Том 2 (1113043), страница 31
Текст из файла (страница 31)
При этом( Л В ) - 1 = В~'Л5 6 . 5 9 . Д ок азать, что для невырожденного оператора А ипроизвольного оператора В справедливо то ж дество( Л + В ) Л - > ( Л - В ) = ( Л - В ) Л ~ 1( Л + В ) .5 6 . 6 0 . П усть Л - нильпотентный оператор индекса q . Д о к аз а т ь , ч то оператор X — Л невырожден и( Г - Л ) " 1 = Х + Л + Л 2 + . . . + Л ч~'.5 6 . 6 1 . Операторы Л и В связаны соотношением Л В + А +X = О . Д ок азать, что Л - невырожденный оператор, причемл - 1 = - X - В.5 6 . 6 2 . Линейный оператор X", действующий в пространствеR n x n , сохраняет определитель матриц. Д о к а за т ь , что операторX невырожден.5 6 .
6 3 . Ненулевой многочлен /(< ) назы ваю т а н н у л и р у ю щ и мо п е р а т о р Л , если / ( Л ) — О. Д оказать, что если у многочлена/ ( / ) , аннулирующего оператор Л , свободный член отличен отнуля, т о оператор Л невырожден.5 6 . 6 4 . Д оказать, что у любого линейного оператора Л, действ у ю щ его в п-мерном пространстве, су щ еств у ет аннулирующий многочлен степени не выше п 2.5 6 . 6 5 . Д оказать, что для невырожденного оператора Л, действ у ю щ его в л-мерном пространстве, обратный оператор А~хпредставляется многочленом от Л степени не выше п 2 — 1.$5b_ -miч октиг лн[нч|,,,„л onr/n торса Обритый 0 f/cpa7 (?pHb56.66.Показа!ь, ч го нерест ановочны любые ива многочлена({Л) 11 .'/(ЛI де А прои (мольный неныроА темный оператор.56-67 Пусть А £ £ ( Г , Ц ) и паи акте я опера гор В £ £(U , V)такой, что В А ~ J v (единичный оператор простраис гиа V).Чначм I ли это, ч го А В = Ztv ?56.6К. 11\: и, операторы А £ £(-\/п_|, Л/„), В £ С{Мп, А/,.,)определены гоот нсяшчт иян ил д о= t '/ e o ,в л о= ( л о - /(п))/<Покатать, ч го опера тор ВА единичный, а оператор АВ - нет.56.69.
Пусть! - линейная оболочка многочленов f, В , 1п'1Г - просI раде гш> многочлене» М, - о Рассмотреть дифференцирование многочленои как оператор V, действующий из I вW а также интегрирование / /(ОУскак оператор В, действуюшин из W в V. Покатать, чтоBV —Х у ,VE = 1ц'.56.70. Пуст ь в условиях1задачи 56.67 dim И > dim Г Доказать, что оператор А В будет оператором проектирования впространстве И'.56.71. Пусть А В G £ ( Г , И ) - линейные операторы, причемrg4 < гg B Показа гь, что существуют такие операторы С и Vдействующие соответственно в I и в И'-, что .4 = Т)ВС, причемодин из опера торов С и.
и D можно выбрать невырожденным.56.72. П 'ст ь А . В £ £ ( Г , И ) . Показать, что следующиеусловия эквивален 1 нЫ.‘а) кегП С кег В ;б) В = СА для некоторого оператора С £ C(W, И ).56.73. Пусть А В £ £ (V ,W ). Доказать, что следующиеусловия эквивалентны:а) im А С im В:б) А = BV для некоторого оператора V £ С{\ , Г).Ьб.74. Пусть А £ £ ( l W). Дока 1агь, что с\ шеегвгет ыкоелинеймое отображение В £ £ (И ’, I ), что Л = AJBA и В - ВАВ36.75Пусть и линейном пространстве I задан базис еДовязать, что следующие множеств* линейных преобразованийпространства Iяьдякчея группами огносигельно операцииумножении преобразорамий:а) мпожег I во всех невырожденных; преобразовании1 1- imИ6 ГлаваX IV .
Линейные операторы в линейныхпространства*б) множество всех невырожденных преобразований с опрело,л ител см, равным 1 ;в) множество всех невырожденных преобразований, матрицыкоторых в базисе с верхние треугольные;г) множество всех невырожденных преобразований, заданных в базисе е диагональными матрицами;д) множество всех скалярных операторов А I, где А ф 0;е) множество всех преобразований, матрицы которых в базисе е являются матрицами перестановок.56.76. В линейном пространстве V дан базис е.
Являютсяли мультипликативными группами следующие множества линейных преобразований пространства V :а) множество всех линейных преобразований;б) множество всех преобразований, матрицы которых диагональны в базисе е;в) множество всех невырожденных преобразований, которыев базисе е задаются целочисленными матрицами;г) множество всех преобразований, матрицы которых в базисе целочисленны и имеют определители, равные 1 или —1 ;д) множество всех преобразований с одинаковыми определителями, равными d\е) множество всех невырожденных преобразований, имеющихв базисе е матрицы, каждая строка и каждый столбец которыхсодержат ровно по одному ненулевому элементу?О т п с гы и указан и яИ '»,г44.3.' • к а с а н и е Д и к а т а 1 ь ч т о 0 г = в, от куда н и вест и, ч т о ( —\ ) tЗатем н и п ю л ы о н а т ь с я ж х о ц и я т и «нос j ью слож ения<14.4.
У к а 1 а и и <П о лож итьa) A ( a t , a j ) =б) A f a i. a ^ ) =( Aai ■ч з )44.044.8сло.У к а I а и и с. П о л о ж и гь : A ( a i, я 2 ) = ( Re A a j, Re A a2 ).Указание.Н е д о к а з а н а с ю р ъ е к т и в н о с т ь ум н о ж е н и я на ч и 4 4 .10 . У к а з а н и еР а с с м о т р е г ь о гоб раж енн!= In f ( z ) .4 4 .1 1 . У к а I а н и е. в ,г ) В о с п о л ь з о в а т ь с я и н д ук ц и е й п о п .4 4 .1 2 . н) С о д е р ж и т р п ве кто р о в ралли р н о с ть р а в н а п4 4 .14 . У к а з а н и е .
П о к а з а т ь ч го если ч и с л а а, £ Р, i £ И , р а з л и ч н ыи вектор a £ К н е н ул е в о й , го в е к т о р ы a , a та к ж е р а з л и ч н ы .4 4 .15 . Мет У к а з а н и еР а с с м о т р е т ь порядки элем ентов а д д и ти в н о йгруппы викторин прост ране 1 ьа44 16 . У к а з а н и еКсли г £ Уно т $ .V для всех j ф з, то г несодержится ни в какой л и н е й н о й к о м б и н а ц и и по д м н о ж е ств X , , j ф i4 4 .17 .
У к а з а н и е . П у с т ь М = { з г , .. / „ ) Л л я ка ж д о го подм нож ества V с л / поло ж и гьV ) = (a ia n ) I де а, = 1, если г , £ - V , и а, = 0В Про ГИННОМ ( ЛУЧЯ144 .18 . а) Л и ней но не чаи и и.м ы; б) л и ней но з а в и с и м ы . О б е п а р ы л и н е й н онезавис имы как век торы в е щ е с т в е н н ы х п р о с т р а н с т в .44.20. а) Л и н е й н о а н и с и м ы ; б) л и н е й н о н е з а в и си м ыОбе систем ылинейно незави си м ы к а к с и с т е м ы ве кто р о в в е щ е с тв е н н ы х прос гр а н с т в .4 4 .21а) Л и н е й н о незани и.мы; б) л и н е й н о з а в и с и м ыО б е с и с те м ылинейно незави си м ы ка к с и с т е м ы в екто ро в в е щ е с тв е н н ы х п р о с т р а н с т в .44.24.
2 вобоих с л у ч а я х 4 4 .2 5 2 в обоих с л у ч а я х .4 1.2 6 . 4 вобоих с л у ч а я х 4 4 .2 7 3 в обоих с л у ч а я х44.28. 3 вобоих с л у ч а я х 4 4 .2 9 4 в обоих с л у ч а я х .44.30. 2 - в к о м п л е ксн о м п р о с т р а н с т в е , 3в в е щ е с тв е н н о у44 3 1 4 вобоих с л у ч а я х 4 4 .3 2 5 в обоих с л у ч а я х44 33. 5 вобоих с л у ч а я х44.34. 2в к о м пл е ксн о м п р о с т р а н с т в е . 3 - в ве щ е ствен н о м .44.35 2 н обоих с л у ч а я х44.36.
2н ко м пл е ксн о м п р о с т р а н с т в е 4в ве щ е ствен н о м44.37 1 - в к о м пл е ксн о м п р о с т р а н с т в е , 2в в е щ е ств ен н о м .44.38. Н ет.44 39. У к а з а в н е. П у с т ь а]., иг - база, а a , + , - a , i d . + а .зй ^ ++ a ,rd r , i = 1, г Н- 1. Нас мо гр ет ь м а т р и ц '’ ( l m a , j ) , i = l . r + l , j = l г ипока за 1 з>. что один из н е к ю р о в я г+ ) .
. a j r + i п р е д ста в и м в виде л и н е й н о йкомбинации О с т а л ь н ы х с н е щ е е i ц е н н ы м и ко э ф ф и ц и е н та м и44.40. Рант ранен 2, базанаприм ер , T i , * 2 .44 4 1. Р анг равен 3, базанаприм ер ,44.42. Р ант ранен I, б аза к а п р и м е р , p i (<)■ Рз (0 . Р* ( 0 -—14 8О т н я т ы и . у к а з а н и я к § 4,4 4 . 4 3 . Р и н г ранен 2, Б аз а — н а п р и м е р , p i ( l ) . p j ( f ) .4 4 . 4 4 . Р а н г ранен 2 , б а з анапример. А , Л т .4 4 . 4 5 .
Р а н г ранен 5 , ба ла - н а п р и м е р . А , Д , В т, А Н т, Н г В .4 4 . 4 6 . У к а з а н и е . Е с л и xi -- O j i i + , . . + f t , r r , т о п к а ч е с т в е пек тор,х } м о ж н о в з я т ь л ю б о й н с к т о р , у к о т о р о г о ко э ф ф и ц и ен т о , и э т о м разложенияо т л и ч е и о т нуля.4 4 .4 7 .а ) В с и с т е м е ров но г в е кт ор оп о т л и ч н ы о т н ул я ; б ) п с и с т е мр о в н о г -I- 1 в е к т о р о п о т л и ч н ы о т нуля, п р и ч е м д н а из них ко л л и н е а р н ыв ) л и б о в с и с т е м е г + 2 в е к т о р а о т л и ч н ы о т нуля, п р и ч е м т р и ил н и х коллин е я р н ы , л и б о в с и с т е м е о т л и ч н ы о т нуля r + 1 в е к т о р о п и с у щ е с т в у е т т р о й кл и н е й н о з а в и с и м ы х ве к т о р о п , в к о то ро й н ик ак и е д в а нс к о л л и н е а р н ы .4 4 .4 8 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
