Том 2 (1113043), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Т ак как dim L < dim(си . таиечаниск примеру 4 9 .3 ), т о булги искать разложение / = j + Л, } £ i i h £ L , »пиле/ - Л |С | + f tje j + /1, <»i, u j £ R, Л 6 7. I(49.3)m e e j, е* - какой-либо балис пространства L. Построив фундаментальнуюсистем у решений си стем ы (49.2), получимei = (0 ,0 ,-1 ,0 ,1 ), е.7 = (0 ,-1 ,0 ,1 ,9 ).Из (4 9 .3 ) сл ед ует:/ ,е П = o i| (e i,e il + а Д е з .е Л ,/ ,е з ) = a i ( e i , e a ) + а з ( е з ,с 3)«{ta U -4<=* *« * - » .

« » * - * ■Т а к и м обратом, вектор д = - e j - 2 e j = ( 0 , 2 , 1 , - 2 , - 1 ) явлкетск ортого­нальной проекцией вектора / на подпространство L.И так , ортогональная проекция многочлена /(1) на укатанное подпро­ст р а н ст в L - это многочлен j ( ( ) = 21 + (’ - 2t3 - lV •З А Д А Ч И4 9 . 1 . Д о к а з а т ь , что ортогональная сумма подпространствявля ется прямой суммой.4 9 . 2 . Д о к а з а т ь , что если сумма размерностей подпрост­р ан ств в ортогональной сумме® .

. . ф L p равна размерностивсего п р о ст р а н ств а Е , то Е = L\ ф . . . ® Lp.4 9 . 3 . Д о к а з а т ь , ч то сумма L подпространств L U . . . , L P явля­ется их ортогональной суммой тогда и только тогда, когда сово­купн ость ортогон альны х базисов этих подпространств дает ор­тогон альн ы й базис L.4 9 . 4 .

П у сть Е = L i @ . . . Q L p. Доказать, что эта сумма будетортогональной т о г д а и только тогда, когда для скалярного про­изведения лю бы х векторов х и у из Е , имеющих по подпростран­ствам L i , . . . , L p разложения х — i t + . . . + хр и у = у, + . . . + урс о о тв етств ен н о , справедливо равенство{ х , у ) = (хиУ\) + . .

. + (хр,ур).4 9 . 5 . Линейное пространство V разложено в прямую суммуп одп ростран ств: V = L \ @ . . . Q L P. Доказать, что скалярноепроизведение в V можно определить таким образом, чтобы под­п р о стр ан ствав этом разложении были все попарно ортого­нальны.4 9 . 6 . Д о к а за т ь , что если Л и В - матрицы одного размера иВ г Л = О, т о rg ( Л + В ) = r g .4 + rg В.76I л а в а А///,Кшглнлоиы и у ни тар н ы е прост ранет-04 9 .

7 . Д о к а з а т ь , ч т о ортогонально*' дополнение и г п к л и д о н ^( у н и т а р н о м ) п р о с т р а н с т в е Е о б л а п а е т г л о д у ю т и м и е н о й с т в а м и.а) ( / > ) х = L;б ) огли /., С / », т ос Z,f;n) ( £ . + / , а) х = Лх П /,х ;г) ( / „ П /,,)^ = L f + / , х ;л)£ГХ -{0 }, {0 }х =£\4 9 . 8 .

П у с т ь .4 н Вм атри ц ы разм ера m х п к к х п соот.в с т с т в с н н о , п р и ч е м если Л г = О для нек отор ого с т о л б ц а х , то кf i x = О. Д о к а з а т ь , ч т о В — С - 1 , где Сматрица р азм ер а к х щ4 9 .9 .П о д п р о с т р а н с т в а L x и L 3 д а ю т п прямой с у м м е псое в к л и д о в о ( у н и т а р н о е ) п р о с т р а н с т в о Е . Д о к а з а т ь , ч го э т и м жес в о й с т в о м о б л а д а ю т и их ор то гон ал ь н ы е д о п ол н ен и я, т . е .Е = Lf ф Lx .4 9 .

1 0 . П у с т ь /. и L\линейные п о д п р о с т р а н с т в а евклидова( у н и т а р н о г о ) п р о с т р а н с т в а Е , причем L x С L. О б о з н а ч и м черезL f о р т о г о н а л ь н о е дополнение п о д п р о с т р а н с т в а Ь х в С , чер ез L XX— о р т о г о н а л ь н о е дополнение L x в L. П о к а з а т ь , ч т о L ,= LfnL.4 9 . 1 1 .

П у с т ь L 1 и L 3 линейные п о д п р о с т р а н с т в а евклидова^ у н и т а р н о г о ) п р о с т р а н с т в а , причем dim L x < d im L 3 - Д о к а з а т ь ,ч т о в L-j н а й д е т с я ненулевой в ек т ор , о р т о г о н а л ь н ы й в с е м векто­р а м ИЗ I j .4 9 . 1 2 . В п р о с т р а н с т в е ГХ* с о с т а н д а р т н ы м с к а л я р н ы м произ­в е д е н и е м н а й т и б а з и с ор т о го н а л ь н о го дополнения ли ней н ой обо­л о ч к и с и с т е м ы векторов:а а , = 1 1 , 0 , 2 .

1 ) , а , = ( 2 , 1 , 2 , 3 ) , а 3 = (0 , 1 , - 2 , 1);6 ) а , = ( 1 , 1 , 1 , 1 ), а а = ( - 1 , 1 , - 1 , 1 ), а 3 = ( 2 , О, 2 , 0 );в ; о , = ( 1 , 3 , 0 , 2 ) . а 3 = ( 3 , 7, - 1 , 2 ) , а 3 = ( 2 , 4 , - 1 , 0 ) .4 9 . 1 3 . В п р о с т р а н с т в е комплексных а р и ф м е т и ч е с к и х векто­р о в н а й т и б а з и с о р т о г о н а л ь н о г о дополнения л инейн ой оболочкис и с т е м ы в е к т о р о в а х = ( 0 , 1 + 2 i, —*), а 3 = ( 1 , — 1 , 2 — t ) в двухслучаях:а » к о г д а п р о с т р а н с т в о комплексное с о с т а н д а р т н ы м скаляр­н ы м произведением;б ) к о г д а п р о с т р а н с т в о в ещ еств ен н ое, а с к а л я р н о е произведе­н и е з а д а н о р авен ством (4 7 .5 ).4 9 .

1 4 . В а ри фме т и ч е с к и х п р о с т р а нс т в а х Р* ( д л я п у нк то в а)и б ; ) и С э ( д л я nvHKi a в ) ) со с т ан д а р т н ы м и с к а л я р н ы м и произ­в е д е н и я м и н а й : и с и с т е м ы уравнений, з а д а ю щ и е ортогональные8‘<Э.Ортогональные п о д п р о с т р а н с т в а77дополнения к п о д п р о с т р а н с т в а м , описанны м каж дой из сл е д у ю ­щ их си ст ем о й ур авн ен и й :fх , + (1 - i ) x t - ix-j = 0,\ -ix i+4ж а=0.4 9 . 1 5 . Д о к а з а т ь , ч т о си ст ем ы линейны х у р авн ен и й , з а д а ­ю щ ие л и н ей н ое п о д п р о с т р а н с т в о L в п р о ст р а н с т в е R " со с т а н ­д а р тн ы м с к а л я р н ы м п роизведением и его о р то го н а л ь н о е д оп ол ­нение L 1 , с в я з а н ы сл ед у ю щ и м о бр азо м : коэф ф ициенты с и с т е м ы ,за д аю щ ей од н о из э т и х п о д п р о с т р а н с т в , я в л я ю т с я к о о р д и н а т а ­ми в е к т о р о в , п о р о ж д а ю щ и х д р у го е п о д п р о стр а н ств о .4 9 .

1 6 . Н ай ти с и с т е м ы л и н ей н ы х уравн ен и й , о п и сы в а ю щ и еп о д п р о с т р а н с т в о L , за д а н н о е в за д а ч е 4 9 . 1 2 ( b ) , и его о р т о г о н а л ь ­ное д оп олн ен и е4 9 . 1 7 . В п р о с т р а н с т в е м н огочлен ов А/„ ск а л я р н о е п р о и зве­дение в в е д е н о с т а н д а р т н ы м о бр азо м . Н ай ти о р т о го н а л ь н о е до­полнение п о д п р о с т р а н с т в а :а ) м н о го ч л е н о в , у д о в л етв о р я ю щ и х усл о ви ю / (1 ) = 0 ;б ) м н о го ч л е н о в , у д о в л е т в о р я ю щ и х усл о ви ю / ( - 1 ) = / ( 1 ) ;в ) м н о го ч л е н о в , у д о в л етв о р я ю щ и х у сл ови ю / (1 ) + / '( 1 ) = 0 ;г ) в с е х ч е т н ы х м н о го ч л ен о в п р о ст р а н с т в а Л/„.4 9 . 1 8 . В п р о с т р а н с т в е Ж "* " со с т а н д а р т н ы м с к а л я р н ы м про­и звед ен и ем н а й т и о р т о го н а л ь н о е дополнение к п о д п р о с т р а н с т в у :а ) м а т р и ц с н у л е в ы м сл ед ом ;б ) си м м етр и ч еск и х м атри ц;в ) к о с о с и м м е т р и ч е с к и х м ат р и ц ;г ) в е р х н и х т р е у г о л ь н ы х м атр и ц .4 9 .

1 9 . К в а д р а т н а я м а т р и ц а А п орядка п т а к о в а , ч т о дл ялю бой м а т р и ц ы А' п о р я д к а п с н улевы м следом t r .4 A = 0 . Д о ­к а з а т ь , ч т о А - скал я р н ая м атрица.4 9 . 2 0 . К в а д р а т н а я м а т р и ц а Л п орядка п т а к о в а , ч т о д л я л ю ­бой с и м м е т р и ч е с к о й м а т р и ц ы A” G R " * '' вы п олн ен о со о тн о ш ен и е1г Л А = 0.1.Д о к а з а т ь , ч т о А ко со си м м етр и ч н а.78Глада XIII.Евклидовы и унитарные пространств*2.Ч т о м о ж н о с к а з а т ь о к в а д р а тн о й м а т р и ц е А, есл и с о о тн ош ен и е tr.-bY = 0 вы п о л н ен о дл я лю бой к о со си м м ет р и ч еск о йм а т р и ц ы X п о р я д к а п?4 9 . 2 1 .

Н ен у л евая к в а д р а т н а я м а т р и ц а А п о р я д к а п т а к о в а ,ч т о д л я л ю б о й с т о х а с т и ч е с к о й м а т р и ц ы Л' п о р я д к а п вы п о л н ен ос о о т н о ш е н и е tr/lA' = trA. Д о к а з а т ь , ч т о р а н г м а т р и ц ы А равенед и н и ц е.4 9 . 2 2 . К в а д р а т н а я м а т р и ц а А п о р я д к а п т а к о в а , ч т о длял ю б о й д в а ж д ы с т о х а с т и ч е с к о й м а т р и ц ы X п о р я д к а п вы п о л н ен ос о о т н о ш е н и е trA.Y = trA.

Д о к а з а т ь , ч т о р а н г м а т р и ц ы А неп р ево сход и т двух.4 9 .2 3 .Н а й ти б а з и с о р т о г о н а л ь н о г о до п о л н ен и я линейнойо б о л о ч к и с и с т е м ы в е к т о р о в ев к л и д о в а п р о с т р а н с т в а Е , з а д а н ­н ы х в н е к о т о р о м о р т о н о р м и р о ва н н о м б а з и с е Е к о о р д и н а т н ы м истолбц ам и :а)( 1 0 , 1 , —7 ) т ;в)( 1 , —5 , 2 , —9 ) т ;д)( - 1 , 3 , 0 , I f , ( 4 ,2 ,1 , I f , (3 ,5 , l , 2 f .4 9 .2 4 .б ) ( 1 , 1 , 1)т , ( 1 , - 4 , - i f ;г ) ( 1 , 1 , - 5 , 1 )т , ( 2 , - 7 , 2 , i f ;В ари ф м ети ческом п р о ст р а н ств е со ст а н д а р т н ы м с кл я р н ы м п р о и зв е д е н и е м н а й ти о р т о н о р м и р о в а н н ы й б а з и с о р т о г о ­н а л ь н о г о д оп о л н ен и я л и н ей н ой о б о л о ч к и с л е д у ю щ и х с и с т е м в е к ­тор ов:а)о , = ( 1 ,2 ,1 ) ;б) а, = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 ) ;в) а , = ( 1 , 3 , - 1 , 1 ), а , = ( 2 , 5 , - 2 , 3 ) ;г) а, = ( 1 , 2 , - 1 , - 3 ) , а2 = (2 ,1 ,1 ,- 9 ), а3 = ( 1 , 4 , - 3 , - 1 ) ;д ) a v = ( —1 , 0 , 1 , 2 , 1 ) , о 2 = ( 2 , —3 , 1 , —1 , 4 ) , а 3 = ( - 1 , - 1 , 2 , 3 , 3 ) .4 9 .2 5 .Н ай ти бази с ор тогон альн ого дополнения п о д п р о стр ас т в а в е к т о р о в , к о о р д и н а т ы Z | ,.

. . , z „ к о т о р ы х в н е к о т о р о м о р гонорм и рован н ом б ази се евкл и д ова п р о ст р а н с т в а у д о в л етв о р я ю тс и с т е м е ли н ей н ы х уравн ен и й :Ij49.79Ортогональные подпространстваi| + 2 х 2 + x 3 + 2 х ч + 5 x s = О,2 x ,+ 3 x 2 +x „ + 6*5 = 0,(x ай, - 7тиx 39 xем4у- 5линейныхx s = 0,4 9 . 2 63 x.

Характеристики

Список файлов книги