Том 2 (1113043), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Лополнить векторы ei =d = ( —р=,\V6v6---- т=| 0 ] до ортонормированного базиса пространства R4.v6/Р е ше н и е . Найдем какой-либо ненулевой вектор х = (х ^ ц .х з .х * ),ортогональный векторам с \ и C f ./ п - x v + г 3 + х, = 0 ,\ 2 x ,+ х з - х з=0^f x i - xj + x j+ x, = 0 ,\3 x j — 3 x j — 2xi = 0.Решением зтой системы является, например, вектор х = (0,1,1,0). По-(. 1 1 Л—= ,0 I.\ V2Jеле нормировки получим вектор ез = I 0,Найдем теперь новый ненулевой вектор х так, чтобы он был ортогоналенвекторам ej, сз и ез:x , e i = 0,X .C j = 0,i , сз = 0(4=>Ц -Хз + X J +х4 = 0 ,с 2 х | 4* г з — х j= 0 ,I= 0x j+x jОтсюда х = ( —1 , 1, —1,3).
Положим е« =xj - х2 + хэ +х« = 0 ,{xj +хз=0Зхз + х« = 0.J ____ 1______1____ 3_\2>/3’ 2з/3' 2ч/з’ 2з/ 3/Тогда система векторов ei, ej, cj, e« ортонормирована и, так как dim R* = 4,она образует ортоиормированный базис пространства R*. •Т е о р е м а 4 8 .2 . В евклидовом (унитарном) пространстве координаты Х|........in вектора х а базисе е = (е.......... е„) вычисляются поправилу___I, = (х, е. ) , I = I, г»,тогда и только тогда, когда е - ортоиормированный базис.Т е о р е м а 48 .3 .
В евклидовом (унитарном) пространстве скалярное произведение векторов х =х, е, , у = £ " а( у,е, , заданных своими координатами в базисе е , вычисляется по правилуП( * . » ) = £ х.уГ•«Iтогда и только тогда, когда еортоиормированный базис.62Глава А'Ш.Евклидовы и у н и т а р н ы е пространствВ г шея иловом п р о ст р ан ст в чгрта комплексного сопряж ения » последнемравенстве может Ныть опущена: ( г ,у ) = }П"в1 Х,Н' 'Т е о р е м а 4 8 .4 .
В конечномерном евклидовом (у н и т а р н о м ) про.с т р а н с т о е с у щ е с т в у е т ортонормировонный базис.Процесс ортоеонализацин позволяет построить нт произвольной линейно независимой системы векторов /|,ортогональную си стем у ненулевых векторов f i .........ут и состоит в следующ ем.
П олагаем j i = /|. Последующие векторы у ) , . . . , ; » находите» из рекуррентны х формулк- 1Я1 =~52 ак>*>%т-1Коэффициенты о » , однозначно определаютск условием ор тогон альн ости вектора jk векторам 9 i , - . . , 9 i - i :(А .(9т. 9>)Нормнрук векторы y i , . . . , y m l приходим к ортонорм ированиому базисуподпространства £ ( / > , . . . , /т ).П р и м е р 4В.2. В пространстве К 4 со ста н д а р тн ы м скал я р н ы м произведением построить ортоиормированный базис линейного подпростран стваL, наткнутого на векторы щ = ( 1 , 1 , 0 , 0 ), о} — (2 , 0 , 1 , - 1 ) , а з = ( 4 , 2 , 3 , 1 ) .Р е ш е н и е . Векторы 0 1 , 0 3 , 0 3 , как нетрудно п р овер и ть, линейно независимы.
Дли построения ортонормнрованкого б ази са п о д п р о ст р а н ст в а Lприменим процесс ортогоналмзации к систем е вектор ов 0 1 , 0 3 , 0 3 .1) Положим / 1 = oi и возьмем t j = -^= Л = ( -Д - - ! = , 0 , 0Д\з /2Д2 ) Построим вектор /а т а к , чтобы он линейно вы р а ж а л ся через векторы* i . 0 j и был ортогонален вектору о ь С огласно описанному вы ш е ал гор и Г МУэтого можно добктьел, определив /а равенством/а = аа —(03,0|)( о „ о ,)О тсю да / г = ( 2 , 0 , 1 , - 1 ) - ( 1 ,1 , 0 ,0 ) = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 ) .Т ак кал (/а,/а) = 4, т о возьмем еа = ^/з =- j , ^, -3) Построим вектор /» т ак, чтобы он линейно в ы р аж ал ся через векторыо ь «а, «з или, что т о же самое, через векторы / 1 , /а, аз и бы л ортогоналенвекторам Oi, /а- Э того можно добитьск, определив /з равен ство м1°з -(о з .о О ,---------- г / |(01,0 1)( о з ./ т ) ,/*■(/»./»)'О тсю да /з = ( 4 ,2 ,3 ,1 ) - 3 ( 1 , 1 , 0 , 0 ) - ( 1 , - 1 , 1 , - 1 ) = ( 0 ,0 , 2 ,2 ) .Так как (/ з,/ з) = 8 , т о возьмем еэ = ^ = / з = ^ 0 , 0 , - д ,Тем самым, схстем а e i , e j , e i ортонормирована, п р и н а д л еж и т подпространству L и.
следовательно, образует ортонормнронанный б ази с L ,Матрица U Е С " " " называется унит арной, еслии и И = U" U = /.§48.63Ортогональные векторыМ атрица Q € R " * " назы вается ортогональной, еслиQQT = QTQ = I.Т е о р е м а 4 8 . 5 . Матрица ортогональна (унит арна) т огда ит о л ь к о т о г д а , к огд а она являет ся матрицей п ери ода о т одн ого о р т о и орм ироаанного б ази са к другому ортонормироланному базису евклидова(ун ит арн ого) п р о с т р а н с т в а .Д ве систем ы векторов z j , . . . , in и i n , . . . , у* в унитарном (евклидовом)пр остран стве назы ваю тся биортогональными, если(*• •*> = *{S;К а ж д а я система из пары биортогональных систем оск т ор оо линейно независим а.Т еор ем а4 8 .6 .Биортогональны е систем ы e i , .
. . , e n и Д , о б р а з у ю щ и е базисыпр остр ан ства V, н азы ваю т биорт огональной парой базисов.Т е о р е м а 4 8 .7 . Д ля лю бого базиса с \ ,... , с п унитарного (евклидо в а ) п рост ран ст ва сущ ест вует , и притом единственный, биортогана. 1ьный б ази с / > , .. ., /„.П р и м е р 48.3.базисуП остроить базис пространства Му, бнортогональкый« з ( 0 = 1 + 2! +еа(1) = 1 - 1 , С](() = 2 + 2i + 15.если известно, что скалярное произведение в пространстве Мз задано сооотношением (4 7 .8 ).Решение.Т а к как пространство Afj со скалярным произведением(4 7 .8 ) изоморфно пространству R 5 со скалярным произведением (47.1), торешим аналогичную задачу для базиса ej = ( 1 ,2 ,1 ), e j = ( I , —1 ,0 ), ез =( 2 , 2 , 1 ) пр остр ан ства R 3.П у сть си стем а искторов Д , /з, /з биортогональна к системе e j. e j.
e y . Тогда1.Г ( е ь / з ) = °,S (« а./ i ) = °.( ( d . / i ) =я ( « г ,/з ) = 1 ,Г (о » , / а ) = 0.I ( K3 ,/ i) = 0,1 (е з ./ з ) = 0,< ( е з , / з ) = 0,I( с з ,/ з ) = 1,и следовательно, нужно решить три системы уравненийГ z i + 2 i i + Z3 = l,X]< П -Г Z| + 2i|=0,< г1 -I 2 z i + 2 гз + г з = 0,+ гз = 0,rjГ Z ) + 2 r 1 + r J =0,=1,^ и -I 2 r i + 2 г а + Гз = 0,гг=0,( 2 ri + 2 z j + Гз = 1.Т а к как матрица коэффициентов одинакова у всех этих трех систем, торешим их одновременно, составив следующую расширенную матрицу:211010010 ]021001Г 1—.210 - 3 - 1-2 -1l oГ101- 10 011 0Г 10- 2 0 1J0—I0О- . 0 1 0 - 1 - 1I 0О 142-100 - 11 1121.-3 JО тсю да /, = ( - 1 , - 1 , I), /г = (0, - 1 , 2 ) , /з = (1, 1 ,- 3 ) .Таким образом, искомый биортогональный базис образуют многочлены- 1 - 1 + К 1 , / , ( 1 ) = - 1 + 2 l \ f,( t ) = 1 + / - 3 1 J .
>/i(l) =Г л а в а XIII.64Г п к л и д о и ы н ун и тар н ы е пространстваЗ А Д А Ч И48.1. Доказать, что в евклидовом пространстве Е :1) вектор / ортогонален всем векторам из Е тогда и толькотогда, когда вектор / нулевой;2 ) векторы / и у удовлетворяют соотношению (/, х) = (у, х)для любого вектора х G £ тогда и только тогда, когда / = д.Верны ли эти утверждения в унитарном пространстве?48.2. Доказать, что если х , , . . . , х * - ортогональная системавекторов, то для любых чисел Ait » = 1 ,fc, система векторовAj Tj , .
. . , А*х* также будет ортогональна.48.3. Пусть вектор х евклидова или унитарного пространства ортогонален каждому из векторовДоказать, чтох ортогонален и любому вектору из линейной оболочки векторовI\ I • • * ,/ * •48.4. Доказать, что если в евклидовом пространстве длялюбого числа а выполнено неравенство |х + ау| > |х|, то векторых н у ортогональны.48.5. Доказать, что в евклидовом пространстве выполненотождество2{xty) = |х + у| 2 - |х - у|2.48.6. Доказать, что в унитарном пространстве выполненотождество4 (i, у) = |* + у|а - |х - у| 2 + i\x + »у| 2 - i|x - iy|2.48.7. Последовательность векторов {а *} n-мерного евклидова (унитарного) пространства называется сходящейся к векторуа, если lim |а* - а| = 0 .
Доказать, что* —001)если последовательность векторов {/*} сходится к векто/, то числовая последовательность {|Л|} сходится к |/|;2 ) если последовательности векторов {/*} и {у*} сходятсясоответственно к векторам / и у, тоНш (Д ,у*) = (/,у).к —оо48.8. Верно ли, что произвольная система попарно ортогональных векторов линейно независима?48.9. Пусть / i,...,/ m и у !,...,у т - две линейно независимыеортогональные системы векторов евклидова или унитарного пространства, которые обладают следующим свойством: при любомк = 1 , т линейная оболочка £(/i ,..-,/ * ) совпадает с линейной§46.Ортогональные лекторы65оболочкойДоказать, что дк = 7 * Д , к = i,'m , принекоторых отличных от нуля коэффициентах 7 *.4 8 .1 0 .Д оказать, что если система арифметического пространства IR"х\х2=(0,Хз=(0,•••1 ® l f l ) l>QJn)*0, Озд, .
. . I ** 3 n) iх„=(0,0,= ( t t l l i t t U i Q 13ia 2j , a 2 3 i < > <0,...i ®пп)образует ортогональный базис этого пространства, то: а)фО, i = 1, п; б) qij — 0, если i ф j .4 8 .1 1 . Доказать, что естественный базис арифметическогопространства IP.” (Сп, С^) со стандартным скалярным произведением является ортонормированным базисом.4 8 .1 2 . Пусть относительно стандартного скалярного произведения арифметического пространства вектор-столбцы U|,u2,u3образуют ортонормированный базис Я3, а вектор-столбцы vl t vj- ортонормированный базис К2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
