Том 2 (1113043), страница 29
Текст из файла (страница 29)
, еп —бази с п р о ст р ан ств а V , a g —некоторый ненулевой век то р п р о ст р а н с т в а . Д о к азать , что операторыА\,.. ., А п , зад ан н ы е н а б ази се е равенствам иA je kк = J,Ь Ф J,1 3 4 /"лава X I V . Л иней ны е операторы л л и н е й н ы х пространства^линейно нелавненмы.5 5 . 1 4 . Д ок азать, что вгякий оператор ранга 1, образ кото,рого содерж ит вектор д , есть линейная комбинация оператору,. 4 i , . . . , -4„, введенных в предыдущей задаче.5 5 . 1 5 .
П усть в пространствах V и И' заданы соответственнобази сы e i , . . . , e n иИспользуя результаты предыду.ш их зад ач , показать, что всякий оператор, действующий из V вI V, е с т ь линейная комбинация операторов Л ц , . . . , Л т п , УДовлетворяю ш их соотношениям:A t’ ek ={fi ]* • = . ? •=ттн .5 5 . 1 6 . П оказать, что система операторов Л ij , введенных впредыдущей задаче, линейно независима. Вы вести отсю да, чтоэти операторы образуют базис пространства C ( V , IV).5 5 . 1 7 . Выяснить, образует ли данное множество линейныхоп ер атор ов линейное подпространство в £(V ', W ) :а ) множество всех операторов ранга к > 1;б ) множ ество всех операторов ранга, на превосходящего чис л а А: > 1;в ) множество всех инъективных отображений;г ) множ ество всех сюръективных отображений.5 5 . 1 8 .
Будет ли линейным подпространством пространства£ ( V , TV) множество всех операторов, имеющих:а ) один и то т же образ;б) одно и то же ядро?5 5 . 1 9 . П оказать, что если Т - подпространство пространс т в а И ', то множество всех линейных операторов, образы котор ы х содерж атся в Т , является подпространством пространства£(V \ И ’ ). Н айти его размерность, если dim V = п, dim Т = к.5 5 . 2 0 . П оказать, что если N — подпространство пространс т в а V', то множество всех линейных операторов из £ ( V , W),ядро которы х содержит N , является подпространством простр а н с т в а £ ( V , W ) . Найти размерность этого подпространства,если dim V = n , dim N = /, dim \V = m .5 5 . 2 1 .
П усть L| и I 2 * произвольные подпространства прос т р а н с т в а W , причем L — L , + L 2, L 0 = L t П / , 2. Доказатьследую щ ие соотношения:а ) C { V , L ) = L ( V , L X) + £ ( K ,L 2);б ) £ ( V, L 0) = C ( V t Li)r\ C(V, /,2).5 5 . 2 2 . П усть пространство W разложено в прямую суммуЛ иней нос попп рос; ра нс чво линейных операторов135подпространств L\, .., i k ■Д о к азать, чтоЦ 1 \ IV) = Ц V\ Ц)ф £(V, /„) 0 ... 9 £ ( V, L k ) .5 5 .2 3 . Д о к а з а т ь , ч то ранг суммы операторов А, В £ C(V,W)не превосходит су м м ы рангов этих операторов:r g M + В) < TgA + щВ.5 5 .2 4 . П у ст ь оп ер атор ы А,В € £ ( V ,V ) таковы , чтоУ = im А ф im В - кег А ф кег В.Доказать, что ранг су м м ы А + В этих операторов равен суммерангов r g ^ и r g B .5 5 .2 5 . П о к а за т ь , ч т о для лю бы х операторов А,В 6 £(V ,V T )дополнено соотн ош ен и еrg (А + В) > | rg .A -rg fl| .5 5 .2 6 . П у сть V - некоторое линейное пространство, a fc, и к 2-н а ту р а л ьн ы е ч и сл а , удовлетворяю щ ие условиям 0 < к и к 2 <ditnV, кх + к2 < d im V \ Д ля каж дого натурального числа fc:|fct-fcj| < к < к\+к2 п р и вести пример операторов А, В 6 C[V,V),иля которы х rgA = k\,rgB —к2, rg (.4 + В) = к.5 5 .2 7 .
Д о к а за т ь , ч то любой оператор А 6 C[V,W) рангаг может б ы т ь п р ед ставл ен в виде суммы г операторов ранга 1,но не м ож ет б ы т ь п ред ставл ен в виде суммы менее чем г такихоператоров.5 5 .2 8 . Н айти у сл ови е, необходимое и достаточное для того,чтобы сум м а д в у х оп ераторов А и В ранга 1 бы ла операторомранга не бол ьш е единицы .5 5 .2 9 . П р о стр а н ст во V имеет размерность n > 1. Д оказать,что в п р остр ан стве C{V, V) всякое подпространство L размерности п +1 содерж и т хо тя бы один оператор ранга больш е единицы.5 5 .3 0 . П у сть оп ераторы А, В £ jC(V, VV) таковы , что длялюбого век тор а х £ V вектор ы .4 х и Вх коллинеарны.
Значитли это, что оп ераторы А и В коллинеарны?5 5 .3 1 . В усл ови ях предыдущ ей задачи дополнительно предположить, ч то ранг оп ератора В равен размерности пространства V. К оллинеарны ли операторы А и В в этом случае?5 5 .3 2 . Д о к а за т ь , ч то операторы А и В ранга 1, имеющиеодин и то т ж е образ Т и одно и то же ядро N, коллинеарны.5 5 .3 3 . Д о к а за т ь , ч то если д ва линейных функционала имеютодинаковые ядр а, то они коллинеарны.5 5 .3 4 .
Д о к а за т ь , что п линейных функционалов на п-мерном1 3 6 / л а в а X IV . Линейные операторы и линейных пространств а *пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когдапересечение их ядер есть нулевое подпространство.55.35. Доказать, что формы= /(а)> (/) = f '(a )p n (f) = /(n>(a) при любом a € R образуют базис в пространствеC(Mn,R).55.36. Доказать, что формы <p0( f ) = Д а о). <PiU) = f ( a i). •••,<pn( f ) = Д а п), где fly,Я], .
. . , on - произвольные попарно различные действительные числа, образуют базис в пространстве£(Л/П,К)./■°*+155.37. Доказать, что формы у>*(/) = /./(t)dt, к = 07п,■'о*где a0 , a i , ” 4 fln+i - произвольные действительные числа, удовлетворяющие неравенствам a0 < а.\ < . . . < ап+ь образуютбазис в пространстве С(МП,№).55.38. Доказать, что для любого проектора V оператор 1 - Vтакже является проектором. Найти, как связаны ядро и образоператора I —V с ядром и образом оператора V.55.39.
Доказать, что если V - оператор проектирования пространства V на Zf] параллельно Z2, то оператор И = I - 27>является оператором отражения.§56.Умножение линейных операторов.Обратный операторП у сть V', IV, Z - линейные п ростран ства над полем Р . П р ои зведен и емлинейных о п ер а т ор ов А 6 C(V , W ) н В G C (W ,Z ) н азы вается отображ ен и еB A : V' —• Z , выполняемое по правилу(B A )z = В (А х ),Vx е У.Т еор ем а5 6 .1 .
Если А € C{V, W ), В € C {W , Z ) , mo В Л е £ ( V, Z ).Т е о р е м а 5 6 .2 . О перация у м нож ени я линейных о п ер а т о р о в о б л а д а е т следую щ им и с в о й с т в а м и :1) ( А В )С = А (В С ) ( ассоц и ат и вност ь),2) а (А В ) = (с А )В = А (аВ ),3 ) (А + В)С = АС + В С ,А [В + С) = А В + АС (дист рибут ивност ь),вы п олн енн ы м и для лю бы х оп ерат оров А , В, С, для к от оры х л е в ы е част ир а в е н с т в имеют смысл.Т е о р е м а 5 6 .3 . При ум нож ении линейных о п ер а т ор ов их м ат рицы у м н о ж аю т ся , т .е. е с л и е , / , д - бази сы п рост ранст в V , W , Z , то(В A ) ft = B g jA jc ■В о м н ож естве C{V, V) всех линейных операторов, д ей ствую щ и х в простр ан стве V , для любых операторов выполнимы операции слож ения, умноже-tM,Умножение линейны х операторов.
Обратный оператор! 37ЦК* на число и умножение Яруг на друга. Каи следует из обшей теории"пиейных операторов,1) C{V,V) - линейное п р ост р ан ст во над полем Р\2) C (V ,V ) - н е к о м м у т а т и в н о е кольцо е единицей.Линейное п р о стр а н ств о нал полем Р , которое ивлиется кольцом и для11)6ых своих элем ен тов А , В удовлетворяет условиюа { А В ) = ( а А ) В = И ( а в ) , Va 6 Я ,ппзывается алгеброй (или линейной алгеброй) над полем Р .
Размерностьлинейного п р о ст р а н ств а при этом назы вается так ж е разм ерност ью алгебры.fill им образом, £.[V, V) - а л г еб р а н ад полем Р.Как и в любом кольце, оп ератор А 6 C[V, V) можно возводить в степеньп £ N, н если p (t) = ао + a i t + . . . + a ntnпроизвольный многочлен надполем Р о т переменной 1, т о однозначно определен операторр (.4 ) — а о/ -f а\А + . .
. + а пА п ,(56.1)называемый м н о гоч л ен ом от оп ер а т о р а А . Из свой ств матрицы линейногооператора сл ед у ет, ч то м атри цей многочлена (5 6 .1 ) о т оператора А являетсятот же многочлен о т м а т р и ц ы А е : (р (.4 ))с = р (Л *).Пусть А 6 £ (V , У ) . О то бр аж ен и е А ~ 1 : V —» V назы вается обрат нымоператором к оп ератор у А , еслиА А - 1 = А ~ 'А = 1 .Т е о р е м а 5 6 .
4 . Л и ней ны й оп ер а т ор А € £ ( V, V) обрат им т огдаи только т о гд а , к о г д а он б и ек т и вен .Т е о р е м а 5 6 . 5 . О брат ны й оп ерат ор единст вен.Т е о р е м а 5 6 . 6 . М ат ри ц а обр а т н о го оп ерат ора А~* в прои звольном базисе я в л я ет с я о б р а т н о й к м ат ри ц е оп ер а т ор а А в эт ом ж е бази се.Оператор А € /2( V, V ) н а зы в а е т с я невы рож ден н ы м , если его ядро состоит только из н улевого в ек т о р а , т .е .ксг А = { в } ,н в ы р о ж д е н н ы м в п роти вн ом сл у ч а е.Т е о р е м а 5 6 .7 .В к он еч н ом ер н ом п рост ран ст ве V следую щ иеутверждения р а в н о с и л ь н ы : д л я «4 € £ (У , К )1 )А А ~ 1 = 1 ;4 ) im А = V ;6) А обрат и м ;£) А ~ 'А = X ;3) А не в ы р о ж д е н ;5 ) d et «4 ^ 0 ;7) А би ект и вен.Т еор ем а5 6 .
8 . П р о и з в ед е н и е обрат и м ы х оп ерат оров обрат им о,при этом( А В ) ~ 1 = В - 1А - 1.С л е д с т в и е 1. У м н о ж е н и е линейныг оп ер а т ор ов явл яет ся а л геб р а ической оп ерац и ей н а м н о ж е с т в е в с е х обрат и м ы х оп ер а т ор ов, дейст вую щих в п р ост р ан ст ве V .С л е д с т в и е 2. М н о ж е с т в о в с е х обрат и м ы х линейных оп ер ат ор ов изL[V, V') об р азу ет н е а б е л е в у м ульт и п ли кат и вную группу.1 3 8 / л а н а X I V . Линейные операторы в линейны х п р о стр ан ств аЗ АДА5 6 .1 .ЧИЛинейный оператор А в базисе а х = ( - 3 ,7 ) , a 3 ^( 1 , - 2 ) пространства Яг имеет матрицу ^ ^5в б а з и с е 6 j = ( 6 , - 7 ) , Ь3 = ( - 5 , 6 ) - м а т р и ц уj , а операторg-3]'^ а ^т иестественном базисе е х, е 3, а. В - матрицу B j =о1Wматрицу оператора АВ:а) в естественном базисе пространства R2;б) в базисе аь а2;в) в базисе 6 t, 6 3.56.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
