Том 2 (1113043), страница 24
Текст из файла (страница 24)
П о к а з а т ь , ч то отображение /(() н* f ( t 7) определяетлинейное ото б р а ж ен и е пространства Мп в пространство многочленов М 2п■5 2 .1 0 . П о к а з а т ь , ч то отображ ение/(/) н-* / / (f)rff при любом а С К о п р ед ел я ет линейное отображение пространства многочленов М„ в п р о стр ан ство Л/п+1.5 2 .1 1 .Н ы ясн и ть, какие из следующих отображений простран ства м ат р и ц Жп х т являю тся линейными операторами:а) А Х = Х т;1 0 8 Г л а я а А 7 Г .
Линейные операторы н линейных п ространства»б)ИД' = В А', где В - заданная квадратная матрица ппорядка;и) «4А’ = В Х С , где В, С - заданные квадратные матрицып-го и т-го порядков соответственно;г) АХ = ЛХ + Х /?, где B t С - заданные квадратные матрицып-го и m-ro порядков соответственно;д) АХ = А’ь где ,Yj получена из матрицы А' перестановкойпервого и последнего столбцов.52.12. Выяснить, какие из следующих отображений являются линейными операторами, действующими из пространстваквадратных матриц Rn*n в подходящее линейное пространствоV' (в каждом случае указать это пространство V):а) АХ = ±(.Y + А'т );б) АХ = |(А - А'г );в) АХ = tr.Y;г) .4А' = 1г(ВХ), где В - заданная квадратная матрица п-гопорядка;д) АХ = detA;е) АХ = del(BX), где В - заданная квадратная матрица п-гопорядка;ж) АХ = rg.Y;з) .4.Y = ХС, где С - заданная матрица размера л х т ;и) АХ = [А', В] - коммутатор матрицы .Y и заданной квадратной матрицы В порядка п;к) АХ = А' ® В - кронекерово произведение матрицы X изаданной матрицы В размера m х к.52.13.
Доказать линейность отображения А и выяснить,является ли оно сюръективным, инъективным или биективным,если:^а) А - нулевое отображение;б) А тождественное отображение;в) А сводится к умножению вектора на фиксированное числоиз поля.52.14. Пусть / i,...,/ t - линейно независимые векторы линейного пространства V, а 0 Ь .
. . , 0 * - некоторые векторы пространства И'. Доказать, что существует линейный операторА € £ ( l ',IV) такой, что Afc = <7, для всех i = l,fc. В какомслучае оператор А единствен?52.15. Пусть / i,...,/ * - векторы линейного пространстваV, a <7i , . . . , <7* - векторы пространства W. Найти необходимыеЛинейный оператор и его матрица109„ достаточные условия, при которых:а) сущ ествует линейный оператор А € C {V ,W ) такой, чтоAf, - 9> иля вс‘:* « = T j t ;б) такой линейный оператор А единствен.6 2 .1 6 . П усть Lлинейное подпространство пространстваV', А - произвольный линейный оператор, действующий из /, внекоторое линейное пространство W .1. Д ок азать, что найдется оператор из £ (V , W ), действиекоторого на подпространстве L совпадает с оператором А.2.
П оказать, что если поле Р бесконечно, то таких линейныхоператоров сущ ествует бесконечно много.5 2 .1 7 . В пространстве многочленов А/„ построить два различных оператора, совпадающих на подпространстве Л/„_! соператором дифференцирования.5 2 .1 8 . П усть пространство V есть прямая сумма подпространств Л|, . . . , />р. Показать, что действие линейного оператора А на любой вектор пространства определяется единственнымобразом, если известно действие этого оператора на каждом изподпространств L \, .
. . , Lp.5 2 .1 9 . Выяснить, какие из следующих отображений пространства Уз являются линейными формами:а) / ( х ) = о , где а € й задано;б) / ( х ) = ( х , а ) , где а - заданный вектор;в) / ( х ) = cos( х7~а), где а - заданный вектор;г) / ( х ) = ( х , х ) ;д) / ( х ) = ( а , х , Ь ) , где а , b - заданные векторы;е) / ( х ) = ( х , [ а , х ]), где азаданный вектор.5 2 .2 0 . В пространстве V фиксирован базис et l . . . , e n.
Доказать, что отображение, ставящее в соответствие каждому вектору х пространства V его i-ю координату в этом базисе, являетсялинейной формой.5 2 .2 1 . Пусть а £ 1 - некоторое фиксированное число. Показать, что отображение /(< ) и-* / ( а ) задает в пространстве многочленов Мп линейную форму. Верно ли обратное: всякую линейную форму в пространстве М„ можно задать таким образомпри подходящем выборе числа а ?5 2 .2 2 . Пусть а, Ь 6 К - некоторые фиксированные числа. Пок а з а т ь , ч т о о т о б р а ж е н и е / (< ) >-*/(/) di з а д а е т в п р о с т р а н с т в е110Глапа X I V .
Линейные операторы в лин ейны х п р о стр а н ств а *многочленов Л/„ линейную форму. Верно ли обратное: всякуюлинейную форму в пространстве Л/„ можно за д а т ь таки м обра.зом при подходящем выборе чисел а и 6 ?5 2 .2 3 .М ож ет ли линейная форма на комплексном линейп ростран стве принимать только д ей стви тельны е значения?О ператор А задан твоим действием на произвольный векторх — ( * i , х 3, х 3) арифметического п ростран ства I 3 .
П остроитьматрицу этого оператора: а) в естественном базисе e j , е 3, е3; б) вбазисе е 1 + е3, е 3 + с3, е| + е3 .5 2 .2 4 . Ат = ( х 3 + х 3, 2i| + х3, 3xi - х 3 + х 3).5 2 .2 5 . А х = ( х , - х 3 4 - 1 3, х 3, х г).5 2 .2 6 . А х = (x i - х 3, х 3 - х 3, х 3 - х , ) .О ператор А , действующий в п р о стр ан стве I 3, переводит векторы / ь /г, /з соответствен н о в векторы д и д 3, д 3. П остр ои ть матрицу этого оператора: а ) в естествен ном базисе п р о стр ан стваК3, б) в базисе, /2, /3.5 2 .
2 7 . /, = ( 2 , 3 , 5 ) , J 3 = ( 0 , 1 ,2 ) , /3 = ( 1 , 0 , 0 ) ,Si5 2 . 2 8 . /,S.5 2 . 2 9 . /,ffi= 0 , 1 , 1 ) . Л = ( 1 , 1 , - 1 ) , S3 = ( 2 , 1 ,2 ) .= ( 2 , 0 , 3 ) , / , = ( 4 , 1 , 5 ) , /а = ( 3 , 1 , 2 ) ,= ( 1 ,2 ,- 1 ) ,= ( 4 , 5 , - 2 ) , S3 = ( 1 , - 1 , 1 ) .= ( 5 , 3 , 1 ) , /г = ( 1 , - 3 , - 2 ) , /э = ( 1 , 2 , 1 ) ,= ( - 2 , 1 , 0 ) , д 3 = ( - 1 , 3 , 0 ) , 5з = ( - 2 , - 3 , 0 ) .Оператор А , действующ ий из п р о ст р а н ств а К " в п р о стр ан с т в о 1 т , переводит линейно независимые векто р ы,...,6 1"со о тветствен н о в векторы S i, •••,?„ 6 Km- П о ст р о и ть матрицуэтого оператора в паре естествен н ы х базисов п р о ст р а н ств 1 " и-т5 2 .3 0 .
п = 2, 771 = 3,/. = ( 2 , - 1 ) , /г = ( 1 , - 1 ) ,S. = ( - 4 , 2 , - 1 ) , s= = ( - 1 , 1 , - 1 ) 5 2 . 3 1 . п = 3. т = 2,/. = ( 0 , 1 ,1 ) , /2 = ( 1 , 1 ,1 ) , /3 = ( 1 , 0 ,1 ) ,</> = (3,-1), s» = (2,0), ss = (0,1).5 2 . 3 2 . n = 2, т = 5,/. = ( 2 , 1 ) , Ь = ( 1 ,1 ) ,Si = ( - 2 , - 2 , 2 , 3 , 0 ) , д 3 = ( 5 , - 1 , - 2 , 0 , 3 ) .5 2 .3 3 .
п = 4 , т = 2,/, = ( 4 , 3 , - 1 , 7 ) , /2 = ( 5 , 2 , 3 , 7 ) , /3 = ( 9 , 7 , 2 , 6 ) ,tj.S2.Л инейны й о п е р а т о р и его матрицаU1/4 — ( —3 2 2 1 )$> = ( 0 , 8 ) , У = ,(Я 5 ,3 3 ),д 3 = (19119))!,4 = (-2 ,0 ).Б 2 .3 4 . п = 3, m = 4,/1 = ( 1 , 1 , 2 ) , / , = (1 ,2 ,3 ) , / 3 = (1 ,2 ,4 ),0. = ( - 4 , 2 , 1 4 , - 6 ) , <73 = ( - 2 ,1 , 7 , - 3 ) , да = ( - 6,3 ,2 1 ,-9 ).5 2 .3 5 . п = 4, m = 3,/1 = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , /а = ( 1 , 1 . - 1 . - 1 ) , /з = ( 1 , - М , - 1 ) ,А = ( - 1 ,1 ,1 ,- 1 ) ,«7, = ( 0 , 8 , 0 ) , <72 = ( —2 , 8 ,4 ) , з , = ( 2 ,2 4 ,- 4 ) , д< = ( 4 ,8 , - 8).О п е р а т о р А-, д е й с т в у ю щ и й в комплексном арифметическомп р о с т р а н с т в е С 2 , п е р е в о д и т в ек т о р ы / ь/ а соответственно в вектор ы 9 i , <7j . П о с т р о и т ь м а т р и ц у это го оператора в естественномб а зи с е п р о с т р а н с т в а С 2.5 2 .3 6 .
/ , = (i, 1), /2 = (l.t).ff i = ( « - 1 . »+1)>0з = (»'+!.»-!)■5 2 .3 7 . / , = ( 1 , - 0 , / 2 = ( - » , ! ) , <7i = (0,0), $а = (2 ,2i).5 2 .3 8 . / , = (1 , *)» /а = (0 ,1 ), 0, = (*,~ 1), 0а = (1,20О п е р а т о р А д е й с т в у е т в п р о стр а н стве многочленов А/„. Пос т р о и т ь м а т р и ц у э т о г о о п ер а то р а в естественном базисе этогоп р о стр ан ства.5 2 .3 9 . А = V - о п е р а т о р дифференцирования.5 2 .4 0 .
А = V 2 - о п е р а т о р двукратн ого дифференцирования.5 2 .4 1 . A f ( t ) =- разностный оператор ( h -пф и к с и р о в а н н о е п о л о ж и т е л ь н о е число).5 2 .4 2 . A f ( t ) = j j ‘ Ц 0 Ц .5 2 .4 3 . A f ( t ) = — — - - ^си р ован н ое ч и сл о .5 2 .4 4 .^ -------- - , где a - произвольное фик^Р а с с м а т р и в а я оп ер ато р дифференцирования V како п е р а т о р , д е й с т в у ю щ и й и з М„ в Л/„_ь построить его матрицуи I, t , t 2, .
. . , Г ~ ‘. В этой же парев паре б а з и с о в 1б а з и с о в н а й т и м а т р и ц у о п ер а то р а интегрированияAf(t) = f № %к ак о п е р а т о р а и з Л/„_, в М„.5 2 .4 5 .стр ан ств LiJoП р о с т р а н с т в о V явл я ется прямой суммой подпрои Z,2 . Б а з и с e u . . . , e n выбран таким образом, что1 1 2 Г л а в а X IV . Линейные операторы в линейных пространства.*векторы e i , .. ., e t образуют базис подпространств L lt а некто,ры et+i , .
. . , c n - базис подпространства Ла. В базисе ct, . . <>eсоставить:а) матрицу оператора проектирования на L\ параллельно Ltб) матрицу оператора проектирования на L3 параллельнов) матрицу оператора отражения относительно L\ парал.лельно /vj.52.46. Пусть в пространстве V3 задана прямоугольная де.картова система координат {О; е ь еа, е3}, Для линейного оператора А, действующего по правилу:А х = [ х, а],где а = {o j,a j,a 3} - фиксированный ненулевой вектор, найтиматрицу в базисе elt es, е3.52.47. Пусть а = { а ^ ^ а з } , п = {п^т^Пз} - некоторыеединичные векторы геометрического пространства К3, координаты которых заданы в прямоугольной декартовой системе координат {О; e j, е2> е3}.
Найти матрицу линейного оператора Ав базисе е 1; е3) е3, если А осуществляет:а) ортогональное проектирование на плоскость ( г, п) = 0 ;б) ортогональное проектирование на прямую [г, а] = 0 ;в) проектирование на плоскость ( г, п) = 0 параллельно вектору а (( а, п) ф 0 );г) проектирование на прямую [г, а] = 0 параллельно плоскости ( г, п) = 0 ( ( а, п) ф 0 );д) ортогональное отражение относительно плоскости ( г, п) =0;е) ортогональное отражение относительно прямой [ г, а] = 0 ;ж) отражение относительно плоскости ( г, п) = 0 параллельно вектору а ( ( а, п) ф 0 );з) отражение относительно прямой [г, а] = 0 параллельноплоскости ( г, п) = 0 ( ( а, п) ф 0 ).52.48. Пусть в геометрическом пространстве V3 задана прямоугольная декартова система координат {О; е 1( е2, е3}. В базисе в|, е2> е 3 найти матрицу оператора V ортогонального проектирования на подпространство L , если А является:а) прямой х = г —0 ;б) прямой х = у = г\в) плоскостью х + у + г = 0 ;Линейный оператор и его матрица0 г)ИЗп л о с к о с т ь ю , н а т я н у т о й на в е к т о р ы а = { - 1 , 1 , — 1 } иЬ ={I, - 3 ,2 } .5 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
