Том 1 (1113042), страница 67
Текст из файла (страница 67)
4 . Выяснить, какие из сле,цующих множеств функций отодной вещественной переменной образуют кольцо относительнообычных операций сложения и умножения функций; в случаекольца указать , является ли оно кольцом с единицей , кольцом сделителями нуля , полем :1) множество линейных функций f (x) = а х + Ь, а , Ь Е IR ;2) множество всех многочленов степени не выше п;3) множество многочленов всех степеней;367§4 0 . Кольцо и поле4)множество всех тригонометрических многочленов f ( х ) =ао + L:k== l ( a k cos k x + bk si n kx ) , п Е N, ао , a i , . . .
, а п , Ь 1 , . . . , Ьп Е JR ;5) множество С[а, Ь] функций, непрерывных на [а, Ь] ;6) множество Со [а, Ь] функций, непрерывных на [ а, Ь] и обращающихся в нуль при х = а и х = Ь ;7) множество дифференцируемых на (а, Ь) функций;8 ) множество дробно-рациональных функций, т.е. функций,представимых в виде�i;j, где f(x ) , g ( x ) - многочлены с действительными коэффициентами ( g ( x ) ф О) .40 . 5 . Выяснить, образует ли множество линейных функцийf( x ) = а х + Ь, а, Ь Е JR , кольцо относительно операций сложенияи суперпозиции функц�й.40 .
6 . В адцитивной группе многочленов от одного переменного t в качестве операции умножения рассматривается операциясуперпозиции. Является ли это множество кольцом относительно этих операций?40. 7. Доказать, что множество всех подмножеств некоторогомножества М образует кольцо относительно операций симметрической разности и пересечения , рассматриваемых как сложениеи умножение соответственно. Показать , что это коммутативноекольцо с единицей и с делителями нуля .40 . 8 . В коммутативном кольце функций, непрерывных навсей действительной оси, с обычными операциями сложения иумножения указать подкольцо:а) без единицы и без делителей нуля;б ) без единицы, но с делителями нуля ;в) с единицей и делителями нуля;г ) с единицей и без делителей нуля , но не являющееся полем .40 .
9 . В кольце квадратных матриц порядка п > 2 указатьнекоммутативное подкольцо:а ) с единицей и делителями нуля ;б) без единицы, но с делителями нуля .40 . 10. Показать, что множество действительных матриц видаа-Ь-с-dьса-dсьd-аdс-ЬаГлава Х. Элементы общей алгебры368образует некоммутативное кольцо с единицей и без делителейнуля. Указать в нем подкольцо без единицы.40. 1 1 . Доказать, что если в любой аддитивной абелевой группе ввести операцию умножения равенством= О для любыхэлементовто получится кольцо ( аннул.яторно е колъцо) .аЬа , Ь,С в о й ства колец и пол е й40 . 1 2 .
Найти обратимые элементы в кольцах с единицей иззадач 40. 1-40.4.40. 1 3. Доказать, что все обратимые элементы кольца с единицей образуют мультипликативную группу.40. 14. Найти все обратимые элементы и все делители нуля вкольце:1) Zp вычетов по мо,цулю р ;2 ) верхних треугольных матриц n-го порядка над полем Р;3) скалярных матриц n-го порядка над полем Р ;4) диагональных матриц n-го порядка над полем Р.40 . 1 5 .
Доказать, что в кольце квадратных матриц порядка пс элементами из некоторого поля ненулевые вырожденные матрицы, и только они, являются делителями нуля.40 . 16. Найти все делители нуля в кольце IR х 1R пар действительных чисел с операциями, заданными равенствами из задачи40.3(4) и из задачи 40.3(6) .40. 1 7.
Показать , что в кольце матриц порядка п > 2 из задачи 40.2(5 ) всякий элемент, отличный от нуля, является правымделителем нуля . Какие матрицы в этом кольце не будут левымиделителями нуля?40 . 18. Показать , что если в кольце К элемент обратим , аэлемент - левый делитель нуля, то элементтакже являетсялевым делителем нуля.40 . 19 . Привести пример кольца, в котором содержится единственный делитель нуля.40 . 20. Показать, что в кольце с единицей коммутативностьсложения вытекает из остальных аксиом кольца.40 . 2 1 .
Проверив, что свойство нуля и делителей нуля можно доказать, не используя коммутативности сложения , доказать,что в кольце, содержащем хотя бы один элемент с , не являющийся делителем нуля, коммутативность сложения вытекает изостальных аксиом кольца.аЬаЬ§4 0 . Кольцо поле369и40 . 22 . Доказать, что конечное коммутативное кольцо без делителей нуля , содержащее более одного элемента, является полем .40. 2 3 . Доказать, что кольцо, содержащее не более трех элементов, коммутативно.40 .
24. Пусть К конечное кольцо. Доказать , что:а) если К не содержит делителей нуля , то оно имеет единицуи все его ненулевые элементы обратимы ;б ) если К имеет единицу, то каждый его элемент, имеющийодносторонний обратный, обратим ;в ) если К имеет единицу, то всякий левый делитель нуляявляется правым делителем нуля .Верны ли утверждения б) и в) для колец без единицы?Е К. Доказать, что:40.
2 5 . Пусть К кольцо с единицей,обратимы, то элементы ииа) если произведениятакже обратимы ;обраб) если К не имеет делителей нуля и произведениетимо, то элементы и обратимы;обратимо, то и обв) если К конечно и произведениератимы ;г ) без дополнительных предположений о кольце К из обратимости произведенияне следует обратимость самих элементови40 . 26. Привести примеры колец матриц специального вида, обладающих несколькими правыми или несколькими левымиединицами.упорядоченных парэлемен40 . 27.
На множестветов полявведены операции сложения и умножения по правилам :=+++=+Доказать, что множествоотносительно так введенных операций является коммутативным кольцом с единицей. Является лиэто кольцо полем?-а, Ь-а ЬаЬ ЬааЬа Ьа ЬаЬаЬа Ь.Р2( а 1 , а2 )Р( а 1 , а2 ) ( Ь 1 , Ь2) ( а 1 Ь 1 , а2 Ь2 ) ,( а 1 , а2 ) ( Ь 1 , Ь2 ) 2 ( а 1 Ь 1 - а2 Ь2 , а 1 Ь2 а2 Ь 1 ) .Р·Изоморфиз м колец и полей40. 28. Доказать, что:а) кольцо диагональных матриц второго порядка изоморфнокольцу из задачи 40.3 (4) ;Глава Х. Элементы общей алгебры3706) кольцо матриц вида[ � � ] , а , Ь Е IR, изоморфно кольцуиз задачи 40.3(6) .40 . 29 . Доказать, что кольцо , изоморфное полю, само является полем .40. 30.
Показать, что скалярные матрицы порядка с действительными элементами при обычных операциях образуют поле, изоморфное полю 1R действительных чисел.п( 2� � ) , а , Ь Е Q,изоморфно полю чисел вида а + Ьv12 , где а , Ь Е Q.� �), а , Ь , с Е Q,40 . 3 2 . Доказать, что матрицы вида ( 2�40 . 3 1 . Показать, что поле матриц видаобразуют поле, изоморфное полю чиселЕ2Ь 2с авида а + Ь{/2 + c .W,а , Ь, с Q .40 . 3 3 .Доказать,чтоматрицы вида( 3 � � ) , где А =( 2�� �� ) , В = ( 2 �� �� ) Е Q2x2 , образуют поле, изоморф-ное полю чисел видаЕvГз40.
34. Доказать, что группа невырожденных матриц порядка над полем Zp изоморфна симметрической группе Sm лишьв трех следующих случаях: а)1 , р = 2,р = 2 , m 3; б)m 1; в )1 , р 3, m 2.ai + a2 v12 + Ь1п==п==п=п=+ Ь2 J6, ai , а 2 , Ь 1 , Ь2 Q .=К о н е ч н ы е п о л я. Х а р а к т е р и с т и к а п о л я40 . 35 . Доказать, что в кольце, состоящем изэлементов,для любого элемента кольца имеет место равенствоО.40 .
36. Доказать, что если в поле хотя б ы один ненулевойравный нулю, то характеэлемент имеет кратный элементристика поля отлична от нуля и не превосходит40 . 37. Доказать , что если в адцитивной группе поля хотя быодин ненулевой элемент имеет конечный порядок , равныйтолюбой ненулевой элемент поля также имеет конечный порядок,который не превосходит40. 38. Доказать, что порядок единицы поля в его аддитивнойгруппе либо бесконечен , либо является простым числом.папа ,апа =п.п,п.§4 0. Кольцо и поле37140. 39 . Показать, что множество из четырех матриц О, I,[ i � ] , [ i 6 ] над Z2 образует поле.40.40 . Показать, что не существует поля, состоящего из шести элементов .40.4 1 .
Доказать, что любые два поля из четырех элементовизоморфны.40. 42 . Доказать, что в поле из п элементов выполняется тождество х п = х .40.43. Доказать, что если характеристика поля Р равна р, то1) при р =!= О для любого элемента а Е Р выполнено: ра = О ;2) при р = О : если а "# О , а Е Р и п "# О , п Е Z , то па =!= О.40.44. Показать , что характеристика конечного поля является делителем его порядка.40 .45 . Привести пример бесконечного поля ненулевой характеристики.40 .46. Н айти порядок элемента 2 в мультипликативнойгруппе поля Zp для р = 3, 5, 7 , 1 1 .
В каких из этих групп 2является образующим элементом?40 .47. Найти все образующие элементы в мультипликативных группах поля : а) Z 1 ; б) Z 1 1 .40 .48 . Привести пример квадратных матриц А и В порядкар с элементами из кольца Zp , для которых выполнено равенствоАВ - БА = I.40 .49 . Пусть Р - поле характеристики два. Доказать, чтоопределитель кососимметрической матрицы нечетного порядканад полем Р равен нулю, если все ее диагональные элементыравны нулю. Верно ли это утверждение, если хотя бы один диагональный элемент кососимметрической м атрицы не равен нулю?40 . 50 . Пусть Р - поле характеристики два.
Доказать , чтоопределитель матрицы над полем Р с одинаковыми строками( столбцами) равен нулю.40 . 5 1 . Пусть Р - поле, состоящее из k элементов. Доказать ,что однородная система линейных алгебраических уравненийнад полем Р с п неизвестными имеет k n - r решений, где r - рангматрицы системы .40. 5 2 . Доказать , что система линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А над любым по-Глава Х. Элементы общей алгебры372лем имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица А невырождена.40 . 5 3 . Решить в поле из задачи 40. 1 (12) уравнения:а) х 2 + ( 4 - 2J2) x + 3 - 2J2 = О ; б ) х 2 - х - 3 = О;в) x 2 + x - 7+6J2 = О; г) x 2 - 2 x + l - J2 = О; д ) х 2 - 6х + 1 = О.40 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
