Том 2 (1113043), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если система вект оров a t, . . . , at линейно выраж а е т с я через 6 |, . . . , 6 т I то r g ( a j, . . . , а *) < rg( 6 i ........ b „ ) .С л е д с т в и е 1 . Ранги эквивалент ных систем совпадаютС л е д с т в и е 2. Э квивалентные линейно независимые системы вект оров сост оят из одинакового числа вектор ов.Говорят, что сист ема вект оров e i , . .
. , e „ линейного пространства Vп орож дает прост ранст во V, если любой вектор г € V является линейнойкомбинацией в\.........е„ .В этой терминологии базис линейного пространства V - это линейнонезависимая систем а векторов, порождающая все пространство V.Т е о р е м а 4 4 .3 (о н е п о л н о м б а з и с е ). Д п-мерном пространствелюбую линейно независимую систему из к, где к < п, вект оров м ож нодополнит ь до базиса.П р и м е р 44.1. А р и ф м е т и ч е с к о е п р о с т р а н с т в о Р".
Пусть Р- ноле, а Р п - множество всевозможных упорядоченных наборов п чисел изноля Р, т .е . Р" = {а = ( a i , a j , . . . , a„)| a, 6 P, i = 1 , n). Два арифметическихнектора a = (ai , a j , . . . , a„) и b = ( 6 ), 6j , . . . , 6„ ) называются равными, еслиa, = 6 ,, i = l , n . Введем в P" операции no следующим правилам:а) если a = (a i, a j , . . . , a„), 6 = (6|, 6 j,. .
. , 6„), TOa + 6 = (ai + 6 i , a j -f 6 2 , . . . , a n + 6 n):б) для любого числа a 6 Pa a = ( a a i, a a ] , . . . , n a „ ).Нетрудо проверить, что P n линейное пространство над полез! Р.Единичные векторыО = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) , е 3 = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) , . . . . е„ = ( 0 , 0 , .
. . , 1)(44.1)образуют базис Р" (см . пример 17.2), называемый е стествен н ы м базисомпространства Я " , координатами вектора а = ( o i . a j ........ a„) в естественномбазисе сл уж ат его компоненты a i , a j , . . . , a „ .В частности, С п ■ комплексное линейное пространство, dim о = п ивекторы (44.1) образуют его базис.П ри м е р 44.2.А р и ф м е т и ч е с к о е п р о с т р а н с т в о C jg. В линейном пространстве С " векторы умножаются на комплексные числа. Однакоможно было бы ограничиться умножением только на вещественные числа,при этом результат умножения, несомненно, останется арифметическим векзором из С " .
Э го означает, что внешний закон композиции можно вводи тсякак умножение на вещественные числа, т.е. как отображение З х .— кСимволом C jjj будем обозначать множество С , в котором внешний законкомпозиции определен как 1R к Г " -• С " .вещественное линейное пространс гво.Нетрудно проверить, чтоГлава Хи.Линейное пространство нал произвольны^В Арифметическом пространстве C jjj векторы (44.1) не могут бытзисом, т а к как умножением этих векторов только на вещественные ь Б,нельм получить любой комплексный арифметический вектор а a /,ИЦ4t / 7 i , .. ., a n + |0 „), где о * , 0» € К, * = ТГп.
Добавим к векторам (44. 1)+векторов:' е,Ие ,,/i = 0 . 0 ........ 0), Л = (0 ,1......... 0 ).......... /„ = ( 0 ,0 ...........,).Покажем, что система векторов e j , . . . , е„, / i. •••. /п образует базис Г*Действительно, линейная комбинации этих векторов с вещественнымиэффиииентами а * ,£ * имеет вили *0.У ' ахс* + У2 & / *- («> + |'Л+ |Д„)(44.0и равна нулевому вектору в = (0, . . . , 0) тогда и только тогда, когда•А = 0, к = 1,п , т.е.
а * = 0k — 0, к — 1,п . Следовательно, вектов+е » .•••,««./»,•••./« линейно независимы. Они порождают псе пространствC j j , так как любой вектор (a i + i / J i , . . . , a n + «/?„) из Cj^ согласно (442\хвдхетсх линейной комбинацией этих векторов с вещественными коэффИцнентами o i , . . . , o n,^ i,.--,/ Jn .Итак, dim C j j = 2n .В частности, само поле С можно рассматривать как вещественное л*,венное пространство C jj.
В этом случае dim Сщ = 2, а естественным 613ц.сом служат числа 1 н I.П р и м е р 44.3. Множество £3 = ( 0 ,1 ) , в котором операции сложснщи умножених вылолнхютсх по правилам+0100111001000101соответственно, образует, как нетрудно проверить, поле. Как и любое поле,оно хвдхетсх линейным пространством над самим собой.Заметим, что это поле есть ничто иное как поле вычетов {C o.C i} помодулю 2, в котором каждый из классов представлен своим элементом. Операции сложении и умножених в £3 введены по правилам:1) сумма ш и л есть остаток от делении обычной суммы m + п на 2,2) произведение т и п есть остаток от деления обычного произведениет п на 2.Таках операции сложении (умножения) называется сложением (соответственно умножением) по модулю 2 н обозначается (m -f п) mod 2 (соответственно (m n) mod 2).Аналогичным образом могут быть введены алгебраические операции иь Ъ р = ( 0,1 ........
р - 1}П р и м е р 44.4. Пусть М = ( 01,03........ а „ ) - множество, состоящее изл элементов. На множестве всех его подмножеств V определим операциисложения и умножених на числа из ноли £3 (см. предыдущий пример) поправилам:§44. Определение и основные свойстваX + У = (ХиУ)\(ХпУ),1 .Y = X, 0 Х = ф.Нетрудно проверить (например, на хруга* Эйлера), что относительно утихопераций множество V является линейным пространством нал полей Ъ).Отметим, что в атом пространстве 0 = 0 .
- X = X.Покажем, что подмножества Л'| = (а )) , X? = ( a j ) , . . . , Хп = (а„)образуют базис V . Во-первых, они образуют линейно независимую систему,так как никакая нетривиальная линейная комбинация (т.е. с коэффициентами, равными 1 ) этих подмножеств нс равна 0 : 1 •Х ,, + 1 ■X ,, + . . . +1 •= ( a, , , a , a , t ) / 0 .
Во-вторых, как следует из последнего равенства, любое подмножество является линейной комбинацией подмножествXu X j ,...,X n.Таким образом, dim V = п.Отметим такж е, что число всех векторов в пространстве V конечно иравно 2 " .П р и м е р 44.5.Доказать, что линейное пространство K q вещественных чисел над нолем рациональных чисел бесконечномерно.Р е ш е н и е . Покажем, что для любого натурального числа п можноуказать п вещественных чисел, линейно независимых нал полем Q.Пусть p i,P 2 , ■•• ,Рп - произвольные различные простые числа иI ] = l°g 2 Pi,z2= log2 рз, ...,z n = log,pn-Покажем, что еслиa i i i + a 2z j + .
. . + ornZn = 0(44.3)для некоторых рациональных коэффициентов a i , 0 2 , . , , , a n, то Oi = Qj =.., = a„ = 0 .Без ограничения общности можно считать, что все коэффициенты в левой части (44.3) целые: а , = к, 6 Z, i = 1, п (в противном случае, т.е.
еслио , = — , к, 6 Ъ, ш, 6 N, i = 1 , п, достаточно умножить обе части равенстваГО|(44.3) на наименьшее общее кратное знаменателей m j , т 2 ........гл„). Такимобразом, выполнено равенство* i log, pi + ki log, Р2+ * n log, р„ = 0(44.4)или, что тоже самое,Р*' ’ Р]1 ■■■■ ■Рп" = 1 .(44.5)Если все показатели степени k i , k j , . . .
, k n в левой части (44,5) неотрицательны, то так как р, ф 1 , i =г 1 , п, то й| == к„ = 0 .Если же среди чисел k i , . . . , k n есть отрицательные - например,*] < 0 ,0 , кн 1 > 0 ,0,то из (44.5) следует, чтоМРчто противоречит единственности разложения натурального числа на просты е множители.Таким образом, равенство (44.3) с целыми, а следовательно, и с рациональными коэффициентами возможно тогда н только тогда, когда все этикоэффициенты нулевые. ■10 Глава Л77,Линейное пространство над произвольныеДва лмкгйиых пространств» I'j и Vj мал общим полем Р 'lubii.изоморфными, гели существует биективное отображение <р : Цторос сохраняет такой и композиции, т.е.
если для любых векторов х 1 ' х *и любого числа о € Р'* $О v(* + ») = *>(*) + p (v);12) ss(or) = <vp(x).О б о з н а ч е н и е : V) 2 Vi. Салю отображение tp Иазыпается изоц0мом линейных пространств.П р и м е р 44.6. Геометрические пространства V j, Vj, Vj векторпрямой, на плоскости и в пространстве изоморфны арифметическим ^ 1цранстаам К 1, R 1 и R 1 соответственно. Действительно, поставим в НОс*.ветствие каждому вектору х € V'„ набор его координат в каком-либо б»0°Т.е, т.е. арифметический вектор г , 6 R , где п = 1,2, .4. Э то соотвст^Ч (взаимно однозначно и сохраняет законы композиции, так как коордИк, \вектора обладают свойством линейности.На3цП р и м е р 44.7.Vj = Cj j = К3.П р и м ер 44.8.Г" “ Г, и в частности П Г Х" “ И Г " .Т е о р е м а 4 4 .4 . Отношение изоморфизма е с т ь отношение Э(.вален тн ости на множ естве всех линейных пространств над полемТ е о р е м а 4 4 .5 .
В изоморфных пространстваха) образ (и прообраз) линейной комбинации векто р о в е с т ь линеокомбинация образов (прообразов) с теми ж е коэффициентами;б) образ (и прообраз) нулевого вектора есть нулевой в ек то р ;в) образ (и прообраз) линейно независимой системы векторов обрц31Vcij)линейно независимую систему;г) образ (и прообраз) базиса е с т ь базис.Т е о р е м а 44 .6 (критерий и зо м о р ф и зм а ). Д ва конечномерналинейных пространства над общим полем изоморфны т огд а и только гпгда, когда их размерности совпадают.С л е д с т в и е . Любое п-мерное вещественное п р о ст р а н ств о иэомоплно арифметическому пространству R " , а любое п-мерное комплексное пр0странство - арифметическому пространству С п.З А Д А Ч И4 4 .1 . Доказать, что в линейном пространстве над полем Рдля выполнения равенства ах + Ру = fix + ay, где а ,/3 Е Р, х,у- векторы пространства, необходимо и достаточно, чтобы либоQ = 0 , ЛИбО X —у.4 4 .2 .
Не пользуясь коммутативностью сложения векторов,доказать, что правые противоположный и нулевой элементы будут одновременно левыми.4 4 .3 . Доказать, что коммутативность сложения вектороввытекает из остальных аксиом линейного пространства.4 4 .4 . На множестве R2 упорядоченных пар действительныхчисел введена операция сложения по правилу:§44.Определение и основные спойстоаИесли a = (a , , а3) и b = ( b, , 53), то a + 6 = (a, + 6,, a3 + b3).Ввести операцию умножения пары (a i,a 3) на действительноечисло а так, чтобы:а) были выполнены все аксиомы линейного пространства,кроме аксиомы1 •a = a, Va G Ж2;б) были выполнены все аксиомы линейного пространства,кроме аксиомы(a + P)a = аа + Pb, Va G R2, Va,/3 G f t .4 4 .5 .
На множестве R2 упорядоченных пар действительныхчисел введены следующие операции:если a = ( a j , а3) и 6 = (6i, 63), то а + b = (ах + Ьх, а3 + 63);для любого комплексного числа а = Л + ip (А,ц G R)a ( a b a3) = (Aai + /ла2, —/ха, + Аа3).Доказать, что множество R2 с так введенными операциямиявляется комплексным линейным пространством.4 4 .6 . На множестве Ж2 упорядоченных пар действительныхчисел введена операция сложения по правилу:если а = ( a i ,a 2) и b = (bu b2), то а + b = (ах + bu a3 + 63).Ввести операцию умножения пары ( a [ ,a 3) на комплексное число а так, чтобы были выполнены все аксиомы линейного пространства, кроме аксиомыа(Ра) = ( аР)а , Va € Ж2, Va ,Р G С.4 4 .7 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
