Том 2 (1113043), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Преобразование А является линейным лишь в случае n = 1, так какпри п > 2 для любого а £ R выполнено равенствоА ( а Х ) = d et(aA ”) = a " det X = о пА Х ,ч то, например, при a = 2 противоречит пункту 2 определения линейногооператора.5. Преобразование А является линейным, так как для любых p(t), q(t) £М„ и а £ RА {р { 0 + у ( 0 ) = р(2< + 1) + q{2t + 1) = Ap(t) + Aq(t),A ( a p ( t ) ) = а р (21 + 1) = aA p (t).6. Убедимся сначала, что преобразование А переводит любой многочленр ( 0 степени не выш е п в многочлен степени не выше п — 1.
Дейст вительно,при ( = 0 многочлен р(1 + t) - р(1 — t) обращается в нуль, и следовательно,в силу теоремы Безу его можно записать в виде р(1 + t) — р(1 — t) = tpi (t),csa. Линейный оператор и его матрица103rne pi ( 0 ~ многочлен и» единицу меньшей степени, чем многочлен р(1 + 0 р(1 _ (). П оэтом у Ap(l) = pi ( I) 6 А1„_ 1 .Л инейность в ы т е к а е т из того, что для любых р ( 0 ,ч ( 0 € М„ н а € ЛА Ы .)+ ,(0 ) -t А (1 ),П р и м е р 5 2 .7 .П острои ть матрицу линейного оператора А, действую щ его из п р о ст р а н ст в а M j в пространство Aft по правилу >1р(1) =21~ ~ ----- в парс сстествсннЬ1Х базисов пространств Afj и Mi (см.пример 5 2 .6 (6 ) ).Решение.И т а к , в пространстве М2 выбран базис ei = 1, t j = (,e j = I1 , i « п р о ст р а н ст в е Afj - базис /г = 1, /а = I.
Тогда имеем:Аи = ^ г = ° = о/' +о/*.Лез = о±оA tз = 0 + ° 2 ~^= 1 = 1/1+0/а,~° 2 = 2 = 2/г + 0/з,О т с ю д а с л е д у е т , ч тоО 1 2Л/. = | 0 0 0П р и м е р 5 2 .8 .А, действуюП остр ои ть матрицу линейного операторащего из п р о с т р а н с т в а Ж3х3 в пространство IR по правилу .4.Y = t r X, в паребазисовEi =1000, £з =0010■, £« == I 1 Sо оО 1(52.2)п р остран ства Ж3 * 3 и f i = 1 пространства К.Р е ш е н и е . Т а к какA E i = 1 = 1/г, А Е г = 0 = 0/ ь Л £ э = 0 = 0 / ,,то м атри ца о п ер ато р а А имеет видЛ/е = [ 1П р и м е р 5 2 .9 .00= 1 = 1/,1 ]. .П острои ть матрицу линейного оператораА умноженииквадратны х м ат р и ц второго порядка слева на заданную матрицув естествен н ом б ази се ( 5 2 .2 ) пространства R 3* 2.Р е ш е н и е . Т а к как-»*-[;51[J s15] [ ! Иi ] [ !Я= [ сО ] = аЕ ' +сЕз>= [о? )= « £ + « *■=5 g]= 6 ^ ,+ ^ 3 .f a i lсj I10-1/л а п а X I V .
Л и н е й н ы е о пер ато р ы в л и н е й н ы х пространства^5 ] [ S ?)т о м а т р и ц а оператора А в базисе еГ о.ОА* =сО=(оим еет06а00АеО$ )= » *+ « *,пил0 '60• *АП р и м е р 5 2 .1 0 .П у сть линейный опер атор А , д ей ствую щ и й в п.м ерном линейном п р о ст р ан ст в е V, переводи т линейно н еза ви си м ы е векторыf t , . . . , / п в векто р ы giсо о т в е т с т в е н н о . П у с т ь e i , . . .
, e n - некоторы й б а зи с п р о ст р а н ст в а V, a F и G - м а т р и ц ы , ст о л б ц ы к ото р ы х я вл я ю тсяк о о р д и н атн ы м и столб ц ам и вектор ов / j ......... /„ и д \ , . . . ,д „ с о о т в е т с т в е н н о вб а зи се е. Д о к а з а т ь , ч то м атр и ц у оп ер атор а А в Оазисе е м ож но най ти изсоотн ош ен и яA t = G F ~ '.Решение.В си л у тео р ем ы 5 2 .3 вы полн ен ы р а в е н с т в аЫ « =/!.(/■)«.'= Т 7 п ,к о т о р ы е м ож но об ъ ед и н и ть в одно м а тр и ч н ое соотн ош ен и еС = A CF .T a x к а к в е к т о р ы / i , .
. . , / » линейно н е за в и си м ы , т о и с т о л б ц ы м а тр и ц ыF л и н ей н о н е зав и си м ы , и сл ед о в ат ел ьн о , м а т р и ц а F н е в ы р о ж д ен а и А е =G F ~ '. .Пример5 2 .1 1 .П о ст р о и ть м а т р и ц у о п е р а т о р а п р оек ти р ован и я Vп р о с т р а н с т в а R 3 x J на п о д п р о ст р а н ст в о L\ си м м е т р и ч е с к и х м а тр и ц п а р а л л е л ь н о п о д п р о с т р а н ст в у L i к о со си м м ст р и ч е ск и х м а т р и ц в б а зи се ( 5 2 .2 ) простр ан ства R 3 x J.Решение.В о сп о л ь зу е м ся т о ж д е с т в о мX = L (X + А’ г ) + И * ~ А 'г ),к о т о р о е , по с у щ е с т в у , я в л я е т с я р азл ож ен и ем п р ои звол ьн ой м а т р и ц ы X £R ,x 3по п о д п р о с т р а н ст в а м L i и L i , т а к ч т о A i=j(A+ Х т) и X i=i ( X — Х т).
О т с ю д а с л е д у е т , ч то р а с с м а т р и в а е м ы й зд ес ь о п е р а т о р прое к т и р о в а н и я д е й с т в у е т по пр ави луV X = L { X + X T ).Т а к как7>£з =00 1/2 j1/2 0 J^=(Ei0=" 1\1/2?> £«= [-+E3 ) / 2 ,‘ 1 0 0 0‘1/2 0Р<= 00 1/21/2 1/2 00 0 0 1{ E i+ £э)/2,II=О,«—ЕО ОТ•П р и м е р 5 2 .1 2 .П о ст р о и ть м а тр и ц у о п ер а то р а о т р а ж е н и я П „ ро.с т р а н с т в а м н огочленов Мз о т н о си т е л ьн о п о д п р о с т р а н ст в а L\ = { / ( l ) gА/з |/ ( 0 ) = / '( 0 ) = 0 ) п ар алл ел ьн о п о д п р о с т р а н ст в у L i = { / ( f ) € Л/з |/ (1 ) =оператор и его матрицаЛ инейны й/'(О —1050 е сте ст ве н н о м базисе пространств» А/».Решение./| = I1, /3 = I3 ■ /., и [ г тс.
(I - О’ .В ы б ер ем базисы :j t » 1(1 - 0 J “Н етрудно проверить, что L\ ® t i = Af3.С пособ 1. Р азл о ж и м произвольный многочлен p(i) = яо + a it + a j l 1 +43 1 5 по базису / з, /а, /э. /< • Реш ая соответствую щ ую неоднородную системулинейных уравнени й, получимр(1 ) = ( ° з + 2 a t + 3 a o ) lJ + (0 3 — at — 2ao)iJ + яо(1 — l)J + (at + 2ao)l(l —1)*О т сю д а с л е д у е т , ч тоЛ р ( 0 = ( ° з + 2 a t + 3 a o ) l J + ( a 3 — a t — 2 a o )l5 — a o (l — I)1 — (a t + 2 d o )!(l - I)1.Т ак и м о б р азом , оператор Я действует на векторы естественного базиса() s 1, e j = (, e j = I3 , е« = I3 пространства Л/з следующим образом:— —l-f6 1 ^ — 41"* = —С) + 6 е 3 —4е^(Я ез = ГЯ е з = —1+ 41* —2(5Я е ( = I5 = е«.■ез,—ез + 4сз —2с|,С л ед овател ьн о, м атр и ц а оператора Я в базисе с имеет видЯе =-100-16-44-200С п особ S.
В о сп о л ь зу е м ся результатом примера 52.10.С огл асн о определени ю оператора отражения Я его действие на векторыбазиса / t./ 2 ,/ 3 ,/4 о п и сы вается соотношениямиЯ/, =/, ,Я-/з = /з,Я/з = -/ з,Я/, =В силу соотн ош ен и я примера 52.10 Я £ = C F - 1 , где0001' 0010F =1-2100 ‘1» G =-21' 00100001- 12-100 '-12-1 _Найдем м ат р и ц у Я £ методом Гаусса-Ж ордана (§9):ГО01000100010 -2101 -21100 -1020 -11010-12-1Г'10-211 -201001001Г0элсментарпыс0преобразованиястолбцов1012 -1-120 -100100001-010000100100100 -164-4 -200100001000-1чС л ед овател ьн о,Я£ =-106-40-14-200 01 00 1З А Д А Ч И5 2 .1 .Д о к а з а т ь , ч то всякий линейный оператор, действующий в одномерном п ростран стве, сводится к умножению всех106 Гла на XIV. Линейные операторы н линейных пространства>н скто р о я п р о ст р а н ств а па фиксированное (д л я дан н ого оп ерато.р а ) чи сло (т а к и е оператор ы н а зы в а ю т скаляр н ы м и).6 2 .
2 . О п и са т ь все линейные о п ератор ы п р о с т р а н с т в а ®;+введен н ого в за д а ч е 4*1.9.5 2 . 3 . В ы я с н и т ь , какие из следую щ и х отоб р аж ен и й линейно,го п р о с т р а н с т в а V нал полем Р я в л я ю т с я линейны ми оп ерато.рахгн:а ) А х = а ( а - фиксированный в е к т о р );б ) А х = х + а ( а - ф иксированный в е к т о р );в ) А х = а х ( а - фиксированное число из поля Р ).5 2 . 4 . В ы я с н и т ь , каки е из сл ед ую щ и х о то б р а ж ен и й геомет р и ч е ск о го п р о ст р а н с т в а 1 3 я в л я ю тс я ли нейны ми о п ер ато р ам и(з д е с ь а и Ь - н екоторы е за д а н н ы е в е к т о р ы ):а) А х = ( х, а )а ;б ) А х = {&, х ) Ь ;в)Л х = (а , х )х ;г ) Л х = [ х , а ];д ) А х = [ а , [ х , Ь]].5 2 .
5 . П у с т ь а , п - ф и кси рован н ы е н ен ул евы е в е к т о р ы гео м е т р и ч е с к о го п р о с т р а н с т в а V2 или У3 . П о к а з а т ь , ч т о сл ед ую щ и еп р ео б р азо ван и я я в л я ю т с я ли н ей н ы м и , и в ы я с н и т ь их гео м е тр и чески й с м ы с л :а )Л х = (х , а ) ^ ;б) А х =в) А х =( а , п)а , если ( а , п ) ф 0;х - ( х , п )—;1“ ГА х = х -■ Х|а , если ( а , п ) ф 0 ;(а , п)Д) Л х = х - 2 ( х , п ) — ;I ПГае) А х = 2 ( х , а ) —- х;I а|*ж ) А х = [ х , а ], гд е а - зад а н н ы й ед и н и ч н ы й в е к т о р .5 2 .
6 . П у с т ь х = ( x i , x j , . . . , x n) - п р о и зв о л ьн ы й в е к т о р п рос т р а н с т в а К " . В ы я с н и т ь , как и е из с л ед у ю щ и х п р ео б р а зо ва н и йп р о с т р а н с т в а R " я в л я ю т с я ли нейны ми о п е р а т о р а м и :а ) А х = ( х 3, х , , х 2) (п = 3 );б ) А х = ( х 3, х и х 2 - 1) (п = 3 ) ;в ) А х = ( x 2, x i - х 2) (п = 2 );^5? Линейный оператор и его матрицаг) А х = ( * > .* » » * § ) ( п = 3 );д) / z = (xi + 3 i j - 2 i 3 , 3 i , + i , - i 3 , 2 / 1+3107i , - i 3) ( n = 3);е) Л* = (sin * i,c o s x „ * 3) (л = 3);ж) Ax =■" 1^ 1)1з) Ax = ( z i , 2 | z j | , - 3 z 3) (n = 3).5 2 , 7 . В ы я с н и т ь , какие из следующих преобразований пространства м н о го ч лен о в А/„ являются линейными операторами:а) / / ( 0 = / ( - 0 ;d) A f (0б ) Д / ( 0 = / (« + ! );= Д°* + ^)« где а Ф 0, Ь -фиксированные числа;/ (* Н 0 ) где * £ И фиксировано;г) / / ( 0 -д) >t/(0 = /(' + 0-/(0;e) A f{l) — / 0 + 0 ~ э ( 0 > где 9 { 0 _ фиксированный ненулевоймногочлен;ж ) > 1 / (0 = ‘ Д О ; (л / ( 0 = «/ '(0 ;И ) М 0 = / ( « Н ^ ( ‘ - < 0 + ф ( < - а ) ?+ .где A: G N и а € К фиксированы;к) > 1 / (0 =м) A №Д - 0 - ДО) + ДО.(2л ) - 4 / ( 0 = / ( I s );= \ J ‘ № d i.5 2 .8 .
П о к а з а т ь , ч т о дифференцирование определяет линейное отоб р аж ен и е:а) п р о с т р а н с т в а многочленов Мп в пространство многочленов Мп - liб) п р о с т р а н с т в а ч етн ы х многочленов степени не выше 2л вп ростран ство н еч етн ы х многочленов степени не выше 2л - 1;в) п р о с т р а н с т в а нечетны х многочленов степени не выше 2л+1 в п р о ст р а н ств о ч етн ы х многочленов степени не выше 2л.5 2 .9 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
