Том 2 (1113043), страница 15
Текст из файла (страница 15)
П у с т ь х е и у} - к о о р д и н а т н ы е с т о л б ц ы в ек т о р о в хи у с о о т в е т с т в е н н о в б а з и с а х е й / е в к л и д о в а п р о с т р а н с т в а Е.Д о к а з а т ь , ч то равен ство( * .!/ ) = х * у }вы п о л н ен о т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а б а зи с ы е й / о б р а зу ю тб и о р т о го н а л ь н у ю п ару. С ф о р м у л и р о в а ть и д о к а з а т ь ан а л о ги ч ное у т в е р ж д е н и е в у н и тар н о м п р о с т р а н с т в е U .4 8 . 4 5 . П у с т ь Е - п -м ер н о е е в к л и д о в о (у н и т а р н о е ) п р о ст р а н с т в о . Д о к а з а т ь , ч т о д л я всякой линейно н езави си м ой си стем ыв е к т о р о в в|, .
. . , е * , к < п , с у щ е с т в у е т б и о р то го н а л ь н а я си ст ем а .К а к о т л и ч а ю т с я д р у г о т д р у г а с и ст е м ы в е к т о р о в , к а ж д а я изк о т о р ы х о б р а з у е т с си стем о й е | , . . . , е * б и о р т о го н а л ь н у ю п ару?4 8 . 4 6 . П у с т ь Е - конечном ерное е в к л и д о в о (у н и т а р н о е ) прос т р а н с т в о . Д о к а з а т ь , ч т о с и ст е м а в е к т о р о в e t , .
. . , e t и м ее т единс т в е н н у ю б и о р то го н ал ьн у ю с и ст е м у т о г д а и т о л ь к о т о г д а , когдав е к т о р ы € j , . . . , е* о б р а зу ю т б а зи с п р о с т р а н с т в а Е .4 8 .4 7 . П усть е й /би о р то го н ал ьн ая п ар а б а з и с о в в евкл и д овом (у н и т а р н о м ) п р о ст р а н с т в е Е ( U ) , х с и х/ - ко ор ди н атн ы ес т о л б ц ы п р о и зво л ьн о го в е к т о р а х в б а з и с а х е й / с о о т в е т с т в е н -lj.1.9 .О р то го н а л ь н ы е п одпространствано, a G (e ) и G { f ) - матрицы Грама этих базисов.Ч‘ ° 1 ) / = e C ' U Y ,71Д оказать,2 ) х , = С Г {с)х ..Найти биортогональные базисы дли следующих базисов вещ ественного арифметического пространства со стандартнымскалярны м произведением:4 8 .
4 8 . е, = ( 1 ,3 ) , е2 = (1 ,5 ).4 8 . 4 9 . е, = ( 1 , 0 ,0 ) , е2 = ( 0 , 2 ,0 ) , е3 = ( 0 ,0 ,3 ) .4 8 . 5 0 . С! = ( 1 , 1 ,1 ) , е 2 = ( 1 ,2 ,3 ) , е3 = ( 1 ,4 ,9 ) .4 8 . 5 1 . ei = ( 1 , 0 ,0 ) , c s = ( 3 , 1 ,0 ) , е3 = ( - 2 , - 5 , 1 ) .4 8 . 5 2 . е, = ( 1 , 0 , 1 , 0 ) , е2 = ( 0 , 1 ,2 , 0 ) , е3 = ( 0 ,0 ,3 ,1 ) ,е4 = ( 0 , 0 ,2 , 1 ) .4 8 . 5 3 . с , = ( - 2 , 1 , 1 , 1 ) , е2 = ( 1 , - 2 , 1 , 1 ) , е3 = ( 1 , 1 , - 2 , 1 ) ,е< = ( 1 , 1 , 1 , - 2 ) .4 8 .
5 4 . е, = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , е 2 = ( 1 , 1 ,1 , 0 ) , е3 = ( 1 , 1 ,0 ,0 ) ,«л = ( 1 , 0 ,0 , 0 ) .4 8 . 5 5 . Найти биортогональный базис для базиса в) = ( l , 0 , i ) ,е2 = ( l , i , 0 ) , е3 = ( 0 ,1 ,1 + i) пространства С3 со стандартнымскалярн ы м произведением.4 8 . 5 6 . В арифметическом пространстве R 4 со стандартнымскалярн ы м произведением построить систему векторов, биортогональную указанной системе векторов и принадлежащую их линейной оболочке:а ) е , = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , е2 = ( 1, 1, 1 ,0 ) ;б) е, = ( 1 , 1 , 0 , 1 ) , е2 = ( 1 , 0 , - 1 , 0 ) , е3 = ( 0 , 0 , - 1 , 1 ) .4 8 .
5 7 . П у сть в пространстве многочленов М3 скалярное произведение зад ан о формулой (4 7 .9 ), в котором tt = - 1 , <2 = 1.1) П остр ои ть систему векторов, биортогональную системе 1,t, t7 и при н адлеж ащ ую линейной оболочке этих векторов.2 ) П остр ои ть базис М3, биортогональный базису 1, t, t3, t3.§49.О ртогональны е подпространстваП у с т ь L - л и н ей н о е п о д п р о ст р а н ст в о евк л и д о ва (у н и тар н о го ) пр о стр ан с т в а Е (U).
В е к т о р х н а зы в а е т с я о р т о г о н а л ь н ы й к подпространству L,е сл и он о р т о г о н а л е н л ю б о м у в е к т о р у у £ L . О б о з н а ч е н и е : г X i .____О ч е в и д н о , ч т о г X £ ( a i , . . . , a * ) т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о гд а г X a ,, i =1 , 1 . С овокупность всех векторов г £ £ ({/), ортогональных подпространст в у L , н азы вается ортогональны м дополнением к / .
.О б о з н а ч е н и е : L 1 .Глава S i l l .72Евклидовы и у н и т а р н ы е п р о сгр а н сть»Т е о р е м а 4 0 . 1 . О рто«ом <м »мое доп ол н ен и е к п о д п р о с т р а н с т в ув и л я е т е .» яимгЛмыж п одп рост рон ст п ом .П р и м е р 49 .1 , Найти ортогональное дополнение к линейному пол про.с т р а и с т в у /., натян у том у на векторы в i = ( l , < i - 2 , 1), а з = ( 2 , 5 , —1 , - 2 ) ,аз =( I , - 2 ,4 , -Т ), в,=(1 ,7 ,-5 ,5 ).С к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е в п р о с т р » м.с т а е R * введено с т а н д а р т н ы м образом .Р е ш е н н е .
В г к г о р х = ( ц . х я , х з .х « ) п р и н а д л еж и т о р тогон ал ьн ом у д апод ней ню к п о д п р остр ан ству L = £ ( а | , а з , о з , а >) в т о м и т о л ь к о том случае,к о гд а он ортогонален каж дом у вектору а , , i = 1 ,4 :( * , o i) = 0 ,( х , о э ) = П,[{.__ .*| + 4 гз-2 х з+х4 = 0,1 2 ц + 5 х з - х з - 2 х « = 0,( х , а з ) = 0 , <==> ] Х| - 2 r j + 4 и - 7 ц = 0 ,О п и ш ем м н ожэтойои в =ее0.ф у н д ам ен тал ь.( х ,ествоa 4) = решений0I и с и+с т7 еxмj ы- , 5пхостр3 + 5х<ну к» с и с т е м у решений:' 14 -21 1°125 -1 -2 01 -24 -7 0“*5 o j1»7 -514 -2' 13 -40 -30 -66 -8403 -3=> е , = ( 1 3 , - 4 , 0 , 3 ) ,0000‘ 140 -30000-23001-4000 ‘000е2 = ( - 2 , 1 , 1 , 0 ) .П остроеи н ал ф ундам ентальная с и с т е м а реш ений ц , ез о б р а зу е т базисп р о с т р а н с т в а решений с и ст ем ы , и с л ед о в а т ел ь н о , я в л я е т с я б ази сом оргого.н а л ьи о го дополненияТ а к и м о б р азом , £ 1 = £ ( e i , e 2 ).
•П рим ер4 9 .2 .Найти о р тогон ал ьн ое дополнение к п о д п р о стр а н ств уL . за д ан н ом у систем ой*1 +- 2хз + х» = 0 ,2 x i+ 5 r jх з - 2 х4 = 0 ,i i - 2 х з + 4 х 3 - 7х < = 0 ,*1 + 7 х з — 5 х з + 5 х « = 0 .С к а л я р н о е произведение в п р о ст р а н ст в е Я * введ ен о с т а н д а р т н ы м образом .Р е ш е н н е . О б озн ачи м ч ер ез а , , а з , а з , а 4 в е к т о р ы , ком пон ен ты которы хя в л я ю т с я яоэф ф иииентамк заданной с и с т е м ы ур авн ен и й : a j = ( 1 , 4 , —2 ,1 ),в з = ( 2 , 5 , - 1 , - 2 ) , a i = ( I , —2 .4 , —7 ), а« = ( 1 , 7 , - 5 , 5 ) .
Из пр ави л а (-17.1),за д а ю щ е г о ск ал я р н о е произведение, с л е д у е т , ч т о в е к т о р z = ( x i , х 2| х з , х 4)п р и н ад л еж и т п о д п р о ст р ан ст в у L т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о гд аX , О)(!= 0,х , аз = 0,х . а 3 = 0.х . а , = 0,х X С ( а \, а з , а з , а « ).Э т о о зн а ч а е т , ч то= £ ( 0 1 , 0 3 , 0 3 , 0 1 ) и дли постр оен и я б а зи с а ор т о го н а л ьного дополнения д о ст а т о ч н о н ай зн б а зи с указан н ой линейной об ол очк и :■14 - 215 - 1 - 21 - 24 - 71 7 - 5 52а,азаза«Г 14 - 21 '0 - 33 - 4—0[ 0000000О]аз - 2а13a i - 2аз + аз—3 a j + а 2 + а*§49.Ортогональные подпространства73О т с ю д а с л е д у е т , ч то бази с L 1 образую т векторыП =(1,4. -2.1).
е» = ((1,-3,3,-4). >Т с о р о м а 4 0 . 2 . Если /.пикейное п о д п р о с т р а н с т в о E ( U ) , т о/ .© /,А = £ (U).С л е д е т о й с. Если /. - ли н ей ное п о д п р о с т р а н с т в о Е (U ), т о д л» л ю б о г о в е к т о р а / £ Е ( U ) с у щ е с т в у ет , и притом е д и н с т в ен н ое, р а з л о ж е н и е/ e J + Л,(49.1)где g £ L, h L L .В е к т о р g п разлож ении (4 9 .1 ) н азы вается ор т о го н а л ь н о й проекцией в е к т ор а / на п о д п р о с т р а н с т в о L , а вектор А о р т огон ал ь н ой с о с т а в л я ю щ е йвект ора } .З а д а ч у разлож ения (4 9 .1 ) вектор а на ортогональную проекцию и ор тогональную с о ст а в л я ю щ у ю н азы ваю т з а д а ч е й о перпендикуляре. О р тогональную с о ст а в л я ю щ у ю А в разложении (4 9 .1 ) н азы ваю т та к ж е п ер п е н д и куляром , оп у щ е н н ы м из в е к т о р а / на п о д п р ос т р ан с т во L , а сам вектор /- наклонной к п о д п р о с т р а н с т в у L .П о д п р о стр а н ст ва L , и L j евклидова (унитарного) п р о стр а н ств а назы в аю тся о р т о г о н а л ь н ы м и , если любой вектор каж дого из них ортогоналендругом у п о д п р о стр ан ству .
С у м м а конечного числа попарно ортогональны хп од п р остр ан ств н а зы в а ется ор т о го н а л ь н о й суммой.П р и м е р 4 9 .3 .Найти ортогональную проекцию и ортогональную со с т а в л я ю щ у ю векто р а / = ( 5 , 8 , - 4 , - 1 ) на подпространство L, натянутоена вектор ы а ] = ( 1 , 4 , —2 , 1 ) , a j = ( 2 ,5 , —1, - 2).
Скалярное произведение вп р о ст р ан ств е 1R* введено стан д ар тн ы м образом.Р е ш е н и е . З а м е т и м , что векторы a i , a j образую т базис L. В силуопределения ортогональной проекции тр ебуется п острои ть разложение / =5 + А, где g £ L, Л £ L x , или, что то ж е самое, найти таки е числа a , , a j 6 Яи такой вектор h £, что/ = Q ,a , + a j a j + Л.У м н ож и м скал яр н о обе ч асти этого равен ства на векторы а , и a j.
Т аккак ( A ,a i ) = (A ,a 3) = 0, то получим/ 2 2 а , + 2 2 а 1 = 44,<=> а , = а г = 1.^ 2 2 a , + 34 q j = 56Т ак и м образом , вектор g = a , + a j = (3, 9, - 3 , - 1 ) - ортогональная проекция векто р а / на подпростран ство L, а вектор А = / — g = (2, —1, —1 ,0 ) его ортогон альная со ставл я ю щ ая.З а м е ч а н и е . О т м ети м , что в этом решении сначала найдена проекцияg = a , e , + a j e j , а потом перпендикуляр A = f —g. Очевидно, что можно былобы сн ачала и ск а ть перпендикуляр А = д\Ь\ +0зЬ?, предварительно построивбазис 61,62 подп ростран ства L x .
В данной задаче базис L уж е дан (э товекторы a j. a v ) ,эти м оправдано то, что поиск ортогональной проекции иперпендикуляра н ачат с проекцииВообще говоря, построение базиса как L, так и L x , не столь затруднительно. Полое трудоемко составление и решение системы с матрицей Грам абазисных некторов. Поэтому при выборе вектора, с которого надо начинатьГлава Х Ш ■74Епклмцопы и унитарны е п ростр ан ств^р азл ож ен и е векто р а /, ж ел ател ьн о у ч и т ы п а т ь разм ерн ости зт и х иодпр^с т р а н с т в : есл и dim /. < dim L x , т о лучш е н ач и н ать разл ож ен ие с 11роскщ )цд,а есл и dim L > dim L x , то с Л.П р и м е р -49.4.■Найти ортогон альную проекцию м атр и ц ы F =5 34 3на п о д п р о с тр а н с тв о L всех к в а д р а тн ы х м атри ц второго порядке с нулсвы^сл ед о м .
С к ал яр н о е произведение и п р о стр а н стве К ,|<г введено ста н д а р тн ы ^о б р азо м .Р е ш е н и е . В силу изометрии евкл и д овы х п р о ст р а н ств IR,K l и К 4 Сос т а н д а р т н ы м и скалярн ы м и произведениями п оставлен ная за д а ч а экпималрц.т н а следую щ ей за д а ч е:н ай ти о р тогон ал ьн у ю проекцию вектора / = ( 5 , 3 , 4 , 3 ) на п одпростран,с т н о £ ; r i + г« = 0.К а к с л е д у е т из решения примера 4 9 .2 , ортогон альное дополнение £J.я в л я е т с я линейной оболочкой, н атянутой на вектор О] = ( 1 , 0 , 0 , 1 ) . Поэтому(с м .
зам еч ан и е к примеру 4 9 .3 ) разлож ение / = д + А, д € А, Л €и с к а т ь в виде/=будем€ К.д + Q ia i, д С £ , QiУ м н о ж и м скал яр н о обе ч асти это го р а в ен ств а на векто р в ] .( д . o i I = 0 , т о получим(/ .□ о = a i(a i,a i) < = > 2oi = 8<=>Т а к какa i = 4.Т а к и м образом , вектор А = 4 a i = ( 4 , 0 , 0 , 4 ) - ортогон альная составля ю ш ая в е к т о р а / а векто р д = / - А = ( 1 , 3 ,4 , —1) - ортогон альная проекцияв е к т о р а / на п о дп р о стр ан ство L.И т а к , ортогональной проекцией м атри цы F на указан н ое подпростран с т в о я в л я е т с я м атр и ц а G = I .П ри м ер4 9 .5 .,. •Найти ортогональную проекцию многочлена / ( 0 =2 + 4< + 2 (* на п о д п р о стр ан ство L многочленов степени не вы ш е 4, имеющихкорни t = —1, ( = 0 и t = 1.
С калярн ое произведение в п р остр ан стве АЛвведен о ст а н д а р т н ы м образом.Р е ш е н и е . .Многочлен /(<) = а0 + см 1 + а ? ! 2 + ад<3 + а 4/4 имеем корниI = — 1. I = 0 и t = 1 в том и тол ько том сл у ч ае, еслиГ а0 = 0,< оо + oi+ a j + ад+ а« = 0,I во — o i+ а ? — а д + 04 = 0 .П оэтом у в силу кзометрии п ростран ств АЛ и IRS со стан д ар тн ы м и скалярн ы м и произведениями поставленная зад ач а экви вален тна следующ ей зад аче:найти ортогон альную проекцию вектора / = ( 2 , 4 , 2 , 0 , 0 ) на подпрос т р а н с т в о L, заданное системойfx i=0,< и+ ЧI Zi -+ х д + Г 4+ х 6 = о ,Хз+ Хд -х 4+ Х а = 0 .Исследуем п ростран ство решений последней си стем ы :I1110 01 11 10 0 J01 ) 1 0-11 10•-4.[ 1 00 00 1 1 10 01 0011000.(4 9 .2 )1)-<9.75Ортогональные подпространстваО т сю д а dim L = 2 и dim= 3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
