Том 2 (1113043), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Найти условия, необходимые и достаточныедля то го , чтобы равенство( х , У) = х те ля,аза д ав ал о скалярное произведение в V.4 7 . 1 0 . В ы я сн и ть , можно ли скалярное произведение в простр а н с т в е ! пхп квад ратн ы х матриц порядка п > 2 ввести поформуле:а ) ( .V ,У ) = tr Х У ;б) ( X , У ) = 1 г Х У т ;в ) ( X , У ) = tr X •tr У ; г) ( X , У ) = del Х У ;д)( Х , У ) = 1тХ г D Y , где D - диагональная матрица порядкп с полож ительны ми элементами на главной диагонали.4 7 . 1 1 . В ы я сн и ть , какие из следующих правил определяютскалярное произведение в пространстве матриц Ст х " :а) ( Х , У ) = 1 г (Х У Т );б) ( Х , У ) = 1 г (Х У « );в) ( X , У ) = t r ( X У г ).4 7 . 1 2 . У ста н о в и ть, какие из следующих правил определяютскалярное произведение в пространстве многочленов Л/„ с вещественны м и коэффициентами:0{ P > 4 ) = ^ 2 p {t4 a ) q (k){a),*=о(47.14)Глава XIII.56Евклидовы и у н и т а р н ы е п р о стр ан ствагде точка л g R произвольна;2)4 7 .1 3 .(р,<?) = £ р ( * М * ) -( 4 7 , 15)В вещественном n-мерном п р о ст р а н ст в е V скаляр,ное произведение ( х , у ) задано как функция к о ор ди н а т * i ,и У | , ...
,у „ векторов I и у в некотором базисе е п р о стр а н ства.В ы ч и с л и ть матрицы Г рама базиса с и базиса, с о ст а в ле н н о го извекторов / i , . . . , / n. Найти выражение дл я скал яр н ого произведения ( г , у) через координаты векторов х и у в бази се / :1) ( х ,у ) = i i y , + х 2у2;а) (/.). = (1, 2)т, (/,). = (2, i f ;б) ( / , ) , = ( 1 ,1 ) т , (/ ,).
= ( 1 . - 1 Г ;2) ( 2 ,у ) = х ,у , + х ,у 2 + х 2у, + З х 2у2;а) (/,). = ( 1 ,- lf , (/,)с = (М Г ;б) ( /,) .= (1,-1)т, (/а)е = (1.0) ;3 ) ( г , у ) = 4 х ,у , - 2 х ,у 2 - 2 х 2у, + 4 х 2у2;а) (/,). = О,Of, (/,). = (1,-1)т;б) (/,)« = (1/2, l/2 f, (/*), = (- 1/2,1/2)т ;4 ) ( * , у ) = 4 xiyi + 2 z ,y 2 + 2 x 2yi + 2 i 2y2 - х 2у3 - х 3Уг + ЗхзУз;а) (/»)« = ( l , 0 , 0 f , ( / , ) . = ( 1 , - 1 , 0)т , ( / , ) . = ( 0, 1 , 1)т ;б) (/>). = (1,0,0)Г, (/,), = (-1,2,Of, (Л), = ( - l , 2 , 2 f .4 7 .1 4 .
В комплексном n-мерном п р о ст р а н ств е V скал ярн оепроизведение ( г , у ) задано как функция коор ди н ат x i , . . . , x „ иl/i I •■•, уп векторов х и у в некотором бази се е п р о ст р а н ств а . В ы числить матрицы Грам а базиса е и бази са, со ставл ен н о го из в ек торовНайти выражение для скалярн ого произведения(х , у) через координаты векторов х и у в бази се /:1) (*,у) = 2х,уГ + (1 -(-+ (1 - «>гУГ + Зх2у?;а) (/i). = ( l , 0 f , ( / 2). = ( l , - l f ;б) (/,). = 0 , Of, (/,)« = (-1,1 + i f ;2)6 х 9у»;( х ,у ) = ii y T -1 2 |Уг + «х2уГ + 2 х 2у2 + (2 + i ) x 2y3 + ( 2 - i ) x 3yJа) (/ .),= ( M . O f , (/2)е = ( - 1 , l , 0 f , (/ а ).
= ( 0 , 0 , I f ;б) (/i)« = (l,0,0) , (/2)«= (-i, 1,Of, (/з)£= (l+2i, -2-H, If.4 7 .1 5 . Вы числить матрицу Г р а м а G б а зи са 1, t , . . . , <" в евклидовом пространстве А/„ многочленов со ск а л я р н ы м произведением, заданным:{j,|7. Скалярное произведение. Матрица Г рама57а) равенством (47.8);б) равенством (47.9), в котором <| = 0, (2 = 1;в) равенством (47.9), в котором <| = - 1 , f2 - Иг) равенством (47.14) (отдельно рассмотреть случай a = 0);д) равенством (47.15), в котором т > п.4 7 .1 6 .
Пусть G и G' - матрицы Грама базисов с и е ' евклидова (унитарного) пространства, связанных матрицей перехода5: е1- eS. Доказать, что:1) в евклидовом пространстве G1= STGS\2) в унитарном пространстве G' = STGS.Как связаны между собой определители матриц G и С '?47.1 7 . Доказать положительность определителя матрицыА = (a jj) порядка п с элементами:а) Oij = 2/(i + j - 1), если i + j четно, и а,; = 0 иначе;б) a,j = l/(i + j - 1) для всех t,j= T 7 n .4 7 .1 8 . Векторы х и у евклидова пространства заданы в базисе е координатными столбцами х{ и уе соответственно, и известна матрица Грама G(f) базиса /.
Вычислить матрицу ГрамаС(е) базиса е и скалярное произведение векторов х и у, если:1)/. = е\~ «э> h - е\- 2е3,2 3а д =2)/13 6- 2ei + е2, /г — £| + £з)3 22 2 . * с = [ 1 2 )Т, yt = (0 1]Т;3) !\ - £| - «г, /г - ej + е2|5 3а д =3 5 1 x t — ( ^ ] t Уе - [ 1 3 ] ;а д =«1, /з = ei + «31 /з = «г + «3i'О /|/i -= еь" 3 1- 1'а д =1 2-111, X, - [ 1 2 1 ] , у, - [ 1 1 - 1 ] ;25) /1/i == ei«1 +■ е2, Л = е, + е3, /3 = е2 + е3)а д ='5 2 3]2 3 1 , хе = [1 -2 1]Т, уе = [ 1 1 i ] Ti3 14J47.1 9 .Векторы х и у унитарного пространства заданы в•азисс е координатными столбцами хе и уе соответственно, и58Глада XIII.Гв*лиловы и у н и т а р н ы е и р о с т р а н а м ,,известна матрица Грам а С?(/) базиса /. Н ы чи сли ть матрицуГрам а С (е ) базиса е и скалярное произведение пскгорои х и #|если:О /i = «| + »>г, Л = - 3 i e , + -lej,2 ) Л = е ,, / 2 = - i e j + 2ег + ie3l /3 = -«>2 + ея,<?(/) =13i - 1-3 «22 10*- 1 -lO i5, x e = [ 0 1 0 ] , yc = [1 - 2 i 1 ] ' .4 7 .2 0 .
П усть a - фиксированный вектор евкл и д о ва простраис т в а V , о - заданное вещественное число. Б у д ет ли множ ествовсех векторов х , для которых ( г , о) = а , линейным подпространством пространства Г ?4 7 .2 1 . Д оказать, что всякое подпростран ство евкл и д о ва простр ан ства V само является евклидовым п р о стр ан ство м в смыслескалярного произведения, заданного в V.4 7 .2 2 . Линейное пространство V р а зл а га е тся в прямую сумму подпространств L U . . . , L P. На каж дом из п одп р о стр ан ствопределено скалярное произведение ( х , у ) , , Vx,y £ Z,,. Д о к а за ть,что можно ввести скалярное произведение во всем п ростран ствеГ , положив(*,y) = (zi,yi)l + ... + (xp,3/p)p,если векторы х и у имеют разложения по п одп р остр ан ствам со ответствен н о: х = х 1 + .
. . + хр и у = у, + . . . + ур.4 7 .2 3 . На подпространстве L линейного п р о стр а н ств а V введено скалярное произведение ( х , у ). Д о к а за т ь , ч то можно определить скалярное произведение во всем V т а к , ч то для векторовх и у из Г оно будет со вп ад ать с первоначально задан н ы м скалярным произведением (х ,у ) .4 7 .2 4 . Пользуясь неравенством К о ш и -Б у н я ко вско го , доказать следующие неравенства:6 )(|>д)^Здесь числа а , , 0 , € St, 1 = 1 ,п , произвольны, а числа А, £ И,§47.Скалярное произведение. Матрица Грдма59« = Т7п, произвольны и положительны.4 7 .2 6 .П ользуясь неравенством Кош и-Буняковского для утар н ого п р о стр ан ства, доказать неравенствоsDгде чи сла о , , Д 6 С , i = Т7л, произвольны.4 7 . 2 6 .
П ользуясь неравенством Кош и-Буняковского, доказ а т ь н еравен ство( j f / Ш О * ) < / V ( 0 dtj'g'Wdl,где / (f) , <;(<) - произвольные непрерывные на [а ,6] функции.4 7 . 2 7 . Д о к а за т ь , что неравенство[ t r ( 4 T B ) ]s < tr(A T/4) 1т(ВтВ)выполнено для лю бы х матриц А и В одинакового размера.4 7 . 2 8 . Д о к а за ть, что для любых квадратных матриц А и Водинакового порядка выполнено неравенство:а) [tr ( А В ) } 2 < U{AT A ) U { B TВ)\б) 1г(Л т Л ) > - ( 1 г Л ) 2.п4 7 . 2 9 . П усть в определении скалярного произведение четвертая аксиома заменена на более слабое требование: ( х , х ) > 0 длялюбого х 6 V. Д о к а за ть, что в пространстве V с таким "скалярным произведением” :а ) выполняется неравенство Коши-Буняковского;б) выполняется неравенство треугольника;в ) мн ож ество А/ векторов х, для которых ( х , х ) = 0, образуетподпространство;г) для любого х £ М и любого вектора у 6 V скалярноепроизведение равно нулю;д) если Nпроизвольное дополнительное к А/ подпространс т в о , и х = х А/ + Zjv, У = Ум + Vn ~ разложения векторов х иу по подпространствам М и W, то знак равенства в неравенств е Кош и-Буняковского для векторов х и у имеет место тогдаи только то гд а, когда x N и уц линейно независимы.60________ Глава А'Ш.Епклипопы м у ниглрныс itрос грн47.30.
Сохранится ли неравенство Коши Пуняковского tlслучае, если в определении скалярною произведения отказать^от четвертой аксиомы?47.31. Найти длину вектора:1) а = (5,4,3) в пространстве К3 со стандартным скалярнымпроизведенном;2) а = (1, -2 ,3 ,4 ) в пространстве R* со стандартным скаляр,ным произведением;3) а = ( 1 , 1) в пространстве R3 со скалярным произведением(х,у) = ii У> + *>У» + *гУ: + 3 х 2 уа;4) а = (1, —1,2) в пространстве К3 со скалярным произведе.'4 2 2 'нием (х,у) = х 2 2 - 1 Ут.)2 -135) а = ( l ,i) в пространстве Са со скалярным произведением(х, у) = X'21+ Г1 -16 )) а == (162+ |\l , - i ) в пространстве С3 со скалярным произвеГ1дением (х,у) = х47.32.равенствоУ \-IО» 22+ i0 2-16—ту•Доказать, что для любых векторов х и у выполне|х + у|г + |х - у| 3 = 2 |х|а + 2 |у|3.Какой смысл имеет это соотношение в пространстве Уз геометрических векторов?47.33.Показать, что для любого вектора х конечномерноевклидова (унитарного) пространства V выполнено соотношение|х| =§48.sup1(*,У )1<*|у| ‘О ртогональны е векторыИ » * м - к тир» х,у £ £ ((/) и*ш*аютс» о р т о е о м о л ь н б 1* и , если ( х , у ) = 0 .Систем* ««торов * ,.
. * » 6 £ (U ) имываетс* ортогональной, если( * „ * ,} = 0Сшс-пм*««Т ор о*х,,при€ £ (U) и*хыв*еш ортонормировомноОjjdfl.Ортогональные пек горы61системой, еслиI.О,* ..* 7•Ф ) -4 8 .1 . Ортогональной система ненулевых векторов лиТеоременейно независима.С л е д с т в и е 1. Ортонормированием система векторов линейно независима.С л е д с т в и е 2. В п-мерном евклидовом (унитарном) пространствелюбам ортонормированием система из п векторов образует базис. Э то тбазис называется ортонормированным базисом.П р и м е р 48.1.Известно, что скалярное произведение в пространствеR 4 задано стандартным образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
