв ь . а з . о з , т а * и векторов 6 1 , 62 , 63. т .е .
н а й д у т с я п о с т о я н н ы е Q j, 0 } , j = T]jтак и е , ч т оX = а , 0 | -+- 0202 + а з а з = 0 i b i + 0 3 Ьг + 0 з Ь з .(45.6)П равое равен ство в ( 4 5 .6 ) п р е д ста в л я е т собо й о д н о р о д н у ю си ст ем у линейны х алгебраи ч ески х уравнений о т н о с и т е л ь н о к о эф ф и ц и ен т о в a Jt 0 } , j =1 , 3 . Найдем ее ф ундам ен тальную с и ст е м у р е ш ен и й :1ю1ы00'0001 - 1- 3 - 31о - 1 - l111мм10О'111 -1 -3 -31 1 - 1 1 3 11 - 1111- 11 -1 -1 -1 -1 -1111 -1 -3 -300 —22640 - 2 0 2 4 20 -2 - 20220'000•—й0 '0001 -1 -3 -310 - 1 - 11 - 1 -3 -20'000010 - 1- 2 - 10 - 2 ~Л - 2Ф у н д а м ен т а л ьн а я с и с т е м а так о й од н о р о д н о й с и с т е м ы ур авн ен и й содерж и т д в а реш ен и я:а 1 О,Оз01010л10]-110001 -210Линейное подпространство27Из рап ен сти а ( 4 5 .6 ) п олучи м , ч то набору o>i = 1, а з = 0, щ = 1 (а так ж енабору= —1, /?2 = 0 ,— 1) с о о т в е т с т в у е т вектор с\ — (2 , 0 , 2 , 0 ), а набору от] = « з = 0 , orj = 1 (0\ = —2 , /?з = 1, рз — 0) - вектор e j = ( I , - 1, 1, - 1).Э з и в ек т о р ы линейно н езави си м ы и, как следует из опрсделенк* фундаментальн ой с и ст е м ы решений си стем ы (4 5 .6 ), через них линейно вы раж аю тсквсе векто р ы х , п р ед ста в и м ы е в виде (4 5 .6 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
