Том 2 (1113043), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Д о к а з а т ь , ч то |у,| < |д2|, |Л( | > }Л3|.4 9 . 5 5 . Д о к а з а т ь следую щ и е св о й с тв а определителя матрицыГ р а м а с и с т е м ы в ек т о р о в / ь<7ь ••• ,<7i евкли д ова (у н и та р ного) п р о с т р а н с т в а :1) д л я л ю б ы х k , l > 0 выполнено н еравенствоd e l G { f \ i . . . , f k , 9 u ■■•tQi) < det G ( f u . . . , / * ) d e t G ( g u .
. . ,(?i);2 ) р авен ствоdet G ( f i , ■• ■, f k , g u ■■•,9t) = det G ( / ,,. . . , / * ) d e t G ( $ , , . . . , $ ()сп р авед л и в о т о г д а и то л ь к о т о гд а , когда либо линейные оболочки с и ст е м в е к т о р о в /ь . . . , /* и д х, . . . ,g t ортогон альны , либоодна из э т и х с и ст е м линейно зависим а.§50.М е т р и ч е с к и е задачиМ н о ж ес т в о М н а зы в а е т с я м ет рическим п рост ран ст вом , если заданоотображ ен и ер : М х Л/ —• Е ,которое каж дой упорядоченной паре элементов х, у £ Л/ с т а в и т в с о о т в е т стви е число р (х , у) е Ж т ак о е , что:1) Р{х 1 V) > 0 ,V x, } £ Л/,р ( х ,у ) = 0 * = > х = у ;2)р {х , у) = р (у, i ) iV x ,y С Л / ;3) р (х , г ) < р ( х ,у ) + р(у, г ) , Vx, у, г 6 Л/ .Ч и сло р ( х ,у ) н азы в ае т ся р асст о я н и е м м еж ду х и у ; отображение р —м е т р и к о й , акси ом ы 1-3 - аксиомами метрики (расст ояния).84Глава X III.Евклидовы и унитарные пространстваР ассто я н и ем м еж ду м н о ж ествам ин а зы в а е т с я числоТ ео р ем аX и К в м етр и ч еск ом п р о ст р а н ст в ?5 0 .
1 . В еок л и д о о о м (ун и т арн ом ) п р о е т р а и с т л е V пра-лило/>(*.?) = I* - у|(50-1)j о dorm м е т р и к у .В д ал ьн ей ш ем , говора об евкли д овом (у н и та р н о м ) п р о с т р а н с т в е как ом е т р и ч еск о м , будем и м еть в виду именно э т у м етр и к у.Т е о р е м а 5 0 .2 (о к р а т ч а й ш е м р а с с т о а н и и ) . Р асст оя н и е м еж д у в е к т ор ом J и линейным п о д п р о с т р а н с т в о м L в е в к л и д о в о м (у н и т а р .н ом ) п р о с т р а н с т в е равно длине п ерп ен ди кул яра, оп у щ е н н о го и з в е к т о р а /на L или, в други х т ерм инах:] ) р а с с т о я н и е м е ж д у вект о р ом / и п о д п р о с т р а н с т в о м L р а в н о р а с с т о я н и ю м е ж д у век т о р ом / и его о р т о го н а л ь н о й проекцией на L ;2) среди всех в ек то р о в п о д п р о стр ан ства L б л и ж е в с е го к вект ор у fр а с п о л о ж е н а е г о о р т о го н а л ь н а я проекция на L .П р и м е р 5 0 .1 , В п р о ст р ан ст в е St4 со с т а н д а р т н ы м ск а л я р н ы м пронзведен и ем най ти р асстоян и е о т ве к т о р а / = (7 , —3 , 1 , —1) до линейн ого под.п р о с т р а н с т в а L , н атян у то го на вектор ы<4 = ( 1 .
1 . 1 . 1 ) . о 3 = ( 2 , - 1 , 3 , 2 ) , а з = ( 1 , 0 , - 1 , 1 ) .Р е ш е н и е . Т а к какГ 111 П а,2 -13 2азI 10 —1 1 . аз-.Г1 1 1П а ,О 1 2 -2а , - аз, 0 0 70 J аз + аз — Зазт о dim L = 3 н вектор ы а з , а з ,а з о б р азу ю т б а зи с L . С л е д о в а т ел ь н о , dim I х =1 и будем и с к а т ь разложение / = g + h в е к т о р а / на о р то го н а л ь н у ю проекциюg и перп ен дикуляр h в виде/ = у + a e i,( 5 0 .2 )гд е ез - б ази с ортогон ального дополнения I х . К а к с л е д у е т из пр и м ер а 4 9 .1 ,в е к т о р ез я в л я ет ся ф ундаментальной си стем ой реш ений с и с т е м ы с р асш и ренной матри цейГ 1 11 110- 1Г 1 1 11 0 12 - 13 2 0 —0 1 2 - 2 0(10 - 1l| 0 jL0 0 70 0,.О т с ю д а ез = ( —3 , 2 , 0 , 1 ) .Из р а в е н с т в а ( 5 0 .2 ) получим( / .
* i ) = o ( « i , е з ) 4 = > о: = —2.П оэтом у h = —2ез = (6 , - 4 , 0 , - 2 ) и р(/, L ) — |Л| = 4з/ М . ■П р и м е р 50 .2 . В п р о стр ан стве м н огочленов Л/з со с т а н д а р т н ы м с к а л я р н ы м произведением найти р асстоян и е о т м н огочлена / (1 ) = 4 + 1 + З13до линейного под п р остр ан ства L всех ч ет н ы х м н огочлен ов, об р ащ аю щ и х сяв н ул ь при t = 1.Р е ш е н и е .
Многочлен / (() = a 0 + a\t + a i t 3 + а з ! 3 п р и н а д л е ж и т подп р о ст р а н ст в у L т о гд а и только т о г д а , к о гд а а . = а з = 0 , ао + a i + а з + а з =$50.Метрические чалачн850 . Т ем сам ы м , L - одномерное подпространсию, натянутое на многочлене ,(|) = 1 — I2 .
Разлож ение f ( t ) = fl(l)4- A(l) многочлена на ортогональнуюпроекцию g { t ) н перпендикуляр А( 1) Булем игкать в пиле/(1) = о ,е ,( 1 ) + М 0 О т сю д а ( / , с 1 ) = a i ( e i , e i ) е= > П| = 2. Поэтому А(I) = /( » ) - 2«|(») =2 + l 4- 2 /3 + З<3 , и следонагслы ю , р ( /, L) = |А| = 3>/2. яУпорядоченная трой ка векторо» z , у, z - y проинюльногоевклидова (унитар ного) и р о стр ан стп а называется треугольником, натянуты м на векторых и у.Точно т ак ж е упорядоченная пара векторов z, у произвольного евклидона(ун и тар н ого) п р о стр ан ст в а называется параллелограммом, натянуты м навек то р ы z и у с ди а го на ля м и х + у и х — у.Упорядоченная совокупность п линейно независимых векторов Z j , .
. . ,Хп n-м ериого евклидова (унитарного) пространства называется п-мернымп а р а л л е л е п и п е д о м , на тян утым на векторы Х|........х „ . В частности, параллелограм м, натян уты й на пару линейно независимых векторов, являетсядвумерным параллелепипедом.О б ъ е м п - м е р н о г о пара лле леп ип еда , натянутого на векторы X i , . . . , х„евклидова п р о ст р а н ст в а , определяется по индукции:О t'(r ,) = M ;2 ) V { x \ , . . . , х п ) = V ( x i , . . .
, x n- i ) '|/in|, где А„ - ортогональная составляющая лектора х „ относительно подпространства, натянутого на векторыВ евклидовом простран стве углом между ненулевыми векторами х и уназы вается угол, 0 << г , для которогоcos=(* .У )М -Ы 'В евклидовом п р остран стве углом между ненулевым вектором х и нену левым п о д п р о с т р а н с т в о м L называется точная нижняя грань значенийугла, который об р а зу е т вектор х с ненулевыми векторами из L.У г л о м м е ж д у нену левы м и линейными подпространствами L\ и L i евклидова п р о с т р а н ст в а , не имеющими общих ненулевых векторов, называется точная нижняя грань значений угла между ненулевыми векторами i j £ L\и x i £ L i .
Есл и L i П L i = П ф { 9 } и D ф L\, D ф L i, то углом междуL 1 и L i н азы вается угол между ортогональными дополнениями D\ и Djп о дп р остр ан ства D в подпространствах L\ и L i соответственно. Если одно из п о д п р остр ан ств L\ и L i содержится в другом, то угол между нимисч и тается равны м нулю.П р и м е р 5 0 .3 .В пространстве Ж4 со стандартным скалярным произведением найти угол между подпространствами Li = C [ a i , a i ) , где ai =( 1 , 1 , — 1 , 1 ), а? = ( 2 , 2 , —2 , 2 ), и L i , описанным системой | ** ^ д3 —Р е ш е н и е.
З ам ети м , что dim L\ — 1 , dim L i = 2 и L\ П Li = { $ } . Таккак косинусы углов, которые образуют векторы из L\ с подпространствомL i отл и ч аю тся только знаком (см . задачу 50.14, пункт 3), то точная нижняягрань э т и х углон сов п ад ает с углом между вектором ai и подпространствомLi, который, н свою очередь, равен углу между вектором ai и проекцией ajна п о дп р остр ан ство L i (см . задачу 50.14, пункт 1 ). Найдем эту проекцию.Имеем: ai = g + A, g £ L i , h £ L f или a, = a Iej ■+■ a j e i + А, гдеci = ( 1 , 0 , —1 , 0 ), e i = ( 0 , 0 , 0, 1 ) - базис Li.
Умножая почленно обе части по-86Глава XIII.Евклидовы и упи гарные пространствследке по равенства на ei м на ез. получим систему уравнений относительноo i . n j : 2в| = 2, o j = I. Отсюда следует, что g = е, + ез = ( 1, 0, —1 , 1).С л е д о в а т е л ь н о , есл и <р - угол м е ж д у a iи g (т .е .и с к о м ы й у г о л ) , т^с о я <р — у / 3 / 2 и ^ =s г / 6 . аП р и м е р 5 0 .4 .В п р о с т р а н с т в е Ж4 с о с т а н д а р т н ы м с к а л я р н ы м про.и з и е д е н и е м н а й т и у го л м е ж д у п о д п р о с т р а н с т в а м и L i = £ ( 0 1 , 0 3 ) , гд е а ( в( 1 , 1 , - 1 , 1 ) , о з = ( 0 , 0 , — 1 , 1), в L i , о п и са н н ы м с и с т е м о й |г, iQ3 ~Р е ш е н и е . З а м е т и м , ч т о Him /о = 2, dim Li = 2 , L\ П Li = ( в ) .
П утьр е ш е н и я , о п и с а н н ы й в пр им ере 5 0 .3 , не м о ж е т б ы т ь п р и м е н е н в дайнойз а д а ч е , т а к к а к d im L\ > 1, a im Li > 1. Б у д е м и с х о д и т ь ит определениеу г л а м е ж д у п о д п р о с т р а н с т в а м и с н у л е в ы м п е р е с е ч е н и е м . О б о з н а ч и м nepci* p ( r , y ) , < f i ( r , L ) и i p ( L i , L i ) у го л м е ж д у в е к т о р а м и г , у , у г о л м е ж д у векторомх и п о д п р о с т р а н с т в о м L и у го л м е ж д у п о д п р о с т р а н с т в а м и L\ и Li с о о т в ст ствен н о.П у с т ь х - п р о и зв о л ь н ы й в е к т о р из L\, де го о р т о г о н а л ь н а я проекциян а L i , д\ - о р т о г о н а л ь н а я п р оекц и я g на L\. И м е емin fL i)x6X>i.»€bjзр(зг.у) =in fJfliin f 4> (z,y)( vei>ji n f < p (x , g) s)> € ti= V>(ff.
i i ) = v (9 .5 i)Т а к и м об р азо м ,( f i { L i ,L i ) = tfi(g ,g i),(50.3)г д е g - о р т о г о н а л ь н а я п р оек ц и я п р о и зв о л ь н о г о н е н у л е в о г о в е к т о р а х £ £ ,н а L i , а j i - о р т о г о н а л ь н а я п р оек ц и я в е к т о р а д на L\.В о з ь м е м I = a j . К а к с л е д у е т и з п р и м е р а 5 0 .3 , д = ( 1 , 0 , — 1 , 1 ) . Разлож е н и е g = g j + А, г д е j ! € £ > , Л 1 £ 1 , н а х о д и м в в и д еg = Q ia i + o 3a j + А,гд ек о эф ф и ц и ен ты а | ,а зя в л я ю т с я р еш ен и ем с и с т е м ыГ 4 а , + 2 а , = 3,\ 2 ai + 2а, = 2,т . е . а , = 1 / 2 , а з = 1 / 2 и g = i ( l , l , - 2 , 2 ).С л е д о в а т е л ь н о , е с л и <р - и ск ом ы й у г о л , т о с о г л а с н о ( 5 0 . 3 ) c o s y ) =ь/зб/6и ifi — a r c c o s (v / 3 0 / 6 ).
•П р и м е р 5 0 .5 .В п р о с т р а н с т в е Ж* с о с т а н д а р т н ы м с к а л я р н ы м произв е д е н и е м н а й т и у г о л м е ж д у п о д п р о с т р а н с т в а м и L\ = £ ( 0 1 , 0 3 , 0 3 ) и L j =£ ( A i , А ,, Ь з ) , г д е оз = ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , a , = ( 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , a 3 = ( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 )6, = ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 ) , Ьз = (0.0,0,0,1), Ьэ = о3.Решение.£ ( 0 3 ) , d im L =З а м е т и м , ч т о dim L i1.=3 , d im L i=С о г л а с н о оп р ед ел ен и ю < p ( L i ,L i ) =3,L =L i П Li =t p ( L i , T i ) , гд е Ц -о р т о г о н а л ь н о е д о п о л н е н и е L до L\, L j - о р т о г о н а л ь н о е д о п о л н е н и е L доL i.И м еем :L i = £ ( 0 1 , 0 3 ) ,L i = £ ( 6 1 , 6 2 ), при э т о м d im L i = d im L i = 2 ,L\ П L i = { в } .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
