Том 1 (1113042), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Следовательно,{а} = { 1 , a, a 2 , . . . , an- I }и card{a} = п . •П р и м е р 39.9. А дд и т и в н а я г р у п п а в ы ч е т о в п о м о д у л ю р.Пусть р Е N, р > 1 . Два целых числа m и п называются C'JIOBH'l.lM'ЫMU поГлава Х. Элементы общей алгебры350модулю р, если при делении на р они дают одинаковые остатки, т.е.
еслиm - п = pk, k Е Z. О б о з н а ч е н и е : m = n(mod p) .Рассматривается адцитивная группа Z целых чисел и подгруппа Н чисел, кратных р. Сl\,1 ежный класс по подгруппе Н, порожденный элементомm Е Z, имеет вид (будем придерживаться терминологии адцитивной группыв соответствии с исходной операцией :m + Н == { m + pk 1 k Е Z} = {п 1 п = m(mod p) } ,т.е .
это множество всех целых чисел , дающих при делении на р тот же остаток, что и m . Так как о<;татками при делении на р могут быть то"т�ько числаО, 1 , 2, . , р - 1 , то аддитивная группа Z целых чисел разбивается на р смежных классов по подгруппе Н : Со , С1 , . . . , Ср - 1 , где Cr { п \ п = r(mod p) } ,r = О, п - 1 . Обозначим Z p = {Со , С1 , . . . , Ср 1 } .Так как Z абелева группа, то подгруппа Н является нормальным делителем, поэтому Zp группа относительно сложения смежных классов (теорема 39. 1 1 ) .
Согласно общей теорииСт + Сп = Cr , где r = ( m + n) (mod p) ,т.е . Ст + Сп смежный класс, который содержит m + n .Рассмотренная группа Zp называется адд'l.t тивной группой В'Ы'Чеmов помодулю р. Отметим, что Zp фактор-группа Z/ Н.)..==- ---ЗАД АЧИП р и м е р ы г р у п п. П р о с т е й ш и е с в о й с т в а39. 1 . Какие из следующих числовых множеств образуютгруппу:1) целые числа Z относительно сложения;2) четные числа 2Z относительно сложения ;3) целые числа pZ, кратные данному натуральному числу р,относительно сложения ;4) степени данного действительного числа (а =!= О, ± 1 ) сцелыми показателями относительно умножения ;5) неотрицательные целые числа относительно сложения;6) нечетные числа относительно сложения;7) целые числа Z относительно вычитания;8) рациональные числа Q относительно сложения ;9) рациональные числа Q относительно умножения;10) ненулевые рациональные числа относительно умножения ;1 1 ) положительные рациональные числа Q + относительноумножения;12) положительные рациональные числа Q + относительно деления;13) двоично-рациональные числа, т.е.
рациональные числа,а§3 9 . Группа351знаменатели которых - степени числа 2 с целыми неотрицательными показателями, относительно сложения ;14) все рациональные числа, представимые в виде дробей снечетным знаменателем , относительно сложения;15) множество { 1 , - 1 } относительно умножения;16) положительные действительные числа IR + относительнооперацииа * Ь = аь ·1 7 ) положительные действительные числа IR + относительнооперацииа * Ь = а 2 Ь2 ?39 .
2 . Для каждого из следующих множеств квадратных вещественных матриц выяснить, образует ли оно группу; в случаеположительного ответа указать , будет ли эта группа абелевой:1) матрицы порядка п относительно умножения;2) матрицы порядка п относительно сложения;3) невырожденные матрицы порядка п относительно умножения;4) невырожденные матрицы порядка п относительно сложения ;5) матрицы порядка п с целыми элементами относительноумножения;6) матрицы порядка п с определителем , равным d, относительно умножения;7) матрицы порядка п с целыми элементами и определителем ,равным ± 1 , относительно умножения ;8 ) симметрические ( кососимметрические ) матрицы порядкап относительно сложения;9) симметрические ( кососимметрические) матрицы порядкап относительно умножения ;10) диагональные матрицы порядка п относительно сложения ;1 1 ) диагональные матрицы порядка п относительно умножения ;12) диагональные матрицы порядка п , все элементы диагонали которых отличны от нуля , относительно умножения ;13) верхние треугольньJе матрицы порядка п относительноумножения;'Глава Х.
Элементы общей алгебры35214 )невырожденные треугольные матрицы одинакового видаотносительно умножения;15) ортогональные матрицы порядка п относительно умножения;( -� � ) Ь Е IR. , относительноумножения ;.17) ненулевые матрицы вида ( :ь � ) , Ь Е Q ( q -Е N - за1 6) ненулевые матрицы вида, а,а,данное число, не являющееся полным квадратом) , относительноумножения;18 ) ненулевые матрицы вида( ;с �с ! ), а,Ь,сЕQ отно,2Ь 2сительно умножения.39 . 3.
Для каждого из следующих множеств отображений выяснить, образует ли оно группу относительно умножения ( суперпозиции) отображений; в случае положительного ответа указать,будет ли эта группа абелевой:1) взаимно однозначные отображения множества натуральных чисел на себя, каждое из которых перемещает лишь конечное число чисел;2) все отображения множества первых п натуральных чиселв себя;3) все инъективные отображения множества первых п натуральных чисел на себя ;4) все сюръективные отображения множества первых п натуральных чисел на себя;5) взаимно однозначные отображения множества первых пнатуральных чисел на себя ;6) все перестановки первых п натуральных чисел ;7) четные перестановки первых п натуральных чисел;8) нечетные перестановки первых п натуральных чисел ;9) все перестановки первых п натуральных чисел, оставляющие неподвижными элементы некоторого заданного подмножества;10) параллельные переносы трехмерного пространства Vз ;1 1 ) повороты трехмерного пространства Vз вокруг заданнойоси;12) все повороты плоскости V2 ;353§39 .
Группа13) все повороты плоскости вокруг центра заданного правильного n-угольника, совмещающие этот n-угольник с самимсобой.39 .4. К акие из сле,цующих множеств действительных многочленов от одной переменной образуют группу относительно сложения многочленов:1 ) многочлены степени не выше п ( включая нулевой многочлен) ;2) многочлены степени п ;3) многочлены всех степеней ( включая нулевой многочлен) ;4) многочлены степени не выше п , для которых х = 1 - корень;5) многочлены степени не выше п , для которых х = 1 простой корень?39 .
5. Доказать, что множество дробно-линейных функций,-т.е. функций видау =ах + Ь 'сх + dгде·а, Ь , с, dЕ JR иa d Ьс i= О,-образует группу относительно операции суперпозиции функций.Абелева ли она?39 .6. Доказать, что множество М всех подмножеств некоторого непустого множества М образует абелеву группу относительно операции симметрической разности: А 6 В = ( А U В ) \( А n В) .39 .
7. Выяснить , образует ли группу множество М всех подмножеств некоторого непустого множества М относительно:а) операции пересечения;б) операции объединения.39 .8. Доказать, что конечное множество G, в котором определена ассоциативная алгебраическая операция и каждое изуравнений а х = Ь, у а = Ь для любых а, Ь Е G имеет в G не болееодного решения, будет группой.39 . 9 .
Доказать, что конечное множество, в котором определена ассоциативная алгебраическая операция, подчиняющаясязакону сокращения слева и справа, является группой.39 . 10. Доказать, что если а 2 = 1 для любого элемента а группы G, то эта группа абелева.Изоморфизм групп39 . 1 1 . Доказать, что группы 1 )-4) задачи 39. 1 изоморфны1 2-427 1354Глава Х.
Элементы общей алгебрымеж,цу собой.39 . 1 2 . Показать, что изоморфные конечные группы имеютодинаковый порядок.39 . 1 3 . Найти все ( с точностью до изоморфизма) группы порядка: а) 2; б) 3 ; в) 4 ; г) 6. Написать таблицы умножения этихгрупп и представить эти группы в виде групп перестановок . Доказать, что группы порядков 2, 3, 4 абелевы.39 . 14. Доказать, что:а) группа 1R + положительных действительных чисел по умножению изоморфна группе JR всех действительных чисел по сложению;б) группа Q + положительных рациональных чисел по умножению не изоморфна группе Q всех рациональных чисел по сложению.39 . 1 5 .
Доказать, что аддитивная группа Z целых чисел неизоморфна аддитивной группе Q рациональных чисел.39 . 16 .. Доказать, что мультипликативная группа ненулевыхдействительных чисел не изоморфна мультипликативной группеневырожденных диагональных матриц порядка п > 2.39 . 1 7. Доказать, что при п > 2 мультипликативная группаневырожденных диагональных матриц порядка п не изоморфнамультипликативной группе невырожденных верхних треугольных матриц того же порядка п .39 . 18 .
Доказать , что аддитивная группа JR действительныхчисел не изоморфна аддитивной группе JRn x n квадратных матриц порЯдка п > 2.39 . 19 . Доказать, что мультипликативная группа ортогональных матриц порядка п > 2 не изоморфна мультипликативнойгруппе невырожденных матриц того же порядка п с определителем , равным ± 1 .39 . 20 . Доказать, что группа параллельных переносов пространства Vз относительно суперпозиции отображений изоморфна аддитивной группе всех векторов в Vз .39 .
2 1 . Доказать, что группа всех поворотов плоскости V2 относительно суперпозиции отображений изоморфна мультипликативной группе ортогональных матриц второго порядка с определителем , равным единице.39 . 2 2 . Доказать, что группа дробно-линейных функций (задача 39.5 ) изоморфна мультипликативной группе матриц втора-§39 . Группа355го порядка с определителем , равным ± 1 .39 .
2 3 . Доказать, что:а) любая конечная группа порядка п изоморфна некоторойгруппе перестановок п элементов;б) любая группа изоморфна группе некоторых взаимно однозначных отображений множества элементов этой группы насебя .39 . 24. Доказать, что группа порядка 6 либо коммутативна,либо изоморфна группе Sз .Подгруппы39 . 2 5 . Доказать, что непустое подмножество Н группы является ее подгруппой тогда и только тогда, когдаа, Ь ЕН=>а ь- 1 ЕН.39 .
26. Какие из групп в задачах 39 . 1-39 . 4 являются подгруп-пами других из этих групп?39 . 27. Доказать, что во всякой группе:а) пересечение любого набора подгрупп является подгруппой;б) объединение двух подгрупп является подгруппой тогда итолько тогда, когда одна из подгрупп содержится в другой;в) если подгруппа Н содержится в объединении подгрупп Аи В, то либо Н С А, либо Н С В.39 . 28. Доказать, что:а) если Н конечное множество элементов группы G и произведение двух любых элементов из Н снова лежит в Н , то Нбудет подгруппой группы G;б ) если все элементы множества Н группы G имеют конечные порядки и произведение двух любых элементов из Н сновалежит в Н, то Н будет подгруппой группы G.39 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
