Том 2 (1113043), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Найтиполный п р ообр аз п о дп р о стр ан ства L С 1 т , если:12 - 1 111)п = 5 , тп = 2 , А —L натянуто на1 - 21 3 - 1вектор ( 3 , - 1 ) ;' 31-2 4 '6 -449 -63ственном бали се си стем о й уравнений х х +1 -1 -1 14 02■12 -3-513) п = тп — 6 , А =103 12) п = 4 , тп = 3 , А =03£ задано в есте2х г = 0, Zj - г 3 = 0;001015-454L задано в13 1 0102 2 I5естественном б а зи с е системой уравнений 2zi - х3 = 0, х2 + х3 -2хл = 0 , - х 2 + 2 x 4 - х 6 = 0 .5 4 .2 9 .
П у с т ь линейное преобразование пространства всехмногочленов о т t п ереводи т каждый многочлен /1 в tn (к =0 , 1 , 2 , . . . ) . У б е д и т ь ся в том , что это преобразование инъективно, но не с ю р ъ е к т и в н о . Найти его образ.5 4 .3 0 . Н ай ти о бр аз и ядро линейного оператора умноженияматриц п р о с т р а н с т в а Шгх3:1 ) на м ат р и ц у А =слева;1301 лава A7V. Линейные операторы в линейных пространств^2) на матрицуА=332 '1сп р ава.1 1■1 1.1!Аhi-2 05 4 .3 1 . Для каждой матрицы Л* G !Rm* n обозначим черСзY 6 Ж”1’•t”- 1J матрицу, составленную из первых л - 1 столбц0йматрицы А\ Определим отображение А равенством АХ = уДоказать, что отображение А линейно, найти его ядро и образ5 4 .3 2 .
Пусть A | ,...,i 4 n - заданные квадратные матрицупорядка т . Отображение А каждому вектору х = ( i j ,.. ., z„) ^Rn ставит в соответствие матрицу А х = Ху Д , + . . . + хпАп.1) Доказать линейность отображения А.2) Найти ядро и образ этого отображения, если п = 4 и'1 Г,Г 1 —110 1 >Лэ - [ 101-1О5 4 .3 3 . Для оператора A G £(V ',U / ) построить взаимно од.нозначное соответствие между его образом im А и линейнымимногообразиями пространства V' вида Р = х 0 + кег А.5 4 .3 4 . Множество М всех плоскостей пространства V видаР = х0 + кег«4 является согласно задаче 46.3 4 линейным пространством (фактор-пространством пространства V по подпространству кег .4 ). Доказать, что соответствие между многообразиями из М и векторами из im^4, построенное в предыдущейзадаче, является линейным оператором.
Найти ядро и дефектэтого оператора.5 4 .3 5 . Пусть V - линейное пространство. Доказать, чтовсякое линейное подпространство из V служ ит:а) ядром некоторого линейного оператора в V ;б) образом некоторого линейного оператора в V .5 4 .3 6 . Доказать, что для любой ненулевой линейной формы/ на n-мерном пространстве V над полем Р сущ ествует базисe j , . . . , e „ пространства V , такой, что равенство/(z ,e , + . .. +хпеп) = Ху.выполнено для любых чисел х3, . . . , х п € Р5 4 .3 7 .
Привести пример линейного оператора, действующего в пространстве V, для которого пространство V не являетсяпрямой суммой образа и ядра этого оператора.5 4 .3 8 . Пусть L - любое подпространст во, дополнительное кядру кег А оператора А. Доказать, что:Линейное подпространство линейных операторов1318) любая линейно независимая система векторов из L перевод е * оператором А в линейно независимую систему;** g) подпространство L отображается оператором А взаимнопозначно на его образ im А.оД16 4 .3 9 . П ок азать, ч то для любых двух подпространств: N„.мерном п р остр ан стве V и Т в пространстве W , таких, чтоJjjjdJV + d im T = п, найдется линейный оператор А 6 C( V, W) ,дЛ)1 которого ядро совп адает с JV ,a образ с Т.5 4 .4 0 .
В п р остр ан стве Мп построить два различных линеййЬ1Х оператора, имеющих одни и те же образ и ядро.5 4 .4 1 . В естествен н ы х базисах арифметических пространствщп и Rm линейный оператор А имеет матрицу А. Найти кано11Ическую пару базисов в каждом из следующих случаев;1)Л =11112) А3) А =-114) А =-1-15) А =-2-11-12 -2-220-2-11[ з 10 j ’1О1-16) А =-342216 -5§55.2-244442-1 0Линейное подпространство линейныхоператоровПусть V и W - линейные пространства над полем Р.Суммой линейных оп ераторов А, В £ CfV, W ) называется отображение.4+В : V —* W , выполняемое по правилу(A + B ) z = A z + B x ,V x e V '.Произведением лин ей н о го операт ора А £ £ (У , W ) на число а £ Яназывается отображение ог«4 : V —* IV , выполняемое по правилу(o r.4 )r = ar.4z , Vr £ V.Т еорем а5 5 .1 .Д л я любых операторов А , В £ £ (У , (V) и числаоб РА + В 6 £ (У , W ) ,а Л Е ^ Ц И ') .С л е д с т в и е .
Сложение операт оров и умнож ение оператора на число являются внут ренним и внешним законами композиции на м нож естве5*132Глаяа XIV. Линейные операторы в линейных пространствТ е о р е м а 55.2. М н ож ест во C{V, W ) - л и н ей н о е пространствн а д полем г от носи т ельно введен н ы х выше оп ерац и й .Т е о р е м а 55.3. При сл о ж ен и и о п ер а т о р о в их м ат ри ц ы склад iвоюглеа, при умножении оператора на чиеао е г о м ат р и ц а у м н о ж ает е» ,з т о число, т .е. если е й / - базисы п р остр а н ств V и W , т о{A + B)jt = Л(, + B j t ,(aA)f , — a A f , .Т е о р е м а 55.4.
Если dim V = n, dim W = т ,т о линейноп р ост р ан ст во £ (V , И ') изоморфно п р ост р ан ст ву м ат ри ц р т я п .С л е д с т в и е , d im £ (У , И ') = dim V •dim W .З А Д А Ч И5 5 .1 .—3 ,7 ), а3 sЛинейный оператор А в базисе aj( 1 , - 2 ) пространства R3 имеет матрицу2- 15- 3В в базисе Ьх = (6, - 7 ) , Ь3 = ( - 5 , 6 ) - матрицу, а оператор1-22- 3. Найтиматрицу оператора А + В:а) в естественном базисе пространства R3;б) в базисе а1}а3\в) в базисе b),b3.5 5 .2 . Линейный оператор А, действующий в трехмерномпространстве, переводит векторы базиса e i ,e 2,e 3 в векторы аиа 2, а3| координаты которых в этом базисе равны ( - 2 , - 1 , - 2 ) ,(1 1 ,7 ,1 ), ( - 6 , - 4 , - 1 ) соответственно. Линейный оператор В переводит векторы а !,а 2,а 3 в векторы 6 i,6 2,6 3, координаты которых в том же базисе е равны (1 ,5 ,0 ), ( 3 , 4 , - 3 ) , ( - 1 , - 1 , 2 ) соответственно.
Найти матрицу оператора А —ЗВ в базисе ег, в2, е3.5 5 .3 . Линейные операторы А к В, действующие в арифметическом пространстве R3, переводят векторы а! = ( 1 , 1 - 1 ) , а2 =( 2 ,0 ,1 ), а3 = ( 2 ,- 5 ,6 ) соответственно в векторы Ь} = (0, —2,2),Ьг = (1 ,1 ,1 ), Ь3 = ( - 2 ,4 ,1 ) и Cl = ( 1 , 3 , - 3 ) , с2 = (0 ,1 ,-1 ),с3 = ( 3 ,- 4 ,2 ) . Найти матрицу оператора А + В в естественномбазисе пространства R3.5 5 .4 . Пусть линейное пространство V является прямой суммой двух ненулевых подпространств L\ и L 3. Показать, чтоединичный оператор пространства V представим в виде суммы1 = V\ +V 3t где 'Pi и 'Ра —операторы проектирования пространства V на Li параллельно L3 и на Ь3 параллельно L\ соответственно.Л и н е й н о е п о д п р о с т р а н с т в о л и н е й н ы х о п ер а т о р о в1335 6 .6 .Д о к азат ь , что для произвольных операторов А , В €выполнено:а) ,гп= ,гп -4» если А ф О;б) im(>t + В ) С im А 4- im В .Поивести пример, когда включение пункта б) является строгим.55.
6 .Д ок азать, что для произвольных операторов А , В €c ( V i W ) выполнено:а) ker Х А = кег.Д, если А ф О;б) кег(.Д + В ) D кег.Д П кег В .Привести пример, когда включение пункта б) является строгим.5 5 . 7 . Д ок азать, что если операторы А , В € C ( V t W ) таковы,что кег^4 -+- кег В = V , то выполнено равенствоim (-4 -+- В ) = im А + im В .Является ли у с л о в и е кег .4 -+■ кег В = V н еоб хо д и м ы м д л я спра,\f W )ведливости э т о г о р а в е н с т в а ?55.8. Д ок азать, что если операторы А , В £ £ ( V , W ) таковы,что im А П im В — { 0 } , то выполнено равенствокег(-4 + В ) = кег А П кег В .Является ли у сл о в и е im А П im B = { в } необходимы м для справедливости э т о г о р а в е н с т в а ?5 5 .9 .
Д о к а з а т ь , ч т о ненулевы е операторы А , В 6 £ ( V , W /) ,образы к отор ы х р азл и ч н ы , линейно независимы .5 5 .1 0 . Н ен ул евы е о п ер ато р ы А , В , С € £ ( V , W ) так о в ы , ч тоих образы попарно р азл и ч н ы . В ерн о ли, ч то эти операторы линейно незави си м ы ?5 5 .1 1 . П у с т ь / 1 , . . - , f m — б ази с п р о ст р а н ст в а И ', g — ненулевой вектор п р о с т р а н с т в а V . Д о к а з а т ь , ч то операторы В \ , . . . , В ттакие, что B j g — f j , j = l , m , линейно независимы .5 5 .1 2 . В п р о с т р а н с т в е W з а д а н б ази с / i , - .
. , / m- Д о к а з а т ь ,что для всякого о п е р а т о р а A G £ ( V , W ) н ай дутся операторыВ 1, . • . , В т т а к и е , ч т о А — В \. . . + В т , причем:а) ранг к аж д о го из о п ер ато р ов В } не превосходит единицы;б) образ нен улевого о п ер ато р а B j н атя н у т на вектор f j .5 5 .1 3 . П у с т ь е.\, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
