Том 1 (1113042), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Нет, не верно.2. 14. У к а з а н и е. Рассмотреть в качестве х сначала единичные столбцы, а затем суммы каких-либо двух различных единичных столбцов.2. 18. г) Произведение кососимметрических матриц А и В является кососимметрической матрицей тогда и только тогда, когда АВ = БА2.20. б) Да, единственно.J6 ] [ g - g ] 6) [ 8 � g ]]+в) [[=.1]J�-��J2.23. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 1 .48.2.21. а)[ =�+;[ J -g � ]-+.-;2.24.
У к а з а н и е . Воспользоваться задачей 1 .36.2.25. У к а з а н и е. Учитывая результат задачи 2.22а, рассмотреть величину tr(AB - ВА) 2 и воспользоваться свойствами следа из задачи 1.35.Для обоснования второй части утверждения задачи учесть 2.24а.392Ответы и указания к §3[2.26. Да, верно. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 2.24.cos а sin аcos аsin а2.27. a) ± J , ±- 1 ' - sin a cos a ' - sin a - cos a , а Е1cos аsi n аО±JR ; б) ± 1 ' ±аsincos а ' а Е JR .-1'2.31. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 2.5.2.32. У к а з а н и е.
Пользуясь правилом умножения блочных матрицблочная матрица ортогональна тогда ид(за ача 2.7), показать, что данная2только тогда, когда Ат = · А и А = О , и воспользоваться задачей 2.26.2.33. а) Нет. б) Да, k = 2 . в ) Да, k = 3 . г) Нет. д) Да, = 2_. е) Да,2. ж ) Нет. У к а з а н и е. В случаях а ,г) доказать , что данная матрицаАО аж2удовлетворяет соотношению А = аА, где а =/= , в случае ) показать,что для любой степени матрицы ее элемент в позиции ( 4, 4 ) равен 1 .2.34. Нет, не верно.
2.35. �где а2 = -Ьс.2. 36. У к а з а н и е. Найти диагональные элементы степеней треугольной м:атрицы.2.37. У к а з а н и е. б) Воспользоваться предыдущей задачей.2.38. У к а з а н и е. Показать, что коммутатор треугольных матриц явтсяял е строго треугольной матрицей.2.40. У к а з а н и е. Пользуясь правилом умножения блочных матриц( задача 2.7), найти степени данной матри цы.где а 2 = 1 - Ьс. 2.42 . Нет, не верно.�2.41.2.43. У к а з а н и е. Умножить обе части равенства на 1 - А.2.44. См . указание к задаче 2.40.[1 О] [О[ О -1О ] []1[ О]-'-]]-kk==[±! , [-� ]-� ],,[ 8 � 5/! ] .[ -2t � ] [ -2! � ] ;[ - 2 -4 -6 ]222�[ � � 4� ][� 4[ � -6 4-52 -2 g ][ j J J ; 6)2.46.
а)2. 51. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 1 .39., В®А=2. 53. а ) А ® В =3б) А ® В = В ® А =в) А®В =2. 56. Нет.§33. 1 . а)в)1оооо[33 ;1, В®А=о о 32. 57. Нет.2.58. Нет.11 1 -1- 1 ; б) о12о ооо о-2 1оо1 о11оо; г)1оо ооо1о о1ооо1[i-1оо3о 3 о-1ооо-1 }3 -1оооо1 оо 1д) о оо оG о-64оо1-11оо}1-2-1оо393Ответы и указ ания к §43.2. Матрица Т получается из единичной матрицы I таким же элементарным преобразованием. 3.3. См. предыдущую задачу.3.4. У к а з а н и е.
Использовать теорему 3.3.3.5. Матрица В 1 получена из В таким же преобразованием столбцов.3.6. а) Переставить первую и вторую строки; б) разделить первую строку на 2 ; в) из первой строки вычесть удвоенную вторую.3.8. 1 . Нельзя. У к а з а н и е.
См. задачу 1 .36.2.3. 1 1 . У к а з а н и е. Элементарными преобразованиями первого типапривести матрипу перестановки к единичной матрице.3.12. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 2.30.3. 13. У к а з а н и е. См. указание к предыдущей задаче.3. 15. У к а з а н и е. Пусть А - данная матрица перестановки п-го порядка. Так как всевозможные степени А k также являются матрицами перестановок (задача 3 .
10 ) , а общее количество матриц перестановок порядка пконечно, то найдутся такие p, q Е N, р > q, что АР = Aq .3. 18. Соответствующему элементарному преобразованию столбцов матрицы А и такому же преобразованию ее строк.2 3343. 20. а); б)1 13 1 1 12 2 1 -15 75 6 6 8г) 11 11 21 321 1 1 13. 21. i = k' j == l или ( i - k ) (j - l) # о.3. 22. i == k ' = l или (j - k ) ( i - l) # о .[� ! � �] i � � i[[]·j§44 .
2 . а) 4 ; б) 1 О ; в) 14; г) 1 О ; д) п(п - 1 ) ; е) п(п + 1 ) ; ж) ( п - k + ) ( k - 1 ) ;22kk2)(()з) - l+ (п - k + l ) ( k - 1 ) .24.3. а) i = 3, k = 8; б ) i = 5, k == 9 .4.4. Если а 1 < а n , то р + 2(п - s) - З; если а 1 > a n , тo p + 2(n - s) - 5.п(п - 1)р.4. 5 .2п п - 1)4.6. В перестановке п , п - 1 , . . .
, 2 , 1 , где число инверсии равно (.24. 7. k - 1 . 4.8. п - k.4.8. 1 . а) k - 1; б) п - 1 - k. 4.8.2. п!/2.3п(п - 1 )4.9. а); перестановка нечетна при п = 4 k - 2 и п = 4 k - 1 ,2k Е N;n(3n + 1 )б); перестановка нечетна при п = 4 k - 2 и п = 4 k - 1 , k Е N;2в) 3п(п - 1 ) ; перестановка четна при любом п ;г) п ( 3п - 2) ; четность перестановки совпадает с четностью п;д) п(5п + 1 ) ; перестановка четна при любом п.1_"394Ответы и указ ания к §54. 10. ( п4. 1 1 . Для п = 4k, ппротивоположна.4.
13. 1 ) 8; 2) 6; 6.п- 1) .24k- 3 , k Е N, одинакова, а для остальных п3)§5-1-2Ь. з . 1 .-1.1.222(-3.).аасЬ3аЬс - аз - ьз - сз .аз Ь3 сз - 3аЬс.5 .6. о.5.1.5.2.5.3. 30005.4. о . 5 . 5 .5. 10. sin ( ,8 а ) .5. 7.5.8. 4аЬ. 5.9.5 . 12.+5. 14. 6 + 2.5. 13.5 . 15.++5. 17. О.5. 16.5. 19. 4. У к а з а н и е. Показать, что все члены определителя не могутбыть положительны и потому искомое наибольшее значение меньше 6. Всилу предыдущей задачи оно не превосходит 4. Наконец, рассмотреть опреи= 1 , i i= j .с элементамиделитель матрицы А ==5.20.
2. У к а з а н и е. Показать, что все три положительных члена, входящие в определитель, не могут равняться 1 , и учесть, что определитель= \ sgn( iматрицы А =с элементамиj ) 1 равен 2.5.33. У к а з а н и е . К третьему столбцу определителя, стоящего в левой части, прибавить второй, умноженный на + + и вычесть первый,умноженный на + +5.39. а) Входит со знаком минус; б,д,е ) не входит; в,г,ж ) входит со знак ) входит со знакомком плюс; з,и ) входит со знаком5.40. а) Со знаком плюс; б ) со знаком5.41.5.42. i = 5, j = 2 .= 6 ' k = 5.5 .44.
i = 7 ' j = 5.5. 43. i =5.45 . j = k = i = l = 5 или l = 1, i = k = j = 5.б)5.46. а )5.47.У к а з а н и е. Применить теоремы 4.2, 4.4 из §4 .5.48.5.49.5 . 50.5.51. О .5 . 52 . О .5. 53. О . 5. 54.5 . 55. О .5. 56.5. 57.5. 59. а) б )5 . 58.5.62. и -2. 5.63. -5 иб)5.64. а )5.65. Если п четно, то число элементов на четных и нечетных местаходинаково и равно п 2 2. Если п нечетно, то число элементов на четныха на нечетных - равно ( п 2местах равно п +5.66. У к а з а н и е. Рассмотреть сумму индексов всех элементов, входящих в общий член определителя.5.67. Определитель умножится на5.68. Определитель умножится на5.69. Определитель не изменится.5. 70.
Определитель не изменится.5.71. Определитель не изменится. У к а з а н и е. Рассмотреть общийчлен определителя.5 . 72. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 5.66.5. 74. Определитель обратится в нуль.5. 75. Определитель обратится в нуль, если он четного порядка, и удвоится, если нечетного. У к а з а н и е. Разложить на сумыу определителей покаждому столбцу.-.-( aij)aii -1 aijа Ь с,( aij )aijаЬ Ьс са.(-l) n - l ; n n - l / 2 (-l) n .()(-l).а 1 2 а22'з jаз1 а44 , а l з а24 аз1 а42 , а 1 4 а22аз1 а4з .3,1,3,а61 а12;) + )ав2 а11 .(-l)O'(o0'(,6.dddccc...abababа...aа·211nn2пnl2/(- l ) 'n( - l ) )n -a2 >!1n2a2 , n - l .
. . ап1 .(-l) n +l a 1 a2 . . . a n .3(-l)(aп k+l(, n i+l ;a 1 a2a.п. .1.iа+lп ., n - k+ l · 1; 1 .- /2- 1)/2.( 1)/2,(- l ) nn -n1-. l ) / 2(-l) (' .Ответы и указания к §63955. 76. Определитель умножится на ( - l ) n ( n - l ) / 2 . 5. 77. О.5.78. О. У к а з а н и е. Переставить 1-ю и 2-ю строки в каждой матрицеперестановок и проанализировать, как изменится искомая сумма.5. 79. о .5.80. У к а з а н и е.
Воспользоваться задачей 2.51 и показать, что всестрочные суммы матрицы [А , В] равны нулю.5.81 . У к а з а н и е. Применить свойство 8 определителя. 5 .82. О.§66. 1 . У к а з а н и е. Применить индукцию . В д) и е) воспользоваться формулой бинома Ньютона для ( 1 ± l ) n .6.2. а) С� ; б) L �= l C� Ck = C�+ k - 1 ; в) (С� ) 2 . 6.4. с� .6.7. У к а з а н и е. Разложить произвольный :минор порядка выше k полюбым его k строкам.6.8.
200. 6.9. -84.6. 10. - 1 1 . У к а з ан и е. Разложить по первым двум столбцам.6 . 1 1 . -2. 6.12. -2. 6. 13. 195. 6.14. - 1 6. 6.15. 90.6. 16. 8. 6. 17. 1000. 6.18. 3. 6.19. - 1 5. 6.20. - 10.6. 21. 2025.6.22. (х 1 - х 2 ) sin (1+ ( У 2 - У 1 ) sin (a - 1 ) + (z2 - z 1 ) sin (,8 - .а ) .6.23. - (ayz + bxz + сху) . 6.24.
- ( аа 1 + ЬЬ 1 + сс 1 ) .6.25. аЬс - х(Ьс + са + аЬ) . 6.26. (Ь2 - с2 ) 2 .6.27. У к а з а н и е. Разложить определитель по первым трем строкам.- {3)6.28. 4. 6.29. 25. 6.30. -2. 6.31. -2. 6.32. -84.6.33. 98. 6.34. 43. 6.35. -36. 6.36. 8.6.37. - 1 . 6.38. ( - 1 ) п (пх + l )x n . 6.39. а,б) Нет.
в,г) Да.6.43. Определитель умножится на (2 - k)2 1c- 1 . У к а з а н и е. Построитьматрипу, умножение данной матрицы на которую слева вызывает требуемоепреобразование.6.44. а) 2n I A l 2 ; б) ( -2) n l A l 2 ; в) I A l 2 .§77. 1. 30. 7.2. -2. 7.3. - 1 1 . 7.4. 9. 7. 5. - 18.7. 6. 90. 7. 7. -4. 7. 8. о. 7. 9. 1.
7 .1 о. 5.7. 1 1 . - 10. 7. 12. -5. 7. 13. - 1 . 7. 14. 100. 7. 15. О.7. 16. -24 . 7. 17. о . 7. 18. 360. 7. 19. 1875.7.20. 4n + 1 . У к а з а н и е. Все строки, начиная со 2-й, прибавить к первой .7. 21. (n - l ) ( - l) n - 1 . У к а з а н и е. См. задачу 7.20.7.22. (2n - 1 ) (n - 1 ) n - l . 7.23.
( - 1 ) n ( n + l ) / 2 ( n + 1 ) n - l .7.24. (х + (п - l )a) (x - a ) n - l . 7.25. х п + ( - l ) n + l yn .7.26. ( п + 1 ) ! . 7. 27. х 1 (х 2 - а 1 2 ) (хз - а 2 з ) . . . (х п - a n - 1, n ) ·7.28. ао (х - a l ) (х - а 2 ) . . . (х - an ) · 7.29. 2(п - 2) ! (- 1) < n 2 - n + 2 >! 2 .7.30. ( - l ) n - l n! . 7.31. ( а 1 - Ь 1 ) (а 2 - Ь2 ) . . . (а п - Ъп ) .7. 32 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
