Том 2 (1113043), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

a , = ( - 2 , 0 , 1 , 1 ) , a , = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 ) , a3 = (1 ,1 , - 1 , - 1 ) ,/ = ( 1 ,2 ,0 ,- 1 ) .5 0 .3 2 . a , = ( 1 ,1 ,1 ,1 ) , e 2 = ( 5 ,1 ,1 ,3 ) , e s = ( 3 , - 1 , 1 , 0 ) ,/ = ( 5 ,4 ,- 3 .- 2 ) .В п р о с т р а н с т в е R* со с т а н д а р т н ы м ск а л я р н ы м п рои зведен и ­ем н а й ти р ассто я н и е о т векто р а / до п о д п р о с т р а н с т в а А, за д а н н ого однородной си стем ой уравнений.5 0 . 3 3 .

/ = ( 1 , - 2 , 3 , - 4 ) , А : ( х , + х 2 + х 3 + х 4 = 0.50.!2 Xji i -f-+X, +х3 -х 2 + Зх3х4 = 0 ,=0,4 ii2х 1 + х 2 + х 3 + х 4 = 0,5 0 . 3 6 . / = ( 0 , 1 , - 2 , 3 ) , А : ( бХх 2 +янх 3и я— х5 0 . 3 7 . Д о к а з а т ь , ч то к в а д р а т р а сстоо 4т =в е0.к т о р а / е в ­к л и д о в а п р о с т р а н с т в а до п о д п р о стр а н ств а А, н а т я н у т о г о на ли­нейно н езави си м ую с и стем у в ек т о р о в / , , . .

. , / * , равен о тн о ш е­нию оп редели телей Г р а м а си стем /н •••»/*»/ и / i , . . . , / * .5 0 . 3 8 . П у с т ь А - линейное п о д п р о стр а н ств о и / - н ек о то ­ры й в е к т о р ев к л и д о в а (у н и тар н о го ) п р о с т р а н с т в а . Д о к а з а т ь ,ч т о н аи м ен ьш ее значение величины |/ — </| среди всех век то р о вg G А д о ст и г а е т с я на единственном в е к т о р е , я в л я ю щ ем ся ор­то го н ал ьн о й проекцией векто р а / на п о д п р о с тр а н с тв о А, и онор авн о дли н е перпендикуляра, опуш енного из / на А.5 0 . 3 9 . В п р о ст р а н ств е многочленов Л/„ ск а л я р н о е п рои звед е­ние введен о ста н д а р тн ы м образом.

Д л я за д а н н ы х м н огочлен ов:$50.Метрические задачи91М О - 3 t2 + 2 1 + 1 ,/г(1) = - f 3 + 2t + 1,M O = 3 ts + 2< -(- 5,;,(< ) = 3I3 + 21 + 2а) найти многочлен /0(t) степени не выше 2, равноудаленныйот / ,(<), М О . М О . М О ;б) о п р ед ели ть расстояние между /0(1) и каждым из много­членов / ,(г ). М О . М О . М О ;в ) п о к а за т ь , ч то всякий многочлен видаМ О + ° з1 3 + . . . + Оп1правноудален о т / ,(« ), /2(«), /я(<), /4(«), и определить расстояниеот него до эт и х многочленов.5 0 . 4 0 .

Д о к а з а т ь , ч то в евклидовом пространстве Е для лю­бого п о д п р о стр а н ств а L и любого вектора х £ Е выполнено ра­венствор{ х + y , L ) = р(х, /,),где уп рои звольн ы й вектор подпространства L.5 0 . 4 1 . П од п р о стр ан ство L является ортогональной суммойп одп р остр ан стви /,2. Д о казать, что если вектор х ортогона­лен п о д п р о стр ан ству L u тор ( х , Ь ) = р ( х , Ь 2).5 0 . 4 2 . П у с т ь а фиксированный вектор евклидова простран­с т в а , L - п о д п р о стр а н ство всех векторов, ортогональных а.

До­к а за ть, ч т о дл я произвольного вектора х расстояние до подпро­ст р а н с т в а L мож но вы ч и сл и ть по формуле,п _ К1 ' 0)!р{хЛ )~ ~ й ~ 5 0 . 4 3 . Н п р о ст р а н ств е многочленов М„ скалярное произве­дение введено стан д ар тн ы м образом. Найти расстояние междуподпрост р ан ств о м M „ - i иа) многочленом t" ;б) многочленом tn + a n_i<'1~1 + . . .

+ аП + Qo!в) многочленом а пГ -(- й п_П п-1 + . ••++ °о5 0 . 4 4 . И п р о ст р а н ств е многочленов Мп со стандартным ска­лярным произведением рассматривается подпространство L всехмногочленов, удовлетворяю щ и х условию /(1) = 0. Доказать, чторасстояние о т произвольного многочлена g(t) до подпростран­ства L равно, nffO)',( 9 ' 1 ) = ; 7 П т92Г л ав а X III.Евклидовыи у н и т а р н ы е пространства5 0 . 4 5 . П о к а з а т ь , ч т о угол м еж д у лю бы м и ли нейны ми под.п р о с т р а н с т в а м и в с е г д а определен и равен нулю т о г д а и тол ькот о г д а , к о г д а одн о из э т и х п о д п р о стр а н ств со д е р ж и тся в другом.5 0 .4 6 .Н ай ти у го л м еж д у п о д п р о стр а н ств а м и в е к т о р о в *е в к л и д о в а п р о с т р а н с т в а , уд о вл етво р я ю щ и м и у сл о в и ю ( х , а , ) = ои ( х , а 2) = 0 с о о т в е т с т в е н н о , гд е а , , а а - за д а н н ы е н енулевы евекторы .5 0 . 4 7 . П о д п р о с т р а н с т в а L , и L 7 я в л я ю т с я л и н ей н ы м и обо­л о ч к а м и с и с т е м в е к т о р о в , за д а н н ы х в н екотор ом ортонором иров а н н о м б а з и с е е в к л и д о в а п р о с т р а н с т в а к о о р д и н а тн ы м и с т о л б ц а ­м и а , , .

. . , а * и 6 i , . . . , 6 (. Н ай ти у го л м е ж д у п о д п р о стр а н ств а м и£ ) и Z .}, е с л и :1 )а , = ( 0 , 3 , - 1 , 0 ) т , a j = ( 1 , - 2 , 1 , 1 )т ,6 , = ( 0 , 0 , 1 , - 3 ) т , Ь3 = ( 1 , 1 , 0 , 1)т ;2 ) а , = ( 1 , 1 , 2 , 0 ) т , а? = ( 2 , 0 , —1 , - 1 )т ,Ьх = ( 1 , 1 , 0 , - 2 ) т , 6 2 = ( 1 , 1 , - 3 , 1)т ;3 )a , = ( 1 , 2 , 0 , 1 )т , а 2 = ( 0 , 1 , 1 , 1 )т ,6 , = ( 1 , 0 , 1 , 0 ) т , Ь7 = ( 1 , 1 , 2 , 0 ) т , Ь3 = ( 1 , 0 , 1 , - 1 ) ;4) а , = (1,1,1,1)т,= ( 1 ,0 ,1 ,2 ) т , в 3 = ( 0 , 1 ,0 , - 1 ) т ,6 , = ( 1 , 1 , 0 , 0 ) т , Ь7 = ( 1 , 0 , 0 , 1 )т , 63 = ( 0 , 1 , 1 , 0 ) .5 0 .4 8 .В п р о с т р а н с т в е М „ р а с с м а т р и в а ю т с я одн ом ерн ы еп о д п р о с т р а н с т в а L 0,L nt н а т я н у т ы е н а м н о го ч л ен ы 1,/п с о о т в е т с т в е н н о . Д л я к а ж д о г о k = 1, п н а й ти у г о л м еж дуп о д п р о с т р а н с т в а м и L t _ , и L k , есл и :а ) с к а л я р н о е п р о и зв ед ен и е в М„ в в е д е н о с т а н д а р т н ы м о б р а ­зо м ;б ) с к а л я р н о е п р о и зв ед ен и е в М п в в е д е н о р а в е н с т в о м ( 4 7 .

9 ) , вк о т о р о м f , = 0 , t 7 = 1.5 0 . 4 9 . В п р о с т р а н с т в е Л/„ со с т а н д а р т н ы м с к а л я р н ы м про­и зв ед ен и ем н ай ти угол м еж д у п о д п р о стр а н ств а м и :а ) L x = { / ( 0 |/ ( 1 ) = 0 ) и L 3 = { / ( 0 |/ '( 1 ) = 0 } ;б ) L 1 = { / ( 0 |/ ( 1 ) = 0 } и 1 7 = { / ( 0 |/ ( 2 ) = 0 ) ;в ) Z-, = { л о I Л 0 ) = Л 1 ) = 0 } и l 2 = { f { t ) I / '( 0 ) = 0 } .5 0 . 5 0 . Д о к а з а т ь , ч т о о б ъ е м n -м е р н о го п а р а л л е л е п и п е д а , н а­т я н у т о г о н а л и н ей н о н е за в и с и м ы е в е к т о р ы a , , . .

. , a n ,м ож етб ы т ь в ы ч и с л е н по ф о р м у л е __________________V ' ' ( a , , . . . , a n) = v/det G ( a , , . . . , a „ ) = |det Л|,где G ( a , , . . . , a n) -м атрица Гр ам а векторов a , , . . . , a „ ,а Л -I$51.Линейные а ф ф и н н ы е многообразия93м атри ц а, с т р о к а м и которой яв л я ю тся коор ди н аты р а с с м а т р и ­ваем ы х в е к т о р о в н как о м -н и бу дь ортонорм ированном б а зи с е пмерного п о д п р о с т р а н с т в а , н а тя н у то го на векто р ы6 0 .5 1 .В п р о с т р а н с т в е многочленов М„ со ск а л я р н ы м про­изведением ('1 7 .9 ) с ti = - 1 и (а = 1, н ай ти :а ) о б ъ ем п а р а л л ел е п и п ед а , н а тя н у то го на м н огочлен ы 1, I,|Э#п.* ♦* * *1 1 *б ) н аи м ен ьш ее зн ач ен и е и н тегр а л аf y- mutна м н о ж е с т в е в с е х м н огоч л ен ов / (() степен и не вы ш е п — 1.5 0 .

5 2 . Д о к а з а т ь , ч т о о б ъ ем n-м ерн ого п а р а л л ел еп и п ед а неп р евосход и т п р о и звед ен и я длин его р ебер, вы х о д я ш и х из однойверш ины :V ( a u . . . , a n) < П К | ,«=1и равен э т о м у п р о и звед ен и ю т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а этиребра п оп ар н о о р т о г о н а л ь н ы , т .е . п ар ал л ел еп и п ед п р я м о у го л ь ­ный.5 0 . 5 3 . Д о к а з а т ь , ч т о о б ъ ем п ар ал л ел еп и п ед а у д о в л е т в о р я е тн ер а в ен ств у :V ( a 1, . . . , a t , b 1, . .

. , b () < V ( a u . . . , a k) V ( b u . . . , b t),причем зн а к р а в е н с т в а в нем и м еет м ест о т о г д а и т о л ь к о т о ­гд а, к о г д а л и н ей н ы е п о д п р о с т р а н с т в а , н а т я н у т ы е на в е к т о р ыa j , . . . , a k и I » !,...,b | , ор тогон альн ы .5 0 . 5 4 .

Д о к а з а т ь , ч т о есл и а ь . . . , а „ - н орм и рован н ая с и с т е ­ма в е к т о р о в и K ( a j , . . . , a „ ) = 1, т о э т а с и ст е м а о р то н о р м и р о ва на.5 0 . 5 5 . Д о к а з а т ь , ч т о среди в се х п а р ал л ел еп и п ед о в, н а т я н у ­т ы х на н о р м и р о в а н н у ю с и с т е м у , п араллелепи п ед , н а т я н у т ы й нао р тон о р м и р о ва н н у ю с и с т е м у , и м еет м а к си м а л ьн ы й о б ъ е м .§51.Линейные аффинные многообразияв евклидовом (унитарном) пространствеП у с ть // = 1 0 + L - линейн ое мн огообразие в евкл и д овом (у н и т а р н о м )п р о ст р а н ст в е . Н е к т о р п 6 //, ор то го н а л ь н ы й L , н а зы в а е т с я н орм ал ьн ы мв е к т о р о м л и н е й н о го м н о г о о б р а з и я И .9-1Гл а в а Л’ Ш .£ и кл н л о п ы и унитарны е простран стщТ е о р е м а 5 1 .1 .

Д ля л ю б о г о ли н ей н о г о м н о г о о б р а з и я о е в к л и д о в о *(унитарном) п р о с т р а н с т в е с у щ е с т в у е т , и п р и т о м е д и н с т в е н н ы й , нор.мальный в е к т о р .Т е о р е м а 5 1 .2 . НармальныЛ в е к т о р линейного м н о г о о б р а з и я со.в п а д а е т г перпендикуляром, опущенным из л ю б о г о в е к т о р а л и н е й н о г о мно.вообрази в на направляющее п о д п р о с т р а н с т в о .С л е д с т в и е . Среди вс ех в е к т о р о в линейного м н о г о о б р а з и я нор маль.ный в е к т о р и м е е т наименьшую длину.П р и м е р 5 1 .1 ,Найти нормальный в ек то р л и н ей н ого многообразиеa L н атя н у то на в ек т о р ы a t = (1 , 1 , 1 , 1),Н = оо + 1 , если ао = ( - 1 , 0 , 0 , 3 ) ,0} = ( 1 , 0 , 2 , - 1 ) . Скалярное произведение в К 4 за д а н о с т а н д а р т н ы м обра­зом.Р е ш е н и е .

Характеристики

Список файлов книги