Том 2 (1113043), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Найти размерности и базисы суммы и пересеченияп одпространств пространства R3* 3, натянутых на системы матриц231362В 3=Г21\Bl ='0 54-4.0 21-Г1 -2o i.'001026'n>»4 ='1 2 2*’22 1 - 2 » ^2 — 32 -2 1.1IIA, =1‘641 -3 -1'-2 7 23 2-4Г1 2 32334454]Г 0 5 32 , Я4 =4-6-49J( - 1 - 4 5.4 5 .6 2 . Найти размерности и базисы суммы и пересеченияподпространств пространства Л/3, натянутых на системы многочленов 1 + 2 t + t3, 1 + t + t3, t - t1 + t3 и 1 + t1, 1 + 2t + t3,3t - t1 + t3 соответственно.2•36Г л а в а ХИ.Линсйное пространства на л произвол/.ным полем45.63.
Доказать, что если размерность суммы двух подпространств на единицу больше размерности их пересечения, тосумма совпадает с одним из этих подпространств, а перессчение - с другим.45.64. Доказать, что если размерность суммы двух подпространств больше размерности всего пространства, то пересечение этих подпространств содержит ненулевой вектор.45.65.
Матрицы .4! и .42 имеют одинаковые размеры. Пространства Vj, Г? порождены их строками, а пространства WuИ з - их столбцами. Доказать, что следующие условия эквивалентны:а ) rg(/l, + /l2) = rg/l1 + rg Л2;б ) V, П И, = {0 };в) И', П И'а = {0}.45.66. Доказать, чтоа) (L П L x) + (Л П L2) С L П {L x + Ь2)\б) L + (/,. П L3) С {L + Lx) П (/, + Ь2).Привести примеры подпростра1[ств L , L x, L 2, для которых вэтих соотношениях включения являются строгими.45.67. Доказать, чтоа) если L x С L t то (L П L x) + (L П L2) = L П {L x + L2)\б) если L С L u то L + (L x n L2) = ( L + L x) П (L + L2).45.68.
Для вектора х = (1,0,1) найти два различных разложения по подпространствам Ь х и Z2, рассмотренным в задаче4 5 .4 9 .45.69. Пусть V’ - линейное пространство над бесконечнымполем. Доказать, что если его вектор х имеет два различныхразложения по подпространствам L x, . . . , L t , то он имеет бесконечно много таких разложений.45.70. Доказать, что пространство К" арифметических векторов х = (z j,...,х „ ) есть прямая сумма подпространства L Xiописываемого уравнением х, + .
. . + х п = 0 , и подпространстваЬ2л описываемого системой уравнений X] = х 2 = . . . = х„. Найти проекции единичных векторов et, . .. ,е„ естественного базисапространства К" на L x параллельно L2 и на L2 параллельно Lx.45.71. Доказать, что пространство Rnxn есть прямая суммаподпространств L x - симметрических и i 2 - кососимметриче-8 *15.Ли не й н о е п о д п р о с т р а н с т в о37ских матриц. Найти проекции A t и А 3 матрицыА =1 1О 1О Она £,) параллельн о L 3 и на L 3 параллельно L\.4 5 . 7 2 . П о к а за т ь , ч то линейные п о дп р о стр ан ства /м и L 3,н а тя н у ты е на си стем ы векторов а ( = ( 2 , 3 , 1 1 , 5 ) , а , = ( 1 , 1 , 5 , 2 ) ,° з = ( 0 , 1 , 1 , 1 ) и 6, = ( 2 , 1 , 3 , 2 ) , 62 = ( 1 , 1 , 3 , 4 ) , Ь3 = ( 5 , 2 , 6 , 2 ) со о т в е т ст в е н н о , д а ю т в прямой сум м е все п р о стр ан ство R 4 и найтиразлож ен ие в е к т о р а х = ( 2 , 0 , 0 , 3 ) по эти м п од п р о стр ан ствам .4 5 .
7 3 . Д о к а з а т ь , ч то п р о ст р а н ств о М„ я в л я ется прямой су м мой п о д п р о стр а н ств а всех ч етн ы х и п о д п р о стр ан ства всех н еч етны х мн огочлен ов степени не вы ш е п.4 5 . 7 4 . Д о к а з а т ь , ч то п р о ст р а н ств о Л/з я в л я е т с я прямой сум мой след у ю щ и х п о д п р о стр а н ств L\ и L 3, и найти проекцию многочлен а p ( t) = t3 + 1 на L i п араллельн о L 3:а) £. = {/(<) 6 ^ 3 I/O) = /'(!) = 0},1 2 = { / ( < ) £ Л/з 1 / (0 ) = / ' ( 0 ) = 0 ) ;б) £ .
= { / ( 0 е М з | / ( 0 ) = / (1 )},i 2 = { / ( 0 е Л/з |/(2<) = 2 / ( t ) V < e S } ;В) £ i = { / ( 0 € Л/з I / ( - 1 ) = /(0) = /(1) = 0 },= { / ( < ) € М 3 | / '(1 ) = 0 } .4 5 . 7 5 . В п р о с т р а н с т в е С 2 п о д п р о стр а н ств о L\ н а т я н у т о нав е к т о р (* , 2 ) , а п о д п р о с т р а н с т в о L 3 - на в ек т о р (1 + » ,3 ) .
Н ай тип роекц и ю в е к т о р а а н а 1Ч п ар ал л ел ьн о L 2, есл и :а ) а = ( - 1 , 2 » ) ; б ) а = ( 3 - г, 3 — 6 i); в) а = ( 1 0 + 1 5 » , - Ш ) .4 5 . 7 6 . Д о к а з а т ь , ч т о дл я т о г о , ч то б ы с у м м а б о л ее ч ем д в у хп о д п р о с т р а н с т в Л ,+ / ,2 + . . , + L p бы л а п рямой, н еобходи м о, ч то б ывы п олн ялось услови еП L j = { 0 } дл я всех i ф j .
Я в л я е т с я лиэто услови е д остато ч н ы м ?4 5 . 7 7 . Д л я п о д п р о с т р а н с т в а L , н а т я н у т о г о на в е к т о р ы a j =( 1 , 3 , 0 , - 1 ) , а 2 = ( 2 , 5 , 1 , 2 ) , а3 = ( 1 , 2 , 1 , 3 ) , н ай ти д в а р а зл и ч н ы хдополн и тельн ы х п одп ростран ства.4 5 . 7 8 . В п р о с т р а н с т в е Л/„ н ай ти д в а р а зл и ч н ы х дополн и т е л ь н ы х п о д п р о с т р а н с т в а дл я п о д п р о с т р а н с т в а L м н о го ч л ен о в,у д о в л е т в о р я ю щ и х у сл о в и ю / ( 1 ) = 0.38Глава ХП.Линейное пространство нал произвольпым4 5 .7 9 . Н пространство R3 * 3 найти два различных дог,0нитольных подпространства для подпространства L косое ими*тричсских матриц.*4 5 .8 0 . Пространство V разложено в прямую сумму подцр0странств L/,р. Доказать, что:а ) если векто р о им еет р азлож ен и е а = а , + .
. . + а р, а, £ /т о р азло ж ен и е век то р а Аа по п о д п р о ст р а н ст в а м L \, . . . , h p цМе^ 1видДа = Aaj -f . . . + Аар;б ) егли в е к то р Ь им еет р азло ж ен и е 6 = Ьх + . . . + Л»р, 6, £ L}t Тор а зл о ж ен и е век то р а a + Ь по п о д п р о ст р а н ст в а м L \, . . . , /,р имеетви дa + b = ( а , + 6 ,) + . . . + ( а р + Ьр).4 5 . 8 1 . П у ст ь Рполе из к э л е м е н т о в , Uподпространствор а зм е р н о с т и тп в п р о с т р а н с т в е V р а зм е р н о с т и п н ад полем Р.Найт и ч и сл о всех д оп о л н и тел ьн ы х к U п о д п р о с т р а н с т в .4 5 . 8 2 . Д о к а з а т ь , ч т о п о д п р о с т р а н с т в а L и .
. . , L p имею т общ е е д о п о л н и тел ьн о е п о д п р о ст р а н ст в о в т о м и т о л ь к о то м случае,к о г д а их р азм ер н о сти р авн ы .4 5 .8 3 .И зве ст н о , ч т о ф ункционал d ( L ) на м н о ж е с т в е всехп о д п р о с т р а н с т в линейного п р о с т р а н с т в а V о б л а д а е т следующ ими с в о й с т в а м и :а ) если п о д п р о ст р а н ст в а L\ и L 3 и м е ю т н у л е в о е пересечение,тоd ( L i + L j ) = d ( L i ) + d ^ L j),б ) есл и dim L = 1, т о d ( L ) = 1.Д о к а з а т ь , ч т о d [ L ) = dim L д ля в с е х п о д п р о с т р а н с т в§46.Линейное аффинное многообразиеПривезенные в $18 определение и элементарные свойства линейного многообразия (применительно к вещественным линейным пространствам) сохраняются и в линейном пространстве над произвольном полем. Воспроизведем известные факты и дополним их рядом новых.Из определения линейного аффинного многообразия вытекают следующие <£>аиты.1 *.
Вектор сд оигa m принадлежит линейному многообразию.2е. Разность двух векторов линейного многообразия принадлежит направляющему подпространству.Т е о р е м а 46.1. Два линейных аффинных многообразия //» = Zi+L\ и На =г t j + La совпадают тогда и только тогда, когда Li = Lj = L u|46._Л инейное а ффинное многообрачие39L.С л е д с т в и е 1. Вектором сдвига может быть любой лектор линейного многообразия.С л е д с т в и е 2. Линейное многообразие м о ж ет быть получено сдвигом единственного направляющего подпространства.Разм ерн остью линейного аффинного многообразия называете* размерг, - ta €ность его направляющего подпространства. Линейное многообразие размерности 1 называется прямой в линейном пространстве, размерности 2 плоскостью , размерности (п — I), где п = dim V, - гиперплоскостьюОчевидно, что прямая в линейном пространстве определяется уравнениемг = го + ta, I 6 Р,где го вектор сдвига и о базис направляющего подпространства, а плоскость - уравнениемг = г 0 + upj + tpa, и, о € Р,где го - вектор сдвига и pt, P3 - базис направляющего подпространства.Т е о р е м а 4 6 .2 .
Множество всех решений неоднородной системылинейных уравнений с п неизвестными и с коэффициентами из произвольного поля Р является линейным аффинным многообразием в арифметическом пространстве Р п, полученным сдвигом подпространства решенийприведенной однородной системы на частное решение неоднородной системы.О тм етим , что вытекающее отсюда утверждение о размерности линейного многообразия решений неоднородной системы остается в силе и дляслучая произвольного поля.П р и м е р 46.1.Линейное многообразие Н арифметических векторовпространстваописывается системой*1 + хз + Гзrt+ гз ++ r j = 1,+ is = 1.{ХЭ+ХЗ + Zi=1,Найти его размерность и Г1показать,что общеевекторов в Я ко+ Гз+ rsколичество= о.нечно.Р е ш е н и е . Применим метод Гаусса:' 11011 111 11 000 11 11 00 11 0 11'0 1 0 01 1 011 0 0 1' 1000( Xi + г з + г з + а=1.Г2 + Х4 =0,' 10001 ■110<=><I111011001'1 0 10 10 01 0 0 11 0 0 1*3 = 1 .Вектор сдвига многообразия Я - это частное решение последнем системы: например, вектор а = (0 ,0 , 1, 0, 0) , а направляющее подпространство Lэто множество решений однородной системыГ X] + г 2 + хз + is = 0 ,<Iг 2 + т 4 = 0,г , = 0.(46.1)40_ Г л а в а X II.
Л и пей нос п р о с т р а н с т в о над п р о и з в о л ь н ы м поломЕ г ф ундам ентальную си стем у об р а зу ю т векто р ыti11Xj10XJ00х«i0XJ0iТ а к и м обратом, обш ее решение си с т ем ы ( 4 6 1 ) з а д а е т с и со о т н о и 1 енигмх = С | (1,1 ,0 . 1 ,0 ) + е 2 ( 1 , 0 , 0 ,0 , 1), e i , c j € Z , .О т с ю д а сл ед у е т, ч то dim L = 2 и, т а к как к а ж д ы й коэф ф ици ен т с, в этоцсоотнош ен ии принимает то л ьк о д ва значении, т о L с о д е р ж и т 4 в ек то р а .Т е м с а м ы м , dim // = 2 и обш ее к о л и ч е с т в о в е к т о р о в в многообразииН = а + L конечно и равно 4. аП р и м е р 46 .2 .Д о к а з а т ь , ч т о м н о ж е ст в оН = (/(О е М* 1/(1) = 1 ,/'(0) + 2 /(0) = 2 )о б р а зу е т линейное многообразие в п р о ст р а н ст в е A f«.
Н а й ти е го размер,и о ст ь .Р е ш е н и е . Опиш ем м н о ж еств о И си ст ем о й л и н е й н ы х соотнош ений,к о то р ы м у д овлетвори ю т коэффициенты м н о го ч л ен а /(< ) = ао + a i l + a j i 1 +a , I 3 + o4«' 6 H:/ ( 1) = 1/'(0) + 2/(0) = 2<=>«=>ао + ai + a2 + аз + a« = 1,2a0 + a i = 2 .Р еш и м аналоги чную зад ач у для а р и ф м е т и ч е ск и х в е к т о р о в (a o , a j , o j . a j ,а « ) из п р о ст р а н ст в а Л 1, изоморфного п р о с т р а н с т в у Л/«.М н о ж ес т в о решений неоднородной с и с т е м ы/ ao + a i + a j + а з + a< = 1,\2ao + a i = 2(46.2)о б р а зу е т линейное многообразие с н а п р а в л я ю щ и м п о д п р о с т р а н с т в о м , опис ы в а е м ы м с о о т в е т с т в у ю щ е й ( 4 6 .2 ) приведенной од н ородн ой с и с т е м о й , и векто р о м с д в и г а , являю щ им ся ч аст н ы м реш ени ем с и с т е м ы ( 4 6 .2 ) .
Т а к и м образо м , н ап р авл яю щ ее п од п р остр ан ство - э т о м н о ж е с т в о реш ен и й с и с т е м ыГ ao + a i + а 2 + а з + а« = 0 ,\2ао + a j = 0 ,р а зм ер н о с ть которого равна 5 — 2 = 3, а в е к т о р с д в и г а — э т о , например,вектора о — 1 , 0 ] = a j = а з = а< = 0 .Э т о о зн а ч а е т , ч т о исходное м н о ж е ст в о Н о б р а з у е т л и н е й н о е аф ф инное многооб р ази е с вектором с д в и га /<>(<) = 1 и dim И = 3 . •П р и м е р 4 6 .3 .О п и сат ь линейное м н о го о б р а зи е Н = a - f L системойур авн ен и й , если a = ( 2 , 0 , 0 , 1 , 1 ), а н а п р а в л я ю щ ее п о д п р о с т р а н с т в о L натян у т о на вектор ы а , = ( 1 , 1 , 0 , 2 , 1 ), а 2 = ( 0 , 2 , 1 , 1 , 0 ) , а э = ( 2 , 4 , 1 , 5 , 2 ).Р е ш е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
