Том 2 (1113043), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Нормальный вектор п линейного м н огообрази я Я удовлетв о р я ет условиям:П = Оо + ОЮ1 + ftj0 2 ,n i l__.*=*a 0 + «1 Oi( п ,а И = 0 ,( n ,a a) = 0П =+«703 ,<=>n = ao + Ofiaj + Q ja j,{« I (e i i ) + o i ( a i , a i ) = ~ ( a o , a i 1,o i ( a j , a j ) + « 1( 07, 02) = - ( a o . a j ) .Из последней си стем ы следует, ч то « i = - 1, «2 = 1, и сл ед о ва т ел ьн о ,п = ( - 1 ,0 ,0 ,3 ) - ( 1 ,1 ,1 ,1 ) + ( 1 ,0 ,2 ,- 1 ) = ( - 1 ,- 1 ,1 ,1 ) . .П р и м е р 5 1 .2 .заданного системойНайти нормальный векто р лин ей н ого м н о го обр ази я Я ,/ * 1 + 1 г + 2 г 3 + х< = 3 ,\ r i — 2 x j — 13 + г< = —3.С калярн ое произведение взадано ст а н д а р т н ы м образом .Р е ш е н и е . Направляющ им п о дп р остр ан ством L лин ей н ого м н огообразия Я = а о + £ сл у ж и т м н ож ество решений приведенной однородной си стем ыГ *1 + х 2 + 213 + хч = 0,\ ц - 2хз - хз + х А = 0 ,ф ундаментальная си стем а решенийе, = ( 1, 0, 0, - 1), ез = ( 1, 1, - 1, 0 )которой, очевидно, образует базис в L.С огласно определению нормального векто р а п м н огообр ази я Я , он ортогонален направляю щ ему подпространству L или, ч т о т о ж е с а м о е , егобазису e i, €7.
Т ем сам ы м , координаты ( п , х з , х з , х<) н о р м ал ьн о го векторап удовлетворяю т системеxi + хз + 2 х 3 + цX) - 2 х з - хз + х«( п ,е ,)( п ,е г )====3,—3,0,0X! +Х\х з + 2 х з + х< = 3,— 2X7 —xi XI +хз -Хз +Xiхзх« = 0,= 0.= — 3,О тсю д а п = ( 0 , 1 ,1 , 0 ) . аТ е о р е м а 5 1 .3 . Пусть Я = xq + L - л и н е й н о е аф ф и н н ое м н о го об р а з и е в евклидовом ('унитарном) п р о с т р а н с т в е . Т о г д аP if,H ) = p ( f - x 0,L ).f 5 1 _Л и н е й н ы е аффинные многообразия95П р и м е р 5 1 .3 .Найти расстояние от многочлена / (I) = —4 + 31 13 + <’ до линейного многообразна Н всех многочленов степени не выше 3,у д о вл етво р я ю щ и х условиям / (1 ) = I, / '(1 ) = 2. Скалярное произведение вМэ за д а н о с т а н д а р т н ы м образом.Р е ш е н и е .
М ногочлен /(1) = ао + a j 1 + о»1* + аэ13 принадлежит многообрази ю // т о г д а и т о л ь к о то гд а , когдаГ во + в) + a j + a j = 1,\в| + 2аз + 3 a j = 2.В е к т о р о м с д в и г а хо многообразия И является многочлен, коэффициентыкоторого у д о в л е т в о р я ю т этой системе например, ao = - 1 , Д| = 2, а3 = о5 =О, т .е . м н огочл ен r o ( t ) = —1 + 21.Р а с с т о я н и е о т многочлена f ( t ) до рассматриваемого линейного многообразия // р авн о рассто ян и ю о т многочлена / (l) - xo(t) = - 3 + I - I1 + I3до н а п р а в л я ю щ е г о п о дп р о стр ан ства L многообразия )/, которое в данномсл у ч а е о п и с ы в а е т с я однородной системойГ во + ei + вз + аз = О,\a j + 2аэ + Заз = 0.О т с ю д а с л е д у е т , ч то ортогональное дополнение L 1 является линейнойоболочкой, н а т я н у т о й на многочлены, коэффициенты которых совпадают скоэф ф иц и ен там и однородной си стем ы , описывающей L, т.е.
на многочленыe j ( ( ) = 1 + t + t3 -f t3, « з ( 0 = l + 2t3 + 3t3. Поэтому разложение многочлена/ (1) - xo(< ) на о р того н ал ьн у ю проекцию у(1) и перпендикуляр h(t) будеми с к а т ь в видеf ( t ) - x 0 ( t ) = g ( t ) + h( t )<=* /(i) - х0(0 = j(0 + скгезСО+ а2«а(0-Из п о сл ед н его соотн ош ен и я следует/ (/ — * о , e j ) = on f e i , еИ + a i ( e 2 , e ! ) ,\ ( / — хо, ег) = « 1 ( e i.
e i) + а 2 (ез,ез).Г 4 a ( + баз = - 2 ,\ б а 1 + 14аз = 2.__. a t = - 2 ,аз = 1.С л е д о в а т е л ь н о , Л(<) = - 2 в ] (<) + e j (<) = - 2 - 1 - И 3. Отсю да p ( f , Н) =p ( f - хо , L ) = |Л| = у Д . аТ е о р е м а 5 1 . 4 . Пусть Hi = х\ + h u Hi - ц + L i - линейныеа ф ф ин ны е м н о г о о б р а з и я о е в к л и д овом (унитарном^ пространстве. Тогдар{П\, H i ) = р(х 1 - хз, £ ) + Li).Пример5 1 .4 .Н айти расстояние между линейным многообразиемHi в се х ч е т н ы х м н огоч л ен ов степени не выше 3, удовлетворяющих условию/ ( ] ) = 1, и л и н ей н ы м многообразием Hi всех нечетных многочленов степенине в ы ш е 3.
С к а л я р н о е произведение в М] задано стандартным образом.Р е ш е н и е. Л и н ей н ое многообразие Hi имеет вектор сдвига x\{t) = 1 ин а п р а в л я ю щ ее п о д п р о с т р а н с т в о L i , состоящ ее из всех четных многочленов,о б р а щ а ю щ и х ся в н уль при t = 1. Т аки м образом, L\ одномерно и натянутона м н огоч лен a i (<) = 1 — t3.Л и н ей н о е м н о го о б р а зи е H i является линейным подпространством, поэтом у его в е к т о р с д в и г а x i ( t ) можно выбрать нулевым, а направляющееп о д п р о с т р а н с т в о L д ву м ер н о и натянуто на многочлены b\{t) = t, bi(t) = <3.Р а с с т о я н и е м е ж д у Н i и H i согласно теореме 51.4 равно расстоянию отвекто р а z \ ( t) — x i ( t ) = x j ( f ) до подпространства L\ + Li = £ (a i,A t,fo )Н ай дем о р т о г о н а л ь н о е дополнение подпространства Li + Li- Многочлен/(<) = a 0 + a i / + a i t 3 + a i t 3 принадлеж ит ( L\ + L i ) 1 тогда и только тогда,96/ лава Л'Ш.Еьклпдопыи унитарны е п р о стр ан ствкогдаво - аз = 0,01 = аз = 0.Следоя&тгльно, тш п ростран сгоо {/,) + i j ) J" одномерно и н атк н уто на мно.гочлен e ft) = 1 +и разложениеzi(l) = g(t) + A(l),я(1) 6 Li + Li, МО 1 (/*i -f Li).будем иск ать я пидс r i ( l ) = g[t) + a e ( l) .Имеем ( i i , e ) = а ( е ,е ) , т .е .
a = 1/2. С ледовательно,МО =(I + t 1)/2 кp ( U i,H i) = Щ = 1/\/2. •Углом м еж д у линсЛнмяи м ногообразиям и н азы вается угол м еж ду н<налравляюш нмн подпространствамн.З А Д А Ч И5 1 .1 . Д оказать, ч то множ ество всех векто р о в евклидова(унитарного) пространства Е ,удовлетворяю щ и х условию(п , х ) = 6, где п - фиксированный ненулевой векто р , 6 - заданноечисло, е с т ь гиперплоскость этого п р о стр ан ства.
В каком случаеэт а гиперплоскость является п одпростран ством ?5 1 .2 . П оказать, ч то гиперплоскость, зад ан н ую условием( п ,т ) = 6, можно описать и условием ( п , х - х 0 ) = 0 , где хо произвольный вектор этой гиперплоскости.5 1 .3 . Д оказать, что всякую ги перп лоскость евкли д ова простр а н ств а можно за д а т ь условием ( п , х ) = Ь.5 1 .4 . Д оказать, что если условия (П | ,х) = 6j и (п а, х ) = Ь}определяют одну и ту же гиперплоскость, то n t = а п 2, b t = аЬгдля некоторого ненулевого числа а .5 1 .5 . В пространстве многочленов Л/„ со ста н д а р тн ы м ск а лярным произведением для гиперплоскости, заданной условиемД с ) = d , найти представление (п ,/ ) = 6. У к а з а т ь с о о т в е т с т в у ющий многочлен п(<).5 1 .6 . Всякую ли гиперплоскость п р о стр ан ства многочленовЛ/п можно зад ать условием вида / (с ) = d?5 1 .7 . П усть <! £ К произвольно. Д о к а за ть, ч то лю бую гиперплоскость в пространстве многочленов Л/„ можно з а д а т ь условиемаоД М +■+ <*„/<">(<,) = сс соответствую щ имобразомподобранными коэффициентами€ R5 1 .8 .
П усть < о * »• •• » произвольные различны е междусобой действительные числа. Д о казать, что лю бую i иперплос-97кость в пространстве многочленов М„ можно задать условиемс*о/(М + O i/ (ti) + •••+ a nf[tn) - собразом подобранными коэффициентамис соответствую щ имOotQi>•••1wn>с £_______5 1 .9 .П усть а к, к = 0 ,п + 1 - произвольные действительныечисла, удовлетворяющие условию а0 < <ч < . .
. < а„ < а„+|. Доказать, что любую гиперплоскость п пространстве многочленов\{п можно за д а т ь условиемс соответствую щ имобразомподобранными коэффициентамио о . а ь . •.,с £5 1 .1 0 . Д о к а за ть, что в каждом ортонормированием базисепространства всякая гиперплоскость может быть описана уравнением первой степениA i Q i + Ajf»2 + .
. . + /lna n = 6относительно координат в ] , а 2, . . . , а„ векторов этой гиперплоскости.5 1 .1 1 . Д о к а за ть, что если пересечение гиперплоскостей пмерного евклидова (унитарного) пространства( щ , х ) - Ь и (nt ,x ) = bJ t ... , (nk,x) = bkнепусто, то оно представляет собой линейное многообразие размерности п - г , где г - ранг системы векторов пи . .
. , п к.5 1 .1 2 . Найти нормальный вектор для гиперплоскости, заданной условием ( п , х ) = Ь.5 1 .1 3 .П усть п - нормальный вектор многообразия Я (несовпадающего со всем пространством). Доказать, что многообразие // содержится в гиперплоскости (п,х) = (п,п).5 1 .1 4 . В п ространстве многочленов Мп со стандартным скалярным произведением определить нормальный вектор для многообразия, заданного условиями:а ) / (0 ) = 1, / ( 1) = 1;б ) / '( 0) = 1, / '( 1) = 1;в) / ( 1) = 1 , / '( 1 ) = 1;r ) / ( o ) + /'( o ) = i , / ( i ) = o.5 1 .1 5 .Подпространство L натянуто на линейно независимую систему векторов a | , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
