Том 2 (1113043), страница 25
Текст из файла (страница 25)
4 9 . П у с т ь в г е о м е т р и ч е с к о м п р о с т р а н с т в е V3 за д а н а пряиоУго л ь н а я д е к а р т о в а с и с т е м а к о о р д и н а т { О ; e i , e 3 l e.-i}. В б а зисе е | , е а , е я н а й т и м а т р и ц у о п е р а т о р а V п р о ек ти р о в а н и я нал о д п р о с т р а н с т в о L x п а р а л л е л ь н о п о д п р о с т р а н с т в у Л 2,е с л и :а ) L\ о п р е д е л е н о у р а в н е н и е м х = 0 , a L 3 - ур авн ен и ям и 2 х =2у =~г'б ) Ь\ и м е е т у р а в н е н и е х = у, a L j о п р ед ел я ется си стем о йуравнений х + у + г = 0 , 2 х 4- у + 4 z = 0 ;в ) L 1 о п р е д е л е н о у р а в н ен и я м иур авн ен и ем 2 х + З у - г = 0 ;-2 0 х=lo y =12г, a L 7 -г ) /,, о п р е д е л е н о с и с т е м о й уравн ен и й х - у + г = 0 , 2 х - Зу += 0 , a L 2 - у р а в н е н и е м 2 х + Зу - \г = 0.5 2 .
5 0 . П у с т ь в г е о м е т р и ч е с к о м п р о с т р а н с т в е V3 за д а н а прям о у го л ь н ая д е к а р т о в а с и с т е м а к о о р д и н а т { О ; е и е 2, е 3 } .В базисе е ь е 2 , е 3 н а й т и м а т р и ц у о п е р а т о р а И о р т о го н а л ь н о го о т раж ения о т н о с и т е л ь н о :а) п л оск ости х = 0;б ) п рям ой х = 2 у = г ;в ) п л о с к о с т и , н а т я н у т о й на векторыа ={ 1 , 0 , —1 } и b ={ U , -2 }5 2 . 5 1 . П у с т ь в г е о м е т р и ч е с к о м п р о с т р а н с т в е V3 з а д а н а прям о у го л ь н ая д е к а р т о в а с и с т е м а к о о р д и н а т { О ; e i , е 2, е 3} .зисе е ь е 2 , е 3 н а й т и м а т р и ц у о п е р а т о р а 7Z о т р а ж е н и я :В б аа ) о т н о с и т е л ь н о п л о с к о с т и х = 0 п а р а л л ел ь н о прямой 2 х =У= -г;б ) о т н о с и т е л ь н о п р я м о й х = х , х — y + z = 0 п а р а л л ел ьн оп ло ск о сти х + у = 0 .5 2 .
5 2 . В г е о м е т р и ч е с к о м п р о с т р а н с т в е V3 за д а н ортонорм ированны й б а з и св ) , е 2, е 3.П о с т р о и т ь в эт о м б а зи се м а тр и ц уо п ер ато р а п о в о р о т а п р о с т р а н с т в а :а) на у го л а во к р у г нектора е 3;б ) н а у г о л 7г/2 в о к р у г в е к т о р а e t ;в ) н а у г о л 2тг/3 в о к р у г п рям ой х = у = г.5 2 . 5 3 . И е с т е с т в е н н о м б а з и с е ( 5 2 .2 ) п р о с т р а н с т в а З.2* 2 к в а д р атн ы х м а т р и ц в т о р о г о п о р я д к а н а й ти м а т р и ц у :а ) о п е р а т о р а у м н о ж е н и я с л е в а на за д а н н у ю к в а д р а т н у ю м атрицу Л = ( а , ; ) в т о р о г о п о р я д к а ;П1Глава A7V.
Линейные операторы а л и н ей н ы х пространства*б ) оператора умножения спрана на заданную квад р атн у ю матрицу А = (а,у) второго порядка.5 2 .5 4 . В естественном базисе (5 2 ,2 ) п р о стр ан ства R 3* 3 к в а д ратн ы х матриц второго порядка найти матрицу:а ) оператора транспонирования,б ) оператора Q, который каждой матрице X с т а в и т в с о о т в етств и е матрицу А Х В , где А = (о 1;) и В — ( 6 ,,) - задан н ы еквад р атн ы е матрицы второго порядка,в ) оператора X , определенного соотношениемF X = АХ + X В ,где .4 = (а у ) и В = (6 у ) - заданны е квад р атн ы е м атри цы в т о рого порядка.5 2 .5 5 .
П усть в пространстве К '" * " фиксирован естествен н ы йбазис из матричны х единиц Е ц , Е ц , . . . , Е 1ги i = l ,m . П устьдалее А к В - заданные квадратн ы е матрицы с о о тв етств ен н опорядков т и п . Рассмотрим операторы Q и X , определенныесоотношениямидх = А Х В,I X = А Х + Л' В.Д о к азать, что в указанном базисе матрица:а ) оператора Q есть кронекерово произведение А ® В г \б) оператора Т есть А ® 1п + /т ® В т.Найти матрицы тех же операторов в естествен н о м б ази се,занумерованном другим образом: Е ^ ^ Е ^ , . . •1 E*mj , j — 1,71.5 2 .5 6 .Отображение А арифметического п р о ст р а н ств а R 2простран ство матриц R 3* 3 задано соотношениемА(х,у)х -УУх .‘П оказать линейность и инъективность этого отображ ения и постр ои ть его матрицу в естественны х базисах п р о стр ан ств R 2 иа 2* 5.5 2 .5 7 .Отображение А арифметического п р о стр а н ств а I 3пространство матриц R2* 3 задано соотношениемП оказать линейность и инъективность этого отображ ения и построи ть его матрицу в естественны х базисах п р о стр ан ств R 3 иЛ2х3.М атрицы линейного оператора в различных базисах1156 2 .
5 8 . Отображение А арифметического пространства R3вещественное пространство комплексных матриц С2х2 заданосоотношением-4 ( х , , * а, 1 3) =ГХ3Х| + * T jz , - ixj-z 3Показать линейность и инъективность этого отображения и построить его матрицу в естественном базисе пространства Л3 ибазисе £ ц , iE xu EiXt iE ,u E l2, tb’„ , E1J} iEJ2 пространства C2x2.5 2 .59. Отображение А арифметического пространства R10 вещественное пространство комплексных матриц С2х2 заданосоотношением■А(х Хух 2, х 3 ух ^ =_7—|где a = i , + iх2у b = х 3 + ix 4.
Показать линейность и инъективность этого отображения и построить его матрицу в естественном базисе пространства R3 и базисе пространства С2х2,указанном в предыдущей задаче.§53.М атрицы линейного оператора в различныхбазисах. Эквивалентные и подобные матрицыМатрицы А, В в Р п * п назы ваю тся подобными, если сущ ествует невырожденная м атри ц а Q та к а я, чтоА = Q~'BQ.Матрицы А ] е и A ,t линейного оператора А 6C(V, IV) в парах б а з и с о в е, / u t = еС , з = J D связаны соотношениемТ еор ем а5 3 .1 .А ц = D 1A j tC .С л е д с т в и е 1. Матрицы линейного оператора в различных парахбазисов эк ви вал ен т ны (§ 1 6 ).С л е д с т в и е 2. Р ан г матрицы линейного оператора не зависит отвыбора базисов .Т е о р е м а 5 3 .2 .
Д в е матрицы А и В над полем Р одинаковогоразмера т х п эк ви вал ен т ны т огда и то л ько тогда, когда они являютсяматрицами одного и т о г о ж е линейного оператора А £ C(V, W), где V иИ' - линейные п р о с т р а н с т в а над полем Р размерностей п и т соот вет ственно.Если IV = V, то при переходе о т базиса е к базису / = eQ матрицаоператора А £ C(V, V) изменяется по закону:A ,= Q ~ 'A 'Q .(53.1)Таким образом, одному и т о м у ж е линейному оператору А € £(V', V’)соответствует целый класс матриц, подобных друг другу.I lo t лава Л /V.
Л и н е й н ы е операторы о линейных пространства*О ч е в и д н о , ч т о две м атри цы Л , й € Я " " " подобны т о г д а и т о л ь к о т о г д а ,к о г д а они яп л я ю т ся м атри цам и одного и то го ж е линейн ого о п е р а т о р а , дейс т в у ю щ е г о в n -мермом линейном п р о ст р а н ст в е н ад полем Р (т е о р е м а 5 3 .2 ).И зсо о тн п ш сн и я ( 5 3 .1 ) сл ед у е т, ч то все м а т р и ц ы одного и т о го ж е линейного о п е р а т о р а и м ею т одинаковый оп р ед ел и тел ь.
О п р е д е л и т е л е м линейногоо п е р а т о р а А Е £ (V ’, V ) н а зы в а е т ся о п р ед ел и тел ь м а т р и ц ы э т о го о п ер а то р ав п р ои звол ьн ом б ази се. О б о з н а ч е н и е : d e l А. И т а к ,delА= del А , .П р и м е р 5 3 .1 .П у с ть оператор А, д ей ствую щ и й в n -м ер н ом прос т р а н с т в е К , п ер еводи т линейно н езави си м ы е в е к т о р ы ............../„ в векто р ы0}с о о т в е т с т в е нно . П у сть e i , . . . , e n - некотор ы й б а зи с п р о ст р а н ст в аV , a F и С - м а т р и ц ы , стол б ц ы к ото р ы х я в л я ю тс я к оор д и н атн ы м и с т о л б ц а ми с о о т в е т с т в е н н о вектор ов/я и .............. ...
в б а зи се г . Д о к а з а т ь , ч том а т р и ц у о п е р ат о р а А в б ази се / мож но най ти из соотнош ен ияА , = F -'G .Р е ш е н и е . К а к показано в ы ш е в примере 5 2 .1 0 , вы п ол н ен о со о т н о ш е ние А , — G F - *.Т а к к ак м а т р и ц а перехода о т б ази са е к б ази су / с о в п а д а е т с м атри ц ейF , т о в си л у соотнош ен ия ( 5 3 .1 )А / = F ~ '(G F ~ ')F = F ~ l G..З А Д А Ч И5 3 .1 .К а к и зм ен ится м а т р и ц а л и н ей н ого о п е р а т о р а А6C ( V , V ) в б а зи се е | , . .
. , е „ , если в это м б а зи се:а ) п о м ен я т ь м ест а м и д ва в е к т о р а е, и е<;б ) у м н о ж и т ь в ек т о р е, на чи сло а ф 0 ?5 3 . 2 . Д о к а з а т ь , ч т о м атр и ц ы одн ого и т о г о ж е лин ей н огоо п е р а т о р а в д в у х б а зи са х с о в п а д а ю т т о г д а и т о л ь к о т о г д а , ко г д а м а т р и ц ы перехода о т одного из э т и х б а зи с о в к д р у го м у пер е с т а н о в о ч н а с м атри цей линейного о п е р а т о р а в одном и з э т и хбази сов.5 3 . 3 .
Линейны й оп ератор А в б ази се e j , . . . , e n и м ее т в ер х н ю ю т р еу го л ь н у ю м атр и ц у. В каком б а зи се его м а т р и ц а буд етн и ж ней тр еуго л ьн о й ?5 3 .4 .тр и ц уЛинейны й оп ератор А в б а зи се e i , e 2, e 3 l e., и м ее т м а ' 132120520-1311 '213Н ай ти м атр и ц у эт о го о п ератор а в бази се:а ) е 1>е з , е 2,е4,М атри цы л и н е й н о г о о п е р а т о р а и различных /Полисахtg X117б) е и с ! + е2, е, 4- г , 4 с3, в! 4 с , + е3 4 с ,.5 3 .5 . Линейный оператор .4 » базисе et l e j ,t j имеет матрицу15 - 1 1 520 - 1 5 88-7 6Н айти м а т р и ц у э т о г о о п е р а т о р а в б а з и с е/1= 2е 1 4 Зе2 4 с'з, / 2 = Зеi 4 4с2 4 е3, / 3 =5 3 .6 .£\4 2е2 4 2е3.Линейный оператор А в базисе!\ = ( 8 , - 6 , 7 ) , h = ( - 1 6 , 7 , - 1 3 ) , /з = ( 9 , - 3 , 7 )имеет матрицу1 - 1 8 15-1- 2 2 151 - 2 5 22Найти матрицу этого оператора в базисе9i = ( 1 , - 2 , 1 ) , л = ( 3 , - 1 , 2 ) , 5 з = ( 2 ,1 ,2 ) .5 3 .7 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
