Том 2 (1113043), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Дан вектор а = { 1 , 2 , 3 } . Найти матрицу линейногооператора 4 х = ( х , а ) а геометрического пространства V3:а) в ортонормированием базисе e i , e 3, е 3, в котором даныкоординаты всех векторов;б) в базисе Ь, = { 1 , 0 , 1 } , Ь2 = { 2 , 0 , - 1 } , Ь3 = { 1 , 1 , 0 } .5 3 .8 . В геометрическом пространстве V7 задана аффиннаясистема координат {О; в ), е 2} . В базисе е ь е 2 найти матрицуоператора А , если А осущ ествляет:а) отражение плоскости относительно прямой i + 2у = 0 параллельно прямой х 4- Зу = 0;б) проектирование плоскости на прямую х 4 у = 0 паралельнопрямой 4х + 5у = 0;в) сжатие с коэффициентом А = 2 к прямой Зх — 2у = 0параллельно прямой х — у = 0.5 3 .9 .
В геометрическом пространстве V3 задана прямоугольная декартова система координат {О ; е ь е 2, е3} . В базисе e i , e 2,е3 найти матрицу линейного оператора А, если А осуществляет:а) проектирование на плоскость Зх - у = 0 параллельно прямой х 4- г = 0, х 4- у 4 2г = 0;б) отражение пространства относительно прямой х = у =-2 г параллельно плоскости х 4 у 4 Зг = 0;в) сжатие с коэффициентом А = 2 к плоскости х — 2z = 0параллельно прямой х = у = г;118/лапа Х 1\ Линейные операторы н л и н ей н ы х п р о с т р а н с т в а \г ) поворот вокруг прямой х = у = - г на угол тг/2;д ) поворот вокруг прямой х 4- у = 0, у - г — 0 па такой угол,ч то первая из данных плоскостей переходит во вторую .5 3 .1 0 .
П усть линейный оператор А , действую щ ий в п мер.ном линейном пространстве I ', переводит линейно независимы евекторыв векторы д\,...,дп со о тв етств ен н о . П устьe i , , . . , e n - некоторый базис п ростран ства V', а /■’ и G - м а т р и цы, столбцы которых являю тся координатными столбцам и соо тветствен н о векторови £ |вбази се е.
Найтиматрицу оператора А ‘а ) в базисе е;б) в базисе / из столбцов матрицы F ;в ) в базисе д из столбцов матрицы G (при условии, ч то Gневырождена).5 3 .1 1 . П усть .4 - невырожденная м атри ц а порядка п, В м атри ца размера m х п.
Д о казать, ч то найдется единственноелинейное отображение А п ростран ства Кп в п р о стр ан ство Жт ,при котором образами столбцов матрицы А я в л я ю тся с о о т в е т ствую щ ие столбцы матрицы В. Найти м атри цу оператор а А'.а) в естествен ны х базисах п ростран ств;б) в базисе пространства К" из столбцов м атри цы А и е с т е ственном базисе пространства Нт ;в ) в базисе пространства Ж" из столбцов м атри цы А и базисепространства R m из столбцов матрицы В (при услови и, ч то тп =п и В невырожлена).5 3 .1 2 .
Координаты векторов /|,/а,/з и 0 1 ,0 2 ,0 3 трехмерноголинейного пространства V' заданы в некотором бази се e i , e 2, e 3.Линейный оператор А переводит векторы /, в д , ( i = 1 ,2 ,3 ) .П остроить матрицу оператора А : а) в базисе e i , e 2, е3; б) в базисе/ ь/ а,/ э, если:1) /я = ( 1 . 1 . 0 , /а = ( 1 . 0 . - 3 ) , / , = ( 0 . 1 ,3 ) ,Si = ( 1 ,1 ,1 ) , s* = ( 2 , 0 , - 6 ) , S3 = ( 0 , 2 ,6 ) ;2 ) /.
= ( 1 , 1 , - 1 ) , /а = ( 2 , 1 , 0 ) , /3 = ( 3 , 0 ,2 ) ,01 = ( 0 ,0 ,0 ) , 0 , = ( 2 ,1 ,0 ) , 0а = ( 3 , 0 ,2 ) ;3 ; /, = ( 0 .2 ,1 ) , /, = ( - 1 , 1 , - 1 ) , /, = ( 1 , - 2 , 0 ) ,9i = ( 0 ,0 ,0 ) , д2 = ( - 2 , 2 , - 2 ) , 0 , = ( 1 . - 3 . - 1 ) ;4) /, = ( 2 , 0 , - 1 ) , /, = ( —1 ,2 , - 1 ) , /з = ( 0 , - 1 , 1 ) ,р, = ( - 6 , 0 , 3 ) , д , = ( 5 , - 6 , 2 ) , 0з = (0 , —2 ,2 ) .5 3 .1 3 .Линейный оператор А имеет в базисе с м атри цу .4,,1|ДЗ.Мяч'рицы линейного оператора п различных базисахR координатны е стол бц ы векторов нового базиса / образуют ма*тоииу S.
В ы ч и с л и т ь матрицу оператора А в базисе /, если''°2 ][2И .-1 -3 J’1 -1 -1 ] ’-42) А, =5з)д . = [ - з4■1) Л. = [5) Ае =—"?].**[->- -3з'02128212О-91-И-'2'-3-2-1-1332-1,5 =3-7 '3-71-21-3-12-1012127-10-1200-102-1 ■10. -10201-3'13.1с —>Ь -С—>J =f1 010-11-1801 ■-111011' 10-11'10-1-2,5 =9 _2-3-15-20'3-32,5 =7 '1-1-19) А{ ==3]'122 -12 -12- 1 221-3001000-11 O'-111 01 0.111011-1-1-1-10-1105 3 .1 4 . Л и н ейны й оператор А имеет в базисе е комплексноголинейного п р о с т р а н с т в а матрицу .4 ,, а координатные столбцывекторов ноного б а зи са / образую т матрицу S.
Вычислить матрицу о п ер ато р а А в базисе /, если:120Гл а в а A7V. Линейные операторы н линейных пространств^1+ 1 1- 1 ’11«—110 ■’ 2 1 -11 - 11 0= 0 101111 011-1О1 1 - 11 - 1-1- 1 3t —3гi—3 —3*-IIм-тО‘ 3 -3 1 ’'3 -2 2 , 5 2 0. -1' 1 11 1'1 - 1 -113) л, = 1 1 1 -1 , 51 -» - 1«' - 5 -2 -3 - Г4 2 2 1,5 =63 3 12 - 3 4 02) А.
=153.15.Линейный оператор, действующий из пространстR" в пространство Rm, задан матрицей А/е в паре естественны*базисов этих пространств. Координатные столбцы новых базцс.ных векторов д и Л составляют соответственно матрицы 5 и 7 'Вычислить матрицу линейного оператора Л в паре базисов д иЛ, если:1 ) п = 3, m = 2 ,-1Af<2 11-10’2) п = 4, m = 2,Аи =111 1 1 0'0 1 1 11-10 -10 -11 -17 - 3 '1 - 1 - 11’5'з:3 ) п = 2, m = 3,A jt=‘ 1 2'2 3.34.1S =4) n = 3, m = 42 34 7Ah =-1 -22 519-51'22 3 42 -15=11 2-10"2 -10 -11' 111О'1011111 -1111О53.16.Пусть V - оператор дифференцирования в прострстве А/„. Вычислить матрицу оператора V в следующих базисахМатрицы л и н е й н о го оператора и различных б а зи с а х121того п р о с т р а н с т в а :5 1) J + *, < + 2«а, .'«* - 1 (п = 2);2 ) «я + 1, 1 - t, 1 - I + t2, 1 - / + t* 3) l , i,( n > 1 );4)t3 (п = 3 ) ;2Г» • ' ’ » nT ( П — О»5 ) 1,1 + t, 1 + t + £ , .
. . , 1 + t + . . . + £6) 1,1 + t, 1 + l + t * , . . ., 1 + t + . . . + Г (n > 1 );7 ) 1,t - <o, ( t - i 0 ) a ,M " (n >(n > 1 );1 , *o € R ) ;8) 1, l - 1, *a tn - tn~ l ( n > 1).5 3 . 1 7 . В б а з и с е l , l , t 2 п р о с т р а н с т в а M 3 о п ер ат о р А з а д а нм атри ц ей0010101 '00Найти м а т р и ц у э т о г о о п е р а т о р а в б а з и с е , со ст а в л е н н о м из м н огочленов 3 17 + 2 1, 5 12 + 34 + 1 , 7 <2 + 51 + 3 .5 3 .1 8 .П у с т ь А - о п е р а т о р тр аи сп о н и р ов ан и я в п р о с т р а н 2x2п<о с т р о и т ь м а т р и ц у э т о г о о п е р а т о р а в б а з и се :стве R2*2. Па)б)100000011001001011110 ]’0 11 ]’110 ’Г111Г011Г0111 Г 10 J ’ 1111 Г 11 J’ 1 1- 11 Г0 ’1‘1 111 )1 1-1 15 3 .1 9 .П у с т ь С — о п е р а т о р в п р о с т р а н с т в е Э12 х 2 , с т а в я щ и йсо о т в етств и е к а ж д о й м а т р и ц е X зн ач ен и е ее к о м м у т а т о р а [ X , Л ]с матрицей А=1^ J.0Н ай ти м атри цу этого оп ер атор а вбазисе:10] '[1о ]• [ О1 ] ;? ИU11H i15 3 .2 0 .Д о к а з а т ь , ч т о о т н о ш е н и е подобия н а м н о ж е с т в е вневырож денных м а т р и ц о д н о г о п о р я д к а я в л я е т ся о т н о ш е н и е мэк ви вал ен тн ости .122Г л а в а X IV .
Линейные операторы в линейных пространства*5 3 . 2 1 . Пусть матрицы /1 и В подобны: В = S~XAS. О днозначно ли при этом определена м атри ц а преобразования S ?5 3 . 2 2 . Показать, что скалярная матрица подобна только самой себе. Доказать, что этим свойством обладают только скалярные матрицы.5 3 . 2 3 . Пусть .4 - фиксированная квадратная матрица. Доказать, что множество матриц S, для которых А = S~1AS является группой но умножению?5 3 . 2 4 .
Пусть А и В - подобные матрицы. Доказать, что еслиматрица 5 0 такова, что В = S^i AS0, то все множество матрицS, осуществляющих преобразование подобия: В = S~l AS, получается из множества матриц {Р |А = Р~хАР) путем умноженияэтих матриц справа на матрицу S0.5 3 . 2 5 . Показать, что матрица А переходит в подобную, еслинад ней выполняется любое из следующих преобразований:а) i-я строка умножается на число а ф 0 , а затем i-й столбецумножается на число 1 /а;б) к i-й строке прибавляется j - я, умноженная на число Р, азатем из j -го столбца вычитается i-й, умноженный на /?;в) переставляются i-я и j -я строки, а затем i-й и j -й столбцы;г) каждый элемент матрицы заменяется на симметричныйему относительно "центра” матрицы.5 3 . 2 6 .
Доказать, что если хотя бы одна из двух матриц Аили В невырождена, то матрицы АВ и В А подобны. Верно лиэто утверждение, если обе матрицы вырождены?5 3 . 2 7 . Доказать, что преобразование подобия сохраняет следующие свойства матриц:а) невырожденность;б) нильпотентность;в) периодичность;г) ортогональность.5 3 . 2 8 . Пусть А - симметрическая матрица, а матрица В подобна матрице А. Доказать, что для того, чтобы В была симметрической матрицей достаточно, чтобы матрица преобразованиябыла ортогональна. Является ли это условие необходимым?5 3 .
2 9 . М атрица В получена из матрицы А преобразованиемподобия. Вы яснить, верны ли следующие утверж ден и я:а ) еслиА-треугольная матрица, т оВ-так ж е тр еугол ьн ая;123Пбра-э и ядро линейного оператора.б) если Астохастическая матрица, то В - также стохастнк&я.,6 3 .3 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
