Том 2 (1113043), страница 17
Текст из файла (страница 17)
, + Нси- стуравнений, оп и сы ваю щ у ю5 * i + t i j — 7 x 3 - вх^ + x 5 = 0.о р т ого н ал ь н о е дополнение линейного п о д п р о стр ан ства, ладанного в н ек отор ом ортон орм и рован и ем базисе евкл и д о ва п р о стр ан с т в а си стем о й уравн ен и й :х , + х 2 - х 3 = О,б ) х, + 2 х 2 + 5 * 4 = 0 ;х , - х г + 2 х 3 = 0;а){В){х, 2*1 -{2х2 2*1 = 0 ,х 2 + х 3 З х 4 = 0;*! ~*з+х, - 2х2 - х3 -i-t = 0,*4 = 0,IX, + * 2 - 4 * 3х ,-3 х 2-8х4=0,= 0,2 х , -I- З х2 - 9 х 3 + 2 * 4 = 0;х 2у с- т ьх 3А+х 2 *—4 =4 9 .
2 7З.х , + 5Пb -0. вещ ествен н ая си стем а т линейныуравн ен и й с п н еи звестн ы м и , а \ , . . . , а ' тстр о к и , а и . . . , а п сто л б ц ы м а т р и ц ы А. Будем р а с с м а тр и в а ть решение х си стем ыи с тр о к и м а т р и ц ы А как векторы ариф м етического п ростран с т в а R " , а с т о л б е ц п р а вы х частей Ь и столбц ы м атри ц ы А какв е к т о р ы а р и ф м ети ч еск о го п р о стр а н ств а Кт . П у сть в п ростран с т в а х R " и R m ск а л я р н ы е произведения введены ста н д а р тн ы мо б р азом . О б озн ач и м через L и М линейные оболочки с о о т в е т ств ен н о в е к т о р о в a ' j , .
. . , n ' m и a , , . . . , a „ . П о к а за ть, ч то :1) м н о ж е с т в о в сех решений однородной си стем ы уравненийАх = 0 с о в п а д а е т с 1Л \2 ) м н о ж е с т в о в се х решений сопряженной однородной си стем ыуравн ен и й АТ у = 0 е с т ь М 1 ;3 ) с и с т е м а уравнений Ах = Ь разреш има т о г д а и то л ь к о т о гд а, когда 6 £ М ;4 ) оп и р ая сь на преды дущ ие п ун кты , д о казать т еор ем у Фредг о л ь м а : с и с т е м а уравнений Ах = Ь разреш има т о г д а и то л ькот о г д а , к о гд а с то л б е ц b ортогонален любому решению у сопряженной однородной си стем ы ;5 ) д о к а з а т ь а л ь т ер н а т и в у Фредгольма: либо си стем а у р а в нений А х = Ь р азр еш и м а при любой правой части Ь, либо сопряженная однородная си ст ем а имеет нетривиальное решение.4 9 .2 8 .
П усть е , , . . . , е п ибиортогональные базисы80Глава X I II .Евклидовы и у н и т а р н ы е пространстваев к л и д о в а (у н и тар н о го ) п р о ст р а н ств а и /.* = £ ( c i , . . . , e * ) , к <п . Д о к а з а т ь , ч то L $ = £ ( Д 4 | , . . . .
/ „ ) .4 9 .2 9 .Д о к а з а т ь , ч то в лю бы х л в у х п о д п р о с т р а н с т в а х е вк л и д о в а (у н и т а р н о го ) п р о ст р а н ств а мож но в ы б р а т ь ортон орм и р о п а н н ы е б а зи с ы, . . . , с* ит а к , ч то б ы (е,-, f , ) — 0 приI ф j и ( с * ,/ ,) > 0 дл я всех i.В п р о ст р а н с т в е й 4 со ст а н д а р т н ы м ск а л я р н ы м п рои звед ен и ем н ай ти ортого н ал ьн у ю проекцию д и п ерп ен д и кул яр h , опуш ейны й из в ек т о р а / на п о д п р о стр а н ств о /., н а т я н у т о е на в е к то р ы а ь а 2, од.4 9 .3 0 . а, = ( - 3 .0 , 7 ,6 ) , а2 = ( 1 ,4 ,3 ,2 ) , а3 = ( 2 , 2 , - 2 , - 2 ) ,/ = ( 1 4 ,- 3 ,- 6 ,- 7 ) .4 9 .
3 1 . а , = ( 1 , 3 . 3 , 5 ) , а 2 = ( 1 , 3 , - 5 , - 3 ) , а 3 = ( 1 , —5 , 3 , - 3 ) ,/ = ( 2 ,- 5 ,3 ,4 ) .4 9 . 3 2 . а , = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , а 2 = ( 1 , 2 , 2 , —1 ), а 3 = ( 1 , 0 , 0 , 3 ) ,/ = ( 4 ,- 1 ,- 3 ,4 ) .4 9 .3 3 . а , = ( 2 ,1 ,1 ,- 1 ) , в , = (1 ,1 ,3 ,0 ) , в3 = ( 1 ,2 ,8 ,1 ) ,/ = ( 5 ,2 ,- 2 ,2 ) .4 9 .3 4 .В п р о ст р а н с т в е С 3 со с т а н д а р т н ы м с к а л я р н ы м п р овед ен и ем н ай ти о р т о го н а л ь н у ю п роекц и ю д и п ер п ен д и ку л я р /г,о п уш ен н ы й из в е к т о р а / = ( 0 , - 1 + i , - l + 6 i ) на п о д п р о с т р а н с т в оL , н а т я н у т о е на в ек т о р ы a i = ( - i , 2 + i , 0 ) , а 2 = ( 2 , - 3 - t , i ) .В п р о с т р а н с т в е К 4 со с т а н д а р т н ы м ск а л я р н ы м п р о и звед ен и ем н а й ти о р т о го н а л ь н у ю проекци ю д и п ер п ен д и ку л я р h , о п у ш ен н ы й и з в е к т о р а / на п о д п р о с т р а н с т в о Л, за д а н н о е о д н о р о д ной с и ст ем о й уравн ен и й .( 3 x j + 2 х 2 + х 3 - 2x 4 = 0,4 9 .3 5 ./ = ( - 3 , 0 , - 5 , 9 ) , L : < 5 x j + 4 х 2 + Зх3 + 2 х , = 0,( Х| + 2 х 2 + З х 3 + 10x4 = 0 .! + Х2 + X3 + 3 l 4 = 0 ,! 2ХЗ х ,+ 2 х г + 2 х 3 + х 4 = 0,4 9 .3 7 .
/ = ( 8 , - 2 , 8Xi2 +f Xj —z 22+х 2 +х 32х3 - =9х04, =\ х , - х 2 + 4 х 3 + х 4 = 0.!0.х, + х2 + х3 х 4 = 0,2 х ,+ х 2 + Зх3=0,4Х| + З х 2 + 5 х 3 - 2 x4 = 0.§49.Ортогональные подпространства81В п р о с т р а н с т в е С " со ста н п а р тн ы м ск а л я р н ы м п р о и звед ен и ем н ай ти о р т о г о н а л ь н у ю проекиию д и п ерп ен ди куляр Л, о п ущ енны й из в е к т о р а / на п о д п р о стр а н ств о /,, за д а н н о е о д н о р о д ной с и ст ем о й у р авн ен и й .4 9 . 3 9 .
/ = ( 0 , - 7 i , 7 + 7»), L : z , -H 'z j - (2 - i ) z 3 = 0.4 9 . 4 0 . / = ( 4 , - 4 , 4»')» Л : z , + (1 + i ) x 7 - i z 3 = 0 .4 9 . 4 1 . / = ( 3 - i , l + 2 i , 2 , - i ) , L . / ( 2 + , ) * « + * a + 2 * 3 + i* 4 = 0 1v’’h\5 z j —2 i Z j + 3 z 3 - f 2 z ^ = 0 .В п р о с т р а н с т в е М л со с т а н д а р т н ы м ск а л я р н ы м п р о и звед ением н а й ти о р т о г о н а л ь н у ю проекцию и п ерп ен д и куляр, о п у щ ен ный из м н о го ч л ен а /(<) н а п о д п р о стр а н ств о L.4 9 .
4 2 . / (< ) = 51 + 61г + 81я -f t\ L : ( д '( 1 ) = 0 } ;4 9 .4 3 . / (0 =3 + 3t + 5t*+3ta - t \ L : f o ( - l ) = j ( l ) = j ( 2 ) } ;4 9 . 4 4 . / ( 0 = 2 -(- 41г - 71*, Л : {2 < / (-1 ) - < / '(-!) = 0 ,fl( 0 ) = 0 , 2 ff( l ) + fl' ( l ) = 0 } .4 9 . 4 5 . Н ай ти о р т о го н а л ь н у ю проекцию д(1) м н о го ч л ен а 1 +t + t2 + t3 н а ли н ей н ое п о д п р о стр а н ств о М . м н огочлен ов степ ен ине в ы ш е п ер в о й , есл и скал я р н о е произведение в А/3 за д а н о :а ) с т а н д а р т н ы м обр азо м р а в ен ств о м ( 4 7 .8 ) ;б ) р а в е н с т в о м ( 4 7 .9 ) , в котором 1, = 0 , 12 = 1;в ) р а в е н с т в о м ( 4 7 .1 4 ) , в котором а = 1;г ) р а в е н с т в о м ( 4 7 .1 5 ) , в котором m = 4.4 9 .
4 6 . Д о к а з а т ь , ч т о если в процессе ор го гон ал и зац и и с и с т е м а в е к т о р о в Я ], . . . , ап п ереходи т в си стем у 6 Ь . . . , 6П, т о в ек т о рЬк е с т ь п ер п ен д и к у л я р , опущ енны й из в е к т о р а а * н а ли нейнуюоболочку с и с т е м ы a i , . . .
, a * _ i ( к > 1).4 9 . 4 7 . П у с т ь e i , . . . , e m - ортогон альны й б а зи с линейногоп о д п р о с т р а н с т в а L ев к л и д о в а (у н и тар н о го ) п р о с т р а н с т в а Е , J —п р ои звольн ы й в е к т о р из Е , а д - его о р того н ал ьн ая проекц и я наL. Д о к а з а т ь , ч т о :,ч(/ ie01) 9 ~ / . j\ГГ (е*>е*)2) $ 2t= ..1< |/|2 (н ер а ве н ст во Б е сс е л я );( е *> е * )m |/j ^ \|23 ) р а в е н с т в о И а р сев а л я У ' ,= \/\г сп р а вед л и во дл я( е * ,е * )всех в е к т о р о в / из L т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о гд а L — Е .82Глава4 9 .4 8 .а ,,...,а тX IП .Евклидовыи унитарны е п р о стр ан ствД о к а з а т ь , ч то если дл я с и ст ем ы н ен у л евы х век горец,m |/ г\jjр а в е н с т в о П ар ссв а л я У '1 - - = |/|* выполненод л я в с е х в е к т о р о в / € £ ( a t , .
. . , e m), т о с и ст е м а а | , . . . , а т орто,го н а л ь н а .4 9 . 4 9 . П у с т ь Л ] , . . . , a m - линейно н еза ви си м а я с и с т е м а вект о р о в е в к л и д о в а п р о ст р а н с т в а Е и G = G(au . . . , a m) - ее м а тр и .иа Г р а м а . О б о зн ач и м через G~l = ( 7 ,-*) о б р а т н у ю к G м а т р и ц у .Т о г д а д л я в се х в ек т о р о в / е Е вы п о л н ен о н ер а в е н с т в о£7 . * ( / , « , ) ( « * , / ) < ( / ,/ ) •i,t = lЗ н а к р а в е н с т в а в эт о м н е р а в е н с т в е д о с т и г а е т с я т о г д а и т о л ь к от о г д а , к о г д а / 6 £ ( a i ..........®m)4 9 . 5 0 .
П у с т ь а , , . . . , а т - л и н ей н о н еза в и си м а я с и с т е м а в ек т о р о в е в к л и д о в а п р о с т р а н с т в а Е и G = G ( a , , . . . , a m) - ее м а т р и ц а Г р а м а . О б о зн ач и м через G~x — ( 7 ,* ) о б р а т н у ю кц у . Т о г д а с и с т е м а в ек т о р о в а , , . . .
, am о б р а з у е т б а зи ст о л ь к о т о г д а , ко гд а / 6£G м атриЕ тогда иЕ вы п о л н ен о р а в е н с т в о7 a ( / . a . ) K , / ) = ( / ,/ ) .t,i= l4 9 . 5 1 . Д о к а з а т ь сл ед у ю щ и е с в о й с т в а о п р ед ел и те л я м а т р и цы Г р а м а си стем ы вектор ове в к л и д о в а (у н и т а р н о г о )п р остр ан ства:1 ) detG ( f i , . . . , f m) < |/i|2 •- . . •2 ) р а в е н с т в о d e t G { f u . . . ,/ m) = | /,|2 • •т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а ли бо в е к т о р ы|/m |2 сп р а в ед л и в оо б р а зу ю то р т о г о н а л ь н у ю с и с т е м у , ли бо х о т я бы один и з э т и х в е к т о р о внулевой .4 9 .5 2 .И сп о л ь зу я п р ед ы д у щ у ю з а д а ч у , д о к а з а т ь д л я оп рл и т е л я м а т р и ц ы А = (a,,) € Cnxn сл ед у ю щ и е у т в е р ж д е н и я :1 ) |d e tА\2 < f [ ( £ k j | 2) (н е р а в е н с т в о А д а м а р а );1=1\ l = l/2 ) р а в е н с т в о |d e t Л|2 = Цспр аведли во т о гд а ит о л ь к о т о г д а , к о г д а ли бо А н А я в л я е т с я д и а го н а л ьн о й м а т р и ц ей ,л и б о один и з с то л б ц о в м а т р и ц ы А н ул евой .§50.83задачиМ етр ические4 9 .5 3 .П у с т ь L - линейное подп ростран ство евкл и д о ва простр ан ства Е ,базис в L и G = G ( / i , - ..
,/ m )егом ат р и ц а Г р а м а . П у с т ь для произвольного векто р а / 6 L векто рд я в л я е т с я его ортогон альн ой проекцией на /,, Н ортогональнойс о с т а в л я ю щ е й . Д о к а з а т ь , ч то :j\ m 3 _ d et f J (/i >••ч /m i/)d el G2) Ы ’ = -d et Gdel'GccT0, где с - стр о к а из скал яр н ы хпроизведений4 9 . 5 4 . П у с т ь L j и i 7 - линейные п одп ростран ства евкли д ова(у н и т а р н о го ) п р о с т р а н с т в а Е та к и е, ч то L , С Ej, и п у сть д х ид 7 - о р т о го н а л ь н ы е проекции вектор а / £ Е на L t и L 7, а Л,и /г2 - п ер п ен д и к у л я р ы , опущ енные из векто р а / на L , и L 7с о о т в е т с т в е н н о .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
